《等比数列的通项公式》示范课教案【高中数学苏教版教学设计】

第四章 数列 《等比数列的通项公式》教学设计 ◆ 教学目标 1.理解等比数列的通项公式的意义； 2.会利用等比数列的通项公式解决相关问题； 3.通过等比数列的通项公式的推导，培养学生数学抽象、逻辑推理等素养. ◆ 教学重难点 ◆ 重点：等比数列的通项公式． 难点：等比数列的通项公式的推导． ◆ 教学过程 一、新课导入 回顾：前面我们学习了等比数列，你能说出等比数列的概念吗？ 答案：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么称这个数列叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的公比，公比通常用字母q表示. 由此定义可知，对等比数列{an}，若公比为q，有 anan−1=q(n≥2)或 an+1an=q. 追问：类比等差数列的学习过程，接下来我们应该研究什么呢？ 答案：等比数列的通项公式. 二、新知探究 问题1：设an是首项为2，公比为3的等比数列，则你能写出第n项an吗？ 答案： a2=2×3， a3=2×3×3=2×3²， a4=2×3²×3=2×3³， … an= 2×3n−1. 问题2：如果数列an是等比数列，且已知它的首项a1和公比q，你能尝试根据定义推导出它的通项公式吗？ 方法1：由等比数列的定义，可知： a2a1=a3a2=a4a3=…=anan−1=…q. 从而， a2=a1q， a3=a2q=a1qq=a1q²， a4=a3q=a1q²q=a1q³， … 由此得到 an=a1qn−1. 当n=1时，a1=a1q1−1=a1q0=a1. 所以，这个公式对n=1时也成立. 这就是说：若首项是a1，公比是q，则等比数列an的通项公式为 an=a1qn−1(a1≠0，q≠0). 思考：我们知道等差数列还可以用累加法推导出通项公式，由类比的思想方法，从运算角度出发，还可以用什么方法推导出等比数列的通项公式呢？ 方法2：根据等比数列的定义，可得 a2a1=q， a3a2=q， a4a3=q， …… anan−1=q. 把以上各式依次相乘，得 a2a1·a3a2·a4a3·…·anan−1=q·q·q·…·q=qn−1 . 由此得到 an=a1qn−1. 当n=1时，a1=a1q1−1=a1q0=a1. 所以，这个公式对n=1时也成立. 等比数列的通项公式 若首项是a1，公比是q，则等比数列an的通项公式为an=a1qn−1(a1≠0，q≠0). 练一练：你能分别写出下列数列的通项公式吗？ 1，2，4，8，16，32，64，128. ① 12，14，18，116，132，…. ② 答案:数列①：an=2n−1；数列②： an=(12)n. 问题3：若已知等比数列an的通项公式为an=3×2n−3，能否求出首项a1和公比q. 答案：a1=3×21−3=34， a2=3×22−3=32， 所以 q=a2a1=3234=2. 思考：能否画出上面的等比数列an=3×2n−3的图象？ 追问1：类比等差数列的图象，想一想an=3×2n−3的图象与哪个函数有关？ 答案：an=3×2n−3=38×2n是一个常数与指数式的乘积，与函数y=38×2x有关. 追问2：an=38×2n的图象有什么特征？ 答案：它是函数y=38×2x的图象上一些间隔的点(n，an)，自变量取正整数. 问题4：对于等比数列an=a1qn−1(a1≠0，q≠0)，当公比 q 满足什么条件时可以与相应的指数函数建立联系？ 答案：an=a1qn−1=a1q·qn，当q>0 且 q≠1时，an与n之间的函数关系可表示为 fx= a1q·qx(x∈N*)，图象为fx上一些间隔的点，且自变量取正整数，如图所示： 思考：如果一个数列an的通项公式为an=aqn，其中a，q都是不为0的常数，那么这个数列一定是等比数列吗？ 答案：是等比数列.证明如下： 由an=aqn得an+1=aqn+1， 所以an+1an=aqn+1aqn=q， 因为q是不为0的常数， 所以数列an是等比数列. 问题5：类比等差数列，等比数列也有下标和性质吗？ 等比数列an中，若m，n，r，s∈N*，且m+n=r+s，则am·an=ar·as． 证明：设公比为q，因为an=a1qn−1， 所以am·an=a1qm−1·a1qn−1=a1²qm+n−2， ar·as=a1qr−1·a1qs−1=a1²qr+s−2. 又因为m+n=r+s， 所以am·an=ar·as． 特别地，若2p=m+n，则ap2=am·an． 练一练：递增等比数列an中，a3+a6=9，a4a5=8，则数列an的公比q为______． 答案：由等比数列的性质知a4a5=a3a6=8， 又a3+a6=9，且an是递增数列， 所以a3=1，a6=8， 所以q3=a6a3=8 所以公比q=2． 小结：解决数列问题时，首先要有运用数列性质的意识，然后仔细观察各项下标之间的关系，以寻求满足数列性质的条件，这样能简化运算过程. 设计意图：通过探究熟悉等比数列的通项公式及常用性质，并会灵活运用通项公式及性质解决相关问题.同时体会等比数列与指数函数的关系, 三、应用举例 例1 在等比数列an中， （1）已知a1=3，q=−2，求a6. （2）已知a3=20，a6=160，求an. 解：（1）由等比数列的通项公式，得 a6=3×(−2)6−1=−96. （2）（方法一）设等比数列的公比为q，那么 a1q²=20， a1q5=160. 解得 q=2，a1=5. 所以 an=a1qn−1=5×2n−1. （方法二）设等比数列的公比为q，则有 q3=a6a3=16020=8， 解得 q=2， 所以 an=a3qn−3=20×2n−3=5×2n−1. 小结：等比数列an的通项公式an=a1qn−1可以推广到an=amqn−m. 例2 在243和3中间插入3个数，使这5个数成等比数列. 解：设插入3个数为a2，a3，a4.由题意得 243，a2，a3，a4，3 成等比数列. 设公比为q，则 3=243×q5−1， 解得 q=±13. 因此，所求3个数为81，27，9或−81，27，−9. 设计意图：通过例题，进一步巩固等比数列的通项公式，掌握如何利用等比数列的通项公式求解相关量． 四、课堂练习 1.已知等比数列{an}中，a1=−2，a3=−8，则an=___________． 2.在等比数列an中，已知a7a12=5，则a8a9a10a11的值为________. 3.在等比数列an中,已知a2+a5=18，a3+a6=9，an=1，求n. 4.某人买了一辆价值10万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值． (1)用一个式子表示第n (n∈N+)年这辆车的价值； (2)如果他打算用满3年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？ 参考答案： 1.解：∵a1=−2，a3=−8， ∴a3a1=q²=−8−2=4，∴q=±2， ∴an=−2×2n−1或an=−2×−2n−1， 即an=−2n或an=−2n. 2.解：∵a7a12=a8a11=a9a10=5， ∴a8a9a10a11=25. 3. 解：（方法一）由已知可得 a2+a5=a1q+a1q4=18，　①a3+a6=a1q2+a1q5=9，　② 由②①得q=12，将q的值代入①得a1=32. 又因为an=1，所以32×(12)n−1=1， 即26−n=20=1，所以n=6. （方法二）因为a3+a6=q(a2+a5)， 所以q=12. 由a1q+a1q4=18，得a1=32. 又因为an=1，所以32×(12)n−1=1， 即26−n=20=1，所以n=6. 4.解：(1)从第一年起，每年车的价值(万元)依次设为：a1，a2，a3，…，an， 由题意得a1=10，a2=10×(1−10%)， a3=10(1−10%)2，…. 由等比数列定义知数列an是等比数列，首项a1＝10，公比q=1−10%=0.9， 所以an=a1qn−1=10×0.9n−1. 所以第n年车的价值为an=10×0.9n−1万元． (2)当他用满3年时，车的价值为a4=10×0.94−1=7.29 (万元)． 所以用满3年卖掉时，他大概能得7.29万元． 五、课堂小结 方法总结： ①等比数列可以通过两个独立条件确定.这两个独立条件可以是两个基本量：首项与公比，也可以是数列中的任意两项. ②在等比数列的运算中，可根据两个条件列出关于a1，q的方程组求解；也可利用各项 之间的关系直接求解． ③对于等比数列an=a1qn−1=a1q·qn，当q>0 且 q≠1时，an与n之间的函数关系可表示为fx= a1q·qx(x∈N*)，图象为fx上一些间隔的点，且自变量取正整数. 六、布置作业 教材第147页练习第3，6题．