河南省信阳市光山县第三高级中学2022-2023学年高二数学理模拟试卷含解析

河南省信阳市光山县第三高级中学2022-2023学年高二数学理模拟试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（　　） A．＞ B．＜ C．＞ D．＜ 参考答案： D 【分析】利用特例法，判断选项即可． 【解答】解：不妨令a=3，b=1，c=﹣3，d=﹣1， 则，，∴A、B不正确； ， =﹣， ∴C不正确，D正确．   解法二： ∵c＜d＜0， ∴﹣c＞﹣d＞0， ∵a＞b＞0， ∴﹣ac＞﹣bd， ∴， ∴．   故选：D． 2. 已知函数f（x）=2x+（x＞0），则(     ) A．x=±1时，函数f（x）的最小值为4 B．x=±2时，函数f（x）的最小值为2 C．x=1时，函数f（x）的最小值为4 D．x=2时，函数f（x）的最小值为2 参考答案： C 考点：基本不等式． 专题：不等式的解法及应用． 分析：利用基本不等式的性质即可得出． 解答： 解：∵x＞0，∴f（x）≥2×=4，当且仅当x=1时取等号． ∴函数f（x）的最小值为4． 故选：C． 点评：本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 3. 已知集合，，则P∩Q=（ ） A. [3,4) B. (2,3] C. (－1,2) D. (－1,3] 参考答案： A 由题意得，，所以，故选A. 4. 当时, x+y的最小值为(   ) A.10      B.12     C.14      D.16 参考答案： D 5. 为了在运行下面的程序之后得到输出16，键盘输入x应该是（      ）         INPUT x IF  x<0  THEN y=(x+1)*(x+1) ELSE y=(x-1)*(x-1)         END IF PRINT y END A． 3或-3        B． -5            C．5或-3          D． 5或-5   参考答案： D 6. 对于线性回归方程，下列说法中不正确的是（   ） A、直线必经过点（,）    B、x增加一个单位时，y平均增加个单位 C、样本数据中x=0时，可能有y=  D、样本数据中x=0时，一定有y= 参考答案： D 7. 定积分(2x＋ex)dx的值为(　　) A．e＋2        B．e＋1         C．e            D．e－1 参考答案： C 8. 动点P到点M（1，0）与点N（3，0）的距离之差为2，则点P的轨迹是（　　） A．双曲线 B．双曲线的一支 C．两条射线 D．一条射线 参考答案： D 【考点】轨迹方程． 【分析】根据双曲线的定义：动点到两定点的距离的差的绝对值为小于两定点距离的常数时为双曲线；距离当等于两定点距离时为两条射线；距离当大于两定点的距离时无轨迹． 【解答】解：|PM|﹣|PN|=2=|MN|， 点P的轨迹为一条射线 故选D． 9. 已知样本数据，，…，的平均数是，则新的样本数据，，…，的平均数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 参考答案： C 由题意得新数据的平均数为 。 选C。   10. 设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则，类比这个结论可知：四面体S﹣ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球半径为r，四面体S﹣ABC的体积为V，则r=（　　） A． B． C． D． 参考答案： C 【考点】类比推理． 【专题】探究型． 【分析】根据平面与空间之间的类比推理，由点类比点或直线，由直线 类比 直线或平面，由内切圆类比内切球，由平面图形面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积的方法类比求四面体的体积即可． 【解答】解：设四面体的内切球的球心为O， 则球心O到四个面的距离都是R， 所以四面体的体积等于以O为顶点， 分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和． 则四面体的体积为 ∴R= 故选C． 【点评】类比推理是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质类比迁移到另一类数学对象上去．一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或者一致性．②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（或猜想）． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 现有10个数，它们能构成一个以1为首项，-3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于18的概率是___________ 参考答案： 略 12. 若的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的系数__． 参考答案： 56 试题分析：首先根据已知展开式中第3项与第7项的二项式系数相等得；然后写出其展开式的通项，令即可求出展开式中的系数. 考点：二项式定理. 13. 已知复数是实数，则实数m=     ▲     ． 参考答案： ±2 由复数是实数， 可得，解得，故答案为.   14. 观察下列等式： 13+23=32=（1+2）2 13+23+33=62=（1+2+3）2 13+23+33+43=102=（1+2+3+4）2 … 据此规律，第n个等式可为　           　． 参考答案： 13+23+33+…+（n+1）3==[1+2+3+…+（n+1）2 【考点】归纳推理． 【专题】推理和证明． 【分析】左边是连续自然数的立方和，右边是左边的数的和的立方，由此得到结论． 【解答】解：∵13=1 13+23=9=（1+2）2， 13+23+33=36=（1+2+3）2， 13+23+33+43=100=（1+2+3+4）2， … 由以上可以看出左边是连续自然数的立方和，右边是左边的数的和的立方， 照此规律，第n个等式可为：13+23+33+…+（n+1）3==[1+2+3+…+（n+1）2． 故答案为：13+23+33+…+（n+1）3==[1+2+3+…+（n+1）2 【点评】归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）． 15. 若三角形内切圆的半径为，三边长为，则三角形的面积等于，根据类比推理的方法，若一个四面体的内切球的半径为，四个面的面积分别是，则四面体的体积_____        ___. 参考答案： 略 16. 若sin+cos＝，则sin2＝＿＿＿＿＿ 参考答案： 17. 10张奖券中只有3张有奖，5个人购买，每人1张，至少有1人中奖的概率是　　． 参考答案： 【考点】等可能事件的概率． 【分析】由题意知本题是一个古典概型，试验包含的所有事件是从10张奖券中抽5张，满足条件的事件的对立事件是没有人中奖，根据古典概型公式和对立事件的公式得到概率． 【解答】解：由题意知本题是一个古典概型， 试验包含的所有事件是从10张奖券中抽5张共有C105=252， 满足条件的事件的对立事件是没有人中奖， 没有人中奖共有C75=21种结果， 根据古典概型公式和对立事件的公式得到概率P=1﹣=， 故答案为：． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知两个函数,对任意的，求k的取值范围 参考答案： 解：要对任意的，只须使函数f(x)的最大值小于或等于函数g(x)的最小值即可， 由，得； 又，可得函数g(x)在递增，在递减，在递增，所以g(x)的最小值只可能在x=或时取得，又，所以， ∴ ，解得k的取值范围为 略 19.  如图，直三棱柱中， ，，. (Ⅰ)证明：； （Ⅱ）求二面角的正切值。  参考答案： 证明（Ⅰ） ∵三棱柱为直三棱柱 ∴……………………………………4 即，又 ∴…………………………………….5 又因为 ∴………………………………………….6 在中，，………………………..11 在中， ， ∴二面角的正切值为……………………………13 20.     某中学随机选取了40名男生，将他们的身高作为样本进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，观察图中数据，完成下列问题． （1）求的值及样本中男生身高在[185,195]（单位：cm）的人数． （2）假设一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，通过样本估计该校全体男生的平均身高． （3）在样本中，从身高在[145,155)和[185,195]（单位：cm）内的男生中任选两人，求这两人的身高都不低于185 cm的概率． 参考答案： （1）由题意：，            -------------2分 身高在的频率为0.1，人数为4．                                ------------4分 （2）设样本中男生身高的平均值为，则：                         ---------6分 ， 所以，估计该校全体男生的平均身高为．                            ---------8分 （3）在样本中，身高在（单位：cm）内的男生有2人，设为B和C，身高在（单位：cm）内的男生有4人，设为D、E、F、G，从身高在和（单位：cm）内的男生中任选两人，符合古典概型，基本事件有：（BC），（BD），（BE），（BF），（BG），（CD），（CE），（CF），（CG），（DE），（DF），（DG），（EF），（EG），（FG），共计15种，这两人的身高都不低于185 cm，有6种，                          --------10分 设两人的身高都不低于185 cm为事件A，所以所求概率为P（A）=        --------12分 21. 已知动圆过定点P（1，0），且与定直线相切。 （1）求动圆圆心的轨迹M的方程； （2）设过点P，且倾斜角为的直线与曲线M相交于A，B两点，A，B在直线上的射影是。求梯形的面积； （3）若点C是（2）中线段上的动点，当△ABC为直角三角形时，求点C的坐标。 参考答案： 解: （1）曲线M是以点P为焦点，直线为准线的抛物线，其方程为. （2）由题意得，直线AB的方程为 消y得   于是， A点和B点的坐标分别为A，B（3，）， 所以，      （3）设C（－1，y）使△ABC成直角三角形，   ，   ，   .  (i) 当时， 方法一：当时，，  即为直角. C点的坐标是 方法二：当时，得直线AC的方程为， 求得C点的坐标是。 (ii) 因为，所以，不可能为直角. (iii) 当时， 方法一：当时，，  即，解得，此时为直角。 方法二：当时，由几何性质得C点是的中点，即C点的坐标是。 故当△ABC为直角三角形时，点C的坐标是或  略 22. 已知a，b，c，使等N+都成立， （1）猜测a，b，c的值； （2）用数学归纳法证明你的结论。 参考答案： （1）；（2）见解析 【分析】 先假设存在符合题意的常数a，b，c，再令n=1，n=2，n=3构造三个方程求出a，b，c，再用用数学归纳法证明成立，证明时先证：（1）当n=1时成立．（2）再假设n=k（k≥1）时，成立，即1?22+2?32+…+k（k+1）2=（3k2+11k+10），再递推到n=k+1时，成立即可． 【详解】(1):假设存在符合题意的常