广东省湛江市开发区工贸职业中学高一数学文联考试题含解析
广东省湛江市开发区工贸职业中学高一数学文联考试题含解析一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 如图所示,PA垂直于以AB为直径的圆O所在的平面,C为圆上异于A,B的任一点,则下列关系中不正确的是( )A. PABCB. BC平面PACC. ACPBD. PCBC参考答案:C【分析】由平面,得,再由,得到平面,进而得到,即可判断出结果.【详解】因为垂直于以为直径的圆所在的平面, 即平面,得,A正确;又为圆上异于的任一点,所以,平面,B,D均正确.故选C.【点睛】本题主要考查线面垂直,熟记线面垂直的判定定理与性质定理即可,属于常考题型.2. 函数的图象如图所示,则的解析式为( )A. B. C. D. 参考答案:D略3. 已知抛物线与抛物线关于点(3,4)对称,那么的值为 ( ) A28 B4 C20 D18参考答案:C 解析:设点上的一点,它关于点(3,4)的对称点 为 所以 故与抛物线关于点(3,4)对称的抛物线为 所以4. ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,asinAsinB+bcos2A=a,则= ( )A.2 B.2 C. D. 参考答案:D5. 已知直线m、n与平面、,给出下列三个命题:若m,n,则mn;若m,n,则nm;若m, m,则.其中正确命题的个数是 ()A0 B1 C2 D3参考答案:C略6. 在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球,这些小球除标注的数字外完全相同现从中随机取出2个小球,则取出的小球标注的数字之和为5或6的概率是() A. B. C. D. 参考答案:C7. 为了求函数的一个零点,某同学利用计算器得到自变量和函数的部分对应值(精确度0.1)如下表所示KS5UKS5U.KS5U1.251.31251.3751.43751.51.56250.87160.57880.28130.21010.328430.64115则方程的近似解(精确到0.1)可取为( ) A1.32B1.39C1.4D1.3参考答案:C考点:函数零点【名师点睛】(1)确定函数零点所在区间,可利用零点存在性定理或数形结合法(2)判断函数零点个数的方法:解方程法;零点存在性定理、结合函数的性质;数形结合法:转化为两个函数图象的交点个数8. 设奇函数在上为增函数,且,则不等式解集为( )A. B. C. D. ks5u参考答案:B略9. (5分)在ABC中,C=60,AB=,那么A等于()A135B105C45D75参考答案:C考点:正弦定理 专题:计算题分析:由C的度数求出sinC的值,再由c和a的值,利用正弦定理求出sinA的值,由c大于a,根据大边对大角,得到C大于A,得到A的范围,利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数解答:C=60,AB=c=,BC=a=,由正弦定理=得:sinA=,又ac,得到AC=60,则A=45故选C点评:此题考查了正弦定理,三角形的边角关系,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握正弦定理是解本题的关键10. 在ABC中,若,则ABC是( )A直角三角形 B等边三角形 C钝角三角形D等腰直角三角形参考答案:B略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 函数的单调递增区间为参考答案:(,2)【考点】复合函数的单调性【分析】令t=2x0,求得函数的定义域为(,2),则f(x)=g(t)=,本题即求函数t的减区间,利用一次函数的性质得出结论【解答】解:令t=2x0,求得x2,故函数的定义域为(,2),则f(x)=g(t)=,故本题即求函数t的减区间,而一次函数t在其定义域(,2)内单调递减,故答案为:(,2)12. 函数的定义域为_。参考答案: 解析: 13. 在ABC中,则= 。 参考答案:3:1:2 略14. 已知,则 ;参考答案:原式=15. 已知函数f(x)=sin(x)+2cosx,(其中为常数),给出下列五个命题:存在,使函数f(x)为偶函数;存在,使函数f(x)为奇函数;函数f(x)的最小值为3;若函数f(x)的最大值为h(),则h()的最大值为3;当=时,(,0)是函数f(x)的一个对称中心其中正确的命题序号为(把所有正确命题的选号都填上)参考答案:【考点】三角函数的化简求值【专题】计算题;转化思想;综合法;三角函数的求值【分析】推导出f(x)=54sinsin(x+),对于,当=k+2(kZ),f(x)=cosx或3cosx,则为偶函数;对于,f(x)不为奇函数;对于,f(x)的最小值为54sin;对于,f(x)的最大值为h()=54sin,h()的最大值为3;对于,(,0)是函数f(x)的一个对称中心【解答】解:函数f(x)=sin(x)+2cosx=sinxcos+cosx(2sin)=cos2+(2sin)2sin(x+)(为辅助角)=54sinsin(x+)对于,由f(x)=sinxcos+cosx(2sin),当=k+(kZ),cos=0,sin=1,f(x)=cosx或3cosx,则为偶函数则对;对于,由f(x)=sinxcos+cosx(2sin),可得2sin1,3,即cosx的系数不可能为0,则f(x)不为奇函数,则错;对于,f(x)的最小值为54sin,则错;对于,f(x)的最大值为h()=54sin,当sin=1时,h()的最大值为3,则对;对于,当=时,f(x)=sinxcos+cosx(2sin)=cosx+sinx=3sin(x+),当x=,f(x)=3sin(+)=0,即有(,0)是函数f(x)的一个对称中心,则对故答案为:【点评】本题考查函数值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意三角函数性质的合理运用16. 设x、yR+且=1,则x+y的最小值为 参考答案:16【考点】7F:基本不等式【分析】将x、yR+且=1,代入x+y=(x+y)?(),展开后应用基本不等式即可【解答】解: =1,x、yR+,x+y=(x+y)?()=10+10+2=16(当且仅当,x=4,y=12时取“=”)故答案为:1617. 已知,(),则 。参考答案:1或3三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18. 已知圆O:与圆B:(1)求两圆的公共弦长;(2)过平面上一点向圆O和圆B各引一条切线,切点分别为C,D,设,求证:平面上存在一定点M使得Q到M的距离为定值,并求出该定值参考答案:(1)(2)【分析】(1)把两圆方程相减得到公共弦所在直线方程,再根据点到直线距离公式与圆的垂径定理求两圆的公共弦长;(2)根据圆的切线长与半径的关系代入化简即可得到点的轨迹方程,进而求解.【详解】解:(1)由, 相减得两圆的公共弦所在直线方程为:, 设(0,0)到的距离为,则 所以,公共弦长为 所以,公共弦长为.(2)证明:由题设得: 化简得: 配方得: 所以,存在定点 使得到的距离为定值,且该定值为.【点睛】本题主要考查圆的应用.求两圆的公共弦关键在求公共弦所在直线方程;求动点与定点距离问题,首先要求出动点的轨迹方程.19. (本小题满分12分)已知二次函数f(x)=2kx2-2x-3k-2,x-5,5.当k=1时,求函数f(x)的最大值和最小值;求实数k的取值范围,使y=f(x)在区间-5,5上是单调函数.参考答案:当时,f(x)的最小值为-;-(4分)当x=-5时,f(x)的最大值为55. -(6分)要使f(x)在-5,5上是单调函数,只需即可. -(9分)解得:或即k的取值范围是:-(12分)20. (本小题满分14分)在平面直角坐标系中,已知圆经过点和点,且圆心在直线上,过点且斜率为的直线与圆相交于不同的两点.求圆的方程, 同时求出的取值范围.参考答案:解:(1)方法一:AB的中垂线方程为 2分 联立方程解得圆心坐标 5分 6分故圆的方程为 8分方法2:设圆的方程为, 2分 依题意得: 5分,得 7分故圆的方程为 8分方法一 由直线与圆相交,得圆心C到直线的距离小于半径 14分方法二:联立方程组由 14分21. 某社区调查了老年大学全部48名学员参加书法班和演讲班的情况,数据如表:(单位:人)参加书法班未参加书法班参加演讲班85未参加演讲班233(I)从该老年大学随机选1名学员,求该学员至少参加上述一个班的概率;(II)在既参加书法班又参加演讲班的8名学员中,有5名男学员A1,A2,A3,A4,A5,3名女学员B1,B2,B3现从这5名男学员和3名女学员中各随机选1人,求A1被选中且B1未被选中的概率参考答案:【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率【分析】(I)由调查数据可知,既未参加书法班又未参加演讲班的有33人,故至少参加上述一个班的共有4833=15人,由此能求出从该老年大学随机选1名学员,该学员至少参加上述一个班的概率(II)从这5名男学员和3名女学员中各随机选1人,其一切的可能结果组成的基本事件有n=53=15个,再用列举法求出事件“A1被选中且B1未被选中”所包含的基本事件的个数,由此能求出A1被选中且B1未被选中的概率【解答】解:(I)由调查数据可知,既未参加书法班又未参加演讲班的有33人,故至少参加上述一个班的共有4833=15人,所以从该老年大学随机
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广东省湛江市开发区工贸职业中学高一数学文联考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 如图所示,PA垂直于以AB为直径的圆O所在的平面,C为圆上异于A,B的任一点,则下列关系中不正确的是( )
A. PA⊥BC B. BC⊥平面PAC
C. AC⊥PB D. PC⊥BC
参考答案:
C
【分析】
由平面,得,再由,得到平面,进而得到,即可判断出结果.
【详解】因为垂直于以为直径的圆所在的平面,
即平面,得,A正确;
又为圆上异于的任一点,所以,
平面,,B,D均正确.
故选C.
【点睛】本题主要考查线面垂直,熟记线面垂直的判定定理与性质定理即可,属于常考题型.
2. 函数的图象如图所示,则的解析式为( )
A. B.
C. D.
参考答案:
D
略
3. 已知抛物线与抛物线关于点(3,4)对称,那么的值为 ( )
A.-28 B.-4 C.20 D.18
参考答案:
C 解析:设点上的一点,它关于点(3,4)的对称点
为
所以
故与抛物线关于点(3,4)对称的抛物线为
所以
4. △ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,asinAsinB+bcos2A=a,则= ( )
A.2 B.2 C. D.
参考答案:
D
5. 已知直线m、n与平面α、β,给出下列三个命题:①若m∥α,n∥α,则m∥n;②若m∥α,n⊥α,则n⊥m;③若m⊥α, m∥β,则α⊥β.其中正确命题的个数是 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
参考答案:
C
略
6.
在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球,这些小球除标注的数字外完全相同.现从中随机取出2个小球,则取出的小球标注的数字之和为5或6的概率是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
7. 为了求函数的一个零点,某同学利用计算器得到自变量和函数的部分对应值(精确度0.1)如下表所示
[KS5UKS5U.KS5U
1.25
1.3125
1.375
1.4375
1.5
1.5625
-0.8716
-0.5788
-0.2813
0.2101
0.32843
0.64115
则方程的近似解(精确到0.1)可取为( )
A.1.32 B.1.39 C.1.4 D.1.3
参考答案:
C
考点:函数零点
【名师点睛】(1)确定函数零点所在区间,可利用零点存在性定理或数形结合法.(2)判断函数零点个数的方法:①解方程法;②零点存在性定理、结合函数的性质;③数形结合法:转化为两个函数图象的交点个数.
8. 设奇函数在上为增函数,且,则不等式解集为( )
A. B. C. D. ks5u
参考答案:
B
略
9. (5分)在△ABC中,C=60°,AB=,那么A等于()
A. 135° B. 105° C. 45° D. 75°
参考答案:
C
考点: 正弦定理.
专题: 计算题.
分析: 由C的度数求出sinC的值,再由c和a的值,利用正弦定理求出sinA的值,由c大于a,根据大边对大角,得到C大于A,得到A的范围,利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数.
解答: ∵C=60°,AB=c=,BC=a=,
∴由正弦定理=得:
sinA===,
又a<c,得到A<C=60°,
则A=45°.
故选C
点评: 此题考查了正弦定理,三角形的边角关系,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握正弦定理是解本题的关键.
10. 在△ABC中,若,则△ABC是( ).
A.直角三角形 B.等边三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形
参考答案:
B
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 函数的单调递增区间为 .
参考答案:
(﹣∞,2)
【考点】复合函数的单调性.
【分析】令t=2﹣x>0,求得函数的定义域为(﹣∞,2),则f(x)=g(t)=,本题即求函数t的减区间,利用一次函数的性质得出结论.
【解答】解:令t=2﹣x>0,求得x<2,故函数的定义域为(﹣∞,2),则f(x)=g(t)=,
故本题即求函数t的减区间,而一次函数t在其定义域(﹣∞,2)内单调递减,
故答案为:(﹣∞,2).
12. 函数的定义域为______________________________。
参考答案:
解析:
13. 在△ABC中,,则
= 。
参考答案:
3:1:2
略
14. 已知,则 ;
参考答案:
原式=
15. 已知函数f(x)=sin(x﹣α)+2cosx,(其中α为常数),给出下列五个命题:
①存在α,使函数f(x)为偶函数;
②存在α,使函数f(x)为奇函数;
③函数f(x)的最小值为﹣3;
④若函数f(x)的最大值为h(α),则h(α)的最大值为3;
⑤当α=时,(﹣,0)是函数f(x)的一个对称中心.
其中正确的命题序号为 (把所有正确命题的选号都填上)
参考答案:
①④⑤
【考点】三角函数的化简求值.
【专题】计算题;转化思想;综合法;三角函数的求值.
【分析】推导出f(x)=5﹣4sinαsin(x+θ),对于①,当α=kπ+π2(k∈Z),f(x)=cosx或3cosx,则为偶函数;对于②,f(x)不为奇函数;对于③,f(x)的最小值为﹣5﹣4sinα;对于④,f(x)的最大值为h(α)=5﹣4sinα,h(α)的最大值为3;对于⑤,(﹣,0)是函数f(x)的一个对称中心.
【解答】解:函数f(x)=sin(x﹣α)+2cosx=sinxcosα+cosx(2﹣sinα)
=cos2α+(2﹣sinα)2sin(x+θ)(θ为辅助角)
=5﹣4sinαsin(x+θ).
对于①,由f(x)=sinxcosα+cosx(2﹣sinα),当α=kπ+(k∈Z),cosα=0,sinα=±1,
f(x)=cosx或3cosx,则为偶函数.则①对;
对于②,由f(x)=sinxcosα+cosx(2﹣sinα),可得2﹣sinα∈[1,3],即cosx的系数不可能为0,
则f(x)不为奇函数,则②错;
对于③,f(x)的最小值为﹣5﹣4sinα,则③错;
对于④,f(x)的最大值为h(α)=5﹣4sinα,当sinα=﹣1时,h(α)的最大值为3,则④对;
对于⑤,当α=时,f(x)=sinxcos+cosx(2﹣sin)=cosx+sinx=3sin(x+),
当x=﹣,f(x)=3sin(﹣+)=0,即有(﹣,0)是函数f(x)的一个对称中心,则⑤对.
故答案为:①④⑤.
【点评】本题考查函数值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意三角函数性质的合理运用.
16. 设x、y∈R+且=1,则x+y的最小值为 .
参考答案:
16
【考点】7F:基本不等式.
【分析】将x、y∈R+且=1,代入x+y=(x+y)?(),展开后应用基本不等式即可.
【解答】解:∵ =1,x、y∈R+,
∴x+y=(x+y)?()==10+≥10+2=16(当且仅当,x=4,y=12时取“=”).
故答案为:16.
17. 已知,,(),则 。
参考答案:
1或3
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知圆O:与圆B:.
(1)求两圆的公共弦长;
(2)过平面上一点向圆O和圆B各引一条切线,切点分别为C,D,设,求证:平面上存在一定点M使得Q到M的距离为定值,并求出该定值.
参考答案:
(1)(2)
【分析】
(1)把两圆方程相减得到公共弦所在直线方程,再根据点到直线距离公式与圆的垂径定理求两圆的公共弦长;(2)根据圆的切线长与半径的关系代入化简即可得到点的轨迹方程,进而求解.
【详解】解:(1)由,
相减得两圆的公共弦所在直线方程为:,
设(0,0)到的距离为,则
所以,公共弦长为
所以,公共弦长为.
(2)证明:由题设得:
化简得:
配方得:
所以,存在定点 使得到的距离为定值,且该定值为.
【点睛】本题主要考查圆的应用.求两圆的公共弦关键在求公共弦所在直线方程;求动点与定点距离问题,首先要求出动点的轨迹方程.
19. (本小题满分12分)已知二次函数f(x)=2kx2-2x-3k-2,x∈[-5,5].
⑴当k=1时,求函数f(x)的最大值和最小值;
⑵求实数k的取值范围,使y=f(x)在区间[-5,5]上是单调函数.
参考答案:
当时,f(x)的最小值为-;--------------------------(4分)
当x=-5时,f(x)的最大值为55. -------------------------(6分)
⑵要使f(x)在[-5,5]上是单调函数,只需即可. ----------(9分)
解得:或
即k的取值范围是:------------------------(12分)
20. (本小题满分14分)
在平面直角坐标系中,已知圆经过点和点,且圆心在直线上,过点且斜率为的直线与圆相交于不同的两点.
求圆的方程, 同时求出的取值范围.
参考答案:
解:(1)方法一:AB的中垂线方程为………… 2分
联立方程解得圆心坐标…… 5分
…………………………………… 6分
故圆的方程为………………………… 8分
方法2:设圆的方程为, ………… 2分
依题意得:
…… 5分,得………… 7分
故圆的方程为………………………………………… 8分
方法一 由直线与圆相交,得圆心C到直线的距离小于半径
∴…………………………………… 14分
方法二:联立方程组
由………………………… 14分
21. 某社区调查了老年大学全部48名学员参加书法班和演讲班的情况,数据如表:(单位:人)
参加书法班
未参加书法班
参加演讲班
8
5
未参加演讲班
2
33
(I)从该老年大学随机选1名学员,求该学员至少参加上述一个班的概率;
(II)在既参加书法班又参加演讲班的8名学员中,有5名男学员A1,A2,A3,A4,A5,3名女学员B1,B2,B3.现从这5名男学员和3名女学员中各随机选1人,求A1被选中且B1未被选中的概率.
参考答案:
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率.
【分析】(I)由调查数据可知,既未参加书法班又未参加演讲班的有33人,故至少参加上述一个班的共有48﹣33=15人,由此能求出从该老年大学随机选1名学员,该学员至少参加上述一个班的概率.
(II)从这5名男学员和3名女学员中各随机选1人,其一切的可能结果组成的基本事件有n=5×3=15个,再用列举法求出事件“A1被选中且B1未被选中”所包含的基本事件的个数,由此能求出A1被选中且B1未被选中的概率.
【解答】解:(I)由调查数据可知,既未参加书法班又未参加演讲班的有33人,
故至少参加上述一个班的共有48﹣33=15人,
所以从该老年大学随机
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