山西省朔州市大黄巍乡中学高一数学理期末试卷含解析

山西省朔州市大黄巍乡中学高一数学理期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 过点P（2，1）作圆C：x2+y2－ax+2ay+2a+1=0的切线有两条，则a取值范围是（  ） A．a＞－3     B．a＜－3     C．－3＜a＜     D．  －3＜a＜或a＞2 参考答案： D a须满足且必须满足则得D．－3＜a＜或a＞2而不是A 2. 已知符号函数sgnx=，f（x）是R上的增函数，g（x）=f（x）﹣f（ax）（a＞1），则(     ) A．sgn=sgnx B．sgn=﹣sgnx C．sgn=sgn D．sgn=﹣sgn 参考答案： B 【考点】函数与方程的综合运用． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】直接利用特殊法，设出函数f（x），以及a的值，判断选项即可． 【解答】解：由于本题是选择题，可以常用特殊法，符号函数sgnx=，f（x）是R上的增函数，g（x）=f（x）﹣f（ax）（a＞1）， 不妨令f（x）=x，a=2， 则g（x）=f（x）﹣f（ax）=﹣x， sgn=﹣sgnx．所以A不正确，B正确， sgn=sgnx，C不正确；D正确； 对于D，令f（x）=x+1，a=2， 则g（x）=f（x）﹣f（ax）=﹣x， sgn=sgn（x+1）=； sgn=sgn（﹣x）=， ﹣sgn=﹣sgn（x+1）=；所以D不正确； 故选：B． 【点评】本题考查函数表达式的比较，选取特殊值法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题． 3. 已知数列{an}首项为1，且满足，那么an等于 (　　) A、       B、         C、         D、 参考答案： A 4. 集合A={x|y=}，B={y|y=x2+2}，则A∩B等于(     ) A．（0，+∞） B．（1，+∞） C．[1，+∞） D．[2，+∞） 参考答案： D 【考点】交集及其运算． 【专题】计算题． 【分析】根据题意，集合A为函数y=的定义域，由根式的意义可得集合A，集合B为函数y=x2+2的值域，由二次函数的性质可得集合B，进而由交集的定义可得答案． 【解答】解：y=中，有x≥1，则集合A={x|x≥1}， y=x2+2中，有y≥2，则有集合B={y|y≥2} 则A∩B={x|x≥2}=[2，+∞）， 故选D． 【点评】本题考查集合的交集运算，关键是掌握集合的表示方法以及集合的意义． 5. 已知函数，正实数满足，且，若在区间上的最大值为，则的值分别为(　　) A.      B.     C.      D. 参考答案： A  6. 函数的定义域为（　　） （A）            （B） （C）      （D） 参考答案： D 7. △ABC的三个内角A、B、C的对边分别是a、b、c.已知，，，则A=（    ） A. B. C. 或 D. 或 参考答案： C 【分析】 先利用正弦定理求出角C,再求角A得解. 【详解】由正弦定理得 因为c＞b,所以或. 所以或. 故选：C 【点睛】本题主要考查正弦定理解三角形，意在考查学生对该知识的理解掌握水平. 8. 若，则下列不等式成立的是 (     )     A.    B.     C.         D. 参考答案： B 9. 设i为虚数单位，若a+（a﹣2）i为纯虚数，则实数a=（　　） A．﹣2 B．0 C．1 D．2 参考答案： B 【考点】复数的基本概念． 【分析】根据纯虚数的定义建立方程进行求解即可． 【解答】解：若a+（a﹣2）i为纯虚数， 则，即，得a=0， 故选：B． 10. 函数的定义域是 A.     B.   C.         D. R 参考答案： B 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 过点（2，3）且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程为　　． 参考答案： 3x﹣2y=0，x+y﹣5=0，x﹣y+1=0 略 12. 已知f（x）=是（﹣∞，+∞）上的减函数，那么a的取值范围是         ． 参考答案： ≤a＜ 【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数单调性的性质；对数函数的单调性与特殊点． 【专题】计算题；压轴题． 【分析】由分段函数的性质，若f（x）=是（﹣∞，+∞）上的减函数，则分段函数在每一段上的图象都是下降的，且在分界点即x=1时，第一段函数的函数值应大于等于第二段函数的函数值．由此不难判断a的取值范围． 【解答】解：∵当x≥1时，y=logax单调递减， ∴0＜a＜1； 而当x＜1时，f（x）=（3a﹣1）x+4a单调递减， ∴a＜； 又函数在其定义域内单调递减， 故当x=1时，（3a﹣1）x+4a≥logax，得a≥， 综上可知，≤a＜． 故答案为：≤a＜ 【点评】分段函数分段处理，这是研究分段函数图象和性质最核心的理念，具体做法是：分段函数的定义域、值域是各段上x、y取值范围的并集，分段函数的奇偶性、单调性要在各段上分别论证；分段函数的最大值，是各段上最大值中的最大者． 13. ks5u 已知函数，则函数的值域为             。 参考答案： 14. 若直线的倾斜角为钝角，则实数的取值范围是    参考答案： 考查倾斜角和斜率的概念和关系. 此题倾斜角为钝角等价于斜率小于，从而得到： ； 答案： 15. 若关于的方程.有一正一负两实数根，则实数的取值范围________________。 参考答案：   解析： 16. 函数的最小正周期为    ▲   ． 参考答案：     17. 函数的值域为        ． 参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知数列{an}中,. (1)求证：是等比数列,并求数列{an}的通项公式； (2)已知数列{bn},满足. (i)求数列{bn}的前n项和Tn； (ii)若不等式对一切恒成立,求的取值范围. 参考答案： （1）答案见解析；（2）；. 【分析】 (1)由题意结合等比数列的定义证明数列是等比数列，然后求解其通项公式即可； (2)(i)首先确定数列的通项公式，然后求解其前n项和即可； (ii)结合恒成立的条件分类讨论n为奇数和n为偶数两种情况确定的取值范围即可. 【详解】，，， ， ， ， 是以3为首项，3公比的等比数列， ． ． 解由得， ， ， 两式相减，得：， ． 由得， 令，则是递增数列， 若n为偶数时，恒成立， 又，， 若n为奇数时，恒成立， ，，． 综上，的取值范围是 【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，错位相减求和，恒成立问题的处理方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 19. 驻马店市政府委托市电视台进行“创建森林城市”知识问答活动,市电视台随机对该市15～65岁的人群抽取了n人,绘制出如图1所示的频率分布直方图,回答问题的统计结果如表2所示. （1）分别求出a,b,x,y的值； （2）从第二、三、四、五组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取7人,则从第二、三、四、五组每组回答正确的人中应各抽取多少人? （3）在(2)的条件下,电视台决定在所抽取的7人中随机选2人颁发幸运奖,求所抽取的人中第二组至少有1人获得幸运奖的概率. 参考答案： （1）0.9，0.36，270，90；（2）2人,3人,1人,1人；（3）. 【分析】 （1）先计算出总人数为1000人，再根据公式依次计算的值. （2）根据分层抽样规律得到从第二、三、四、五组每组回答正确的人中应分别抽取:2人,3人,1人,1人 （3）排出所有可能和满足条件情况，得到概率. 【详解】（1）依题和图表： 由得：， 由得：， 由得：， 由得：， 由得：， 故所求，，，. （2）由以上知:第二、三、四、五组回答正确的人数分别为:180人,270人,90人,90人 用分层抽样抽取7人,则: 从第二组回答正确的人中应该抽取: 人， 从第三组回答正确的人中应该抽取：人， 从第四组回答正确的人中应该抽取: 人， 从第五组回答正确的人中应该抽取: 人， 故从第二、三、四、五组每组回答正确的人中应分别抽取:2人,3人,1人,1人； （3）设从第二组回答正确的人抽取的2人为: ， 从第三组回答正确的人抽取的3人为: 从第四组回答正确的人抽取的1人为: 从第五组回答正确的人抽取的1人为: 随机抽取2人,所有可能的结果有: ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共21个基本事件，其中第二组至少有1人被抽中的有：，，，，，，，，，，共这11个基本事件. 故抽取的人中第二组至少有1人获得幸运奖的概率为：. 【点睛】本题考查了频率直方图，分层抽样，概率的计算，意在考查学生的应用能力和计算能力. 20. （12分）已知函数f（x）= （1）求f（3）； （2）求函数y=2f2（x）﹣3f（x）+1在上的零点； （3）写出函数y=f（x）的单调递增区间（不用写过程）． 参考答案： 考点： 函数单调性的判断与证明；函数零点的判定定理；分段函数的应用． 专题： 函数的性质及应用． 分析： （1）根据分段函数f（x），f（3）=f（1）=f（﹣1），而f（﹣1）=1﹣|﹣1+1|=1，从而便求出了f（3）； （2）先求出该函数在（﹣2，0]上的零点，再根据解析式求出在（0，2]上的零点； （3）根据f（x）解析式可看出：该函数为周期为2的周期函数，所以去绝对值，求出f（x）在（﹣2，0]上的单调递增区间，根据周期求出它在定义域（﹣2，+∞）上的单调增区间即可． 解答： （1）由f（x）解析式，f（3）=f（1）=f（﹣1）=1； （2）令2f2（x）﹣3f（x）+1=0； ∴（2f（x）﹣1）（（f（x）﹣1）=0； ∴，或1； ∴； ∴； 又f（1）=f（﹣1），，； ∴该函数在上的零点为； （3）由f（x）解析式知该函数周期为2，f（x）=1﹣|x+1|=，n∈N； ∴y=f（x）的单调递增区间为（﹣2+2n，﹣1+2n），n∈N． 点评： 考查求分段函数函数值的方法，函数零点的概念，及求分段函数零点的方法，以及求分段函数、周期函数单调区间的方法与过程． 21. （本小题满分14分）已知集合是满足下列性质的函数的全体：在定义域内存在，使得成立。  （Ⅰ）函数是否属于集合？说明理由；  （Ⅱ）设函数，求的取值范围；  （Ⅲ）设函数图象与函数的图象有交点，证明：函数。 参考答案： 略 22. （本小题满分12分）在锐角三角形△中，分别是角所对的边，且． （1）求角的大小； （2）若，的面积为，求的值． 参考答案： 解（1）由正弦定理得 是锐角三角形，故           ……………………6分 （2） 将代入得到 则，即    ……………………12分 略