2022-2023学年浙江省温州市鳌江镇第三中学高二数学理期末试题含解析
2022-2023学年浙江省温州市鳌江镇第三中学高二数学理期末试题含解析一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 双曲线(a0,b0)的左、右焦点分别是F1,F2,过F1作倾斜角为30的直线交双曲线右支于M点,若MF2垂直于x轴,则双曲线的离心率为()ABCD参考答案:B【考点】KC:双曲线的简单性质【分析】先在RtMF1F2中,利用MF1F2和F1F2求得MF1和MF2,进而根据双曲线的定义求得a,最后根据a和c求得离心率【解答】解:如图在RtMF1F2中,MF1F2=30,F1F2=2c,故选B2. 在三棱柱ABCA1B1C1中,各棱长相等,侧棱垂直于底面,点D是侧面BB1C1C的中心,则AD与平面BB1C1C所成角的大小是A30 B45 C60 D90参考答案:C3. 设含有个元素的集合的全部子集数为,其中由个元素组成的子集数为,则的值为( )A. B C D参考答案:B 解析:含有个元素的集合的全部子集数为,由个元素组成的子集数为,4. 设函数f(x)在R上可导,其导函数为f(x),且函数f(x)在x=4处取得极小值,则函数y=xf(x)的图象可能是()ABCD参考答案:C【考点】6A:函数的单调性与导数的关系【分析】由题意可得f(4)=0,且函数f(x)在x=2处的符号左负右正,故函数y=xf(x)在x=4处的符号左正右负,结合所给的选项,得出结论【解答】解:由函数f(x)在x=4处取得极小值,可得f(4)=0,且函数f(x)在x=4处的符号左负右正,故函数y=xf(x)在x=4处的符号左正右负,结合所给的选项,故选:C5. 已知在中,点在边上,且,则的值为( )A 0 B C D -3参考答案:A6. 已知函数, 则的值是( )AB C D参考答案:B7. 要得到函数的图像,可以把函数的图像( )A向右平移个单位 B.向左平移个单位 C. 向右平移个单位 D. 向左平移个单位参考答案:B8. 参考答案:D略9. 已知,且,则 ( )A B C D参考答案:A10. 在ABC 中, ,则A等于( )A60 B45 C120 D30参考答案:C二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知sin=,则sin4cos4的值为参考答案:【考点】三角函数的恒等变换及化简求值【分析】用平方差公式分解要求的算式,用同角的三角函数关系整理,把余弦变为正弦,代入题目的条件,得到结论【解答】解:sin4cos4=sin2cos2=2sin21=,故答案为:12. 设表示向北走3米,表示向东走4米,则= 米参考答案:5略13. 先后抛掷三次一枚质地均匀的硬币,落在水平桌面上,设事件A为“第一次正面向上”,事件B为“后两次均反面向上”,则_.参考答案:【分析】先列出事件与事件的基本事件的个数,再利用独立事件与条件概率的求法可得,即可求解【详解】由题意,先后抛掷三次一枚质地均匀的硬币,事件A为“第一次正面向上”,其基本事件为(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(正,反,反)共4个,在第一次正面向上的条件下,“后两次均反面向上”,其基本事件为(正,反,反)共1个,即,故答案为:【点睛】本题主要考查了独立事件与条件概率的计算,其中解答中熟记条件概率的计算公式,合理计算是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题14. 如图,在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,底面ABCD的边长为7,BD1与底面所成角的大小为,则该正四棱柱的高等于参考答案:【考点】直线与平面所成的角【分析】根据正四棱柱ABCDA1B1C1D1的侧棱D1D底面ABCD,判断D1BD为直线BD1与底面ABCD所成的角,即可求出正四棱柱的高【解答】解:正四棱柱ABCDA1B1C1D1的侧棱D1D底面ABCD,D1BD为直线BD1与底面ABCD所成的角,tanD1BD=,正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,底面ABCD的边长为3,BD=7,正四棱柱的高=7=,故答案为:15. 某商场为了了解某品牌羽绒服的月销售量y(件)与月平均气温x()之间的关系,随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温,数据如下表:月平均气温x/171382月销售量y/件24334055由表中数据算出线性回归方程中的,气象部门预测下个月的平均气温约为6 ,据此估计,该商场下个月毛衣的销售量的件数约为.参考答案:46略16. 下列命题中,错误命题的序号有 (1)“a=1”是“函数f(x)=x2+|x+a+1|(xR)为偶函数”的必要条件;(2)“直线l垂直平面内无数条直线”是“直线l垂直平面”的充分条件;(3)若xy=0,则|x|+|y|=0;(4)若p:?xR,x2+2x+20,则p:?xR,x2+2x+20参考答案:(2)(3)考点:命题的真假判断与应用 专题:简易逻辑分析:(1)根据充分条件和必要条件的定义进行判断(2)根据线面垂直的定义进行判断(3)根据绝对值的性质进行判断(4)根据含有量词的命题的否定进行判断解答:解:(1)若“函数f(x)=x2+|x+a+1|(xR)为偶函数”,则f(x)=f(x),即x2+|x+a+1|=x2+|x+a+1|,则|x+a+1|=|x(a+1)|,平方得x2+2(a+1)x+(a+1)2=x22(a+1)x+(a+1)2,即2(a+1)x=2(a+1)x,则4(a+1)=0,即a=1,则“a=1”是“函数f(x)=x2+|x+a+1|(xR)为偶函数”的必要条件;正确;(2)“直线l垂直平面内无数条直线”则“直线l垂直平面”不一定成立,故(2)错误;(3)当x=0,y=1时,满足xy=0,但|x|+|y|=0不成立,故(3)错误;(4)若p:?xR,x2+2x+20,则p:?xR,x2+2x+20正确故错误的是(2)(3),故答案为:(2)(3)点评:本题主要考查命题的真假判断,涉及的知识点有充分条件和必要条件的判断,含有量词的命题的否定,综合性较强17. 点关于直线对称的点的坐标为 ;直线关于直线对称的直线的方程为 参考答案:点关于直线对称的点为,在直线上任取点P,则点P关于的对称点为 在直线上,即 所以直线的方程为故答案为;三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18. 在平面直角坐标系中,以O为极点, x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线的参数方程为,曲线C的极坐标方程为.(1)写出直线的直角坐标方程和曲线C的普通方程;(2)求直线与曲线C的交点的直角坐标.参考答案:(1)直线的参数方程为,代入,即.直线的直角坐标方程为;曲线的极坐标方程为,.即.(2)曲线的直角坐标方程为,解得或.直线与曲线的交点的直角坐标为, .19. (1)已知p:x2+8x+200,q:x22x+1m20(m0)若“p”是“q”的充分不必要条件,求实数m的取值范围;(2)已知两个关于x的一元二次方程mx24x+4=0和x24mx+4m24m5=0,求两方程的根都是整数的充要条件参考答案:【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】计算题;转化思想;综合法;简易逻辑【分析】(1)先求出p,q为真时的x的范围,根据q是p的充分不必要条件得到关于m的不等式组,解出即可;(2)根据方程根的情况结合二次函数的性质求出m的范围,取交集即可【解答】解:(1)p:2x10,q:1mx1+m“非p”是“非q”的充分不必要条件,q是p的充分不必要条件 ,0m3实数m的取值范围为0m3(2)mx24x+4=0是一元二次方程,m0又另一方程为x24mx+4m24m5=0,且两方程都要有实根,解得m两方程的根都是整数,故其根的和与积也为整数,m为4的约数又m,m=1或1当m=1时,第一个方程x2+4x4=0的根为非整数;而当m=1时,两方程的根均为整数,两方程的根均为整数的充要条件是m=1【点评】本题考查了充分必要条件,考查方程根的情况,是一道中档题20. 已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c图象上的点P(1,2)处的切线方程为y=3x+1(1)若函数f(x)在x=2时有极值,求f(x)的表达式(2)若函数f(x)在区间上单调递增,求实数b的取值范围参考答案:【考点】利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性【专题】计算题;综合题;压轴题【分析】(1)对函数f(x)求导,由题意点P(1,2)处的切线方程为y=3x+1,可得f(1)=3,再根据f(1)=1,又由f(2)=0联立方程求出a,b,c,从而求出f(x)的表达式(2)由题意函数f(x)在区间上单调递增,对其求导可得f(x)在区间大于或等于0,从而求出b的范围【解答】解:f(x)=3x2+2ax+b,因为函数f(x)在x=1处的切线斜率为3,所以f(1)=3+2a+b=3,即2a+b=0,又f(1)=1+a+b+c=2得a+b+c=1(1)函数f(x)在x=2时有极值,所以f(2)=124a+b=0,解得a=2,b=4,c=3,所以f(x)=x32x2+4x3(2)因为函数f(x)在区间上单调递增,所以导函数f(x)=3x2bx+b在区间上的值恒大于或等于零,则得b4,所以实数b的取值范围为有且只有一个交点,求实数a的取值范围21. (本小题满分12分)已知椭圆过点,两焦点为、,是坐标原点,不经过原点的直线与椭圆交于两不同点、.(1)求椭圆C的方程; (2) 当时,求面积的最大值;(3) 若直线、的斜率依次成等比数列,求直线的斜率.参考答案:(1)由题意得,可设椭圆方程为 2分则,解得所以椭圆的方程为.4分(2)消去得: 则
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2022-2023学年浙江省温州市鳌江镇第三中学高二数学理期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 双曲线(a>0,b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,过F1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M点,若MF2垂直于x轴,则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
【考点】KC:双曲线的简单性质.
【分析】先在Rt△MF1F2中,利用∠MF1F2和F1F2求得MF1和MF2,进而根据双曲线的定义求得a,最后根据a和c求得离心率.
【解答】解:如图在Rt△MF1F2中,∠MF1F2=30°,F1F2=2c
∴,
∴
∴,
故选B.
2. 在三棱柱ABC-A1B1C1中,各棱长相等,侧棱垂直于底面,点D是侧面BB1C1C的中心,则AD与平面BB1C1C所成角的大小是
A.30° B.45° C.60° D.90°
参考答案:
C
3. 设含有个元素的集合的全部子集数为,其中由个元素组成的子集数为,则的值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
B 解析:含有个元素的集合的全部子集数为,由个元素组成的子集数为,
4. 设函数f(x)在R上可导,其导函数为f′(x),且函数f(x)在x=﹣4处取得极小值,则函数y=xf′(x)的图象可能是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
【考点】6A:函数的单调性与导数的关系.
【分析】由题意可得f′(﹣4)=0,且函数f′(x)在x=﹣2处的符号左负右正,故函数y=xf′(x)在x=﹣4处的符号左正右负,结合所给的选项,得出结论.
【解答】解:由函数f(x)在x=﹣4处取得极小值,
可得f′(﹣4)=0,且函数f′(x)在x=﹣4处的符号左负右正,
故函数y=xf′(x)在x=﹣4处的符号左正右负,
结合所给的选项,
故选:C.
5. 已知在△中,点在边上,且,,则的值为( )
A 0 B C D -3
参考答案:
A
6. 已知函数, 则的值是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
7. 要得到函数的图像,可以把函数的图像( )
A.向右平移个单位 B.向左平移个单位
C. 向右平移个单位 D. 向左平移个单位
参考答案:
B
8.
参考答案:
D
略
9. 已知,,且,则 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
10. 在△ABC 中, ,则A等于( )
A.60° B.45° C.120° D.30°
参考答案:
C
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知sinα=,则sin4α﹣cos4α的值为 .
参考答案:
【考点】三角函数的恒等变换及化简求值.
【分析】用平方差公式分解要求的算式,用同角的三角函数关系整理,把余弦变为正弦,代入题目的条件,得到结论.
【解答】解:sin4α﹣cos4α
=sin2α﹣cos2α
=2sin2α﹣1
=﹣,
故答案为:﹣.
12. 设表示向北走3米,表示向东走4米,则= 米
参考答案:
5
略
13. 先后抛掷三次一枚质地均匀的硬币,落在水平桌面上,设事件A为“第一次正面向上”,事件B为“后两次均反面向上”,则________.
参考答案:
【分析】
先列出事件与事件的基本事件的个数,再利用独立事件与条件概率的求法可得,即可求解.
【详解】由题意,先后抛掷三次一枚质地均匀的硬币,事件A为“第一次正面向上”,
其基本事件为(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(正,反,反)共4个,
在第一次正面向上的条件下,“后两次均反面向上”,其基本事件为(正,反,反)共1个,
即,
故答案为:.
【点睛】本题主要考查了独立事件与条件概率的计算,其中解答中熟记条件概率的计算公式,合理计算是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.
14. 如图,在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,底面ABCD的边长为7,BD1与底面所成角的大小为,则该正四棱柱的高等于 .
参考答案:
【考点】直线与平面所成的角.
【分析】根据正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的侧棱D1D⊥底面ABCD,判断∠D1BD为直线BD1与底面ABCD所成的角,即可求出正四棱柱的高.
【解答】解:∵正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的侧棱D1D⊥底面ABCD,
∴∠D1BD为直线BD1与底面ABCD所成的角,
∴tan∠D1BD=,
∵正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,底面ABCD的边长为3,
∴BD=7,
∴正四棱柱的高=7=,
故答案为:
15. 某商场为了了解某品牌羽绒服的月销售量y(件)与月平均气温x(℃)之间的关系,随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温,数据如下表:
月平均气温x/℃
17
13
8
2
月销售量y/件
24
33
40
55
由表中数据算出线性回归方程中的,气象部门预测下个月的平均气温约为6 ℃,据此估计,该商场下个月毛衣的销售量的件数约为 .
参考答案:
46
略
16. 下列命题中,错误命题的序号有 .
(1)“a=﹣1”是“函数f(x)=x2+|x+a+1|(x∈R)为偶函数”的必要条件;
(2)“直线l垂直平面α内无数条直线”是“直线l垂直平面α”的充分条件;
(3)若xy=0,则|x|+|y|=0;
(4)若p:?x∈R,x2+2x+2≤0,则¬p:?x∈R,x2+2x+2>0.
参考答案:
(2)(3)
考点:命题的真假判断与应用.
专题:简易逻辑.
分析:(1)根据充分条件和必要条件的定义进行判断.
(2)根据线面垂直的定义进行判断.
(3)根据绝对值的性质进行判断.
(4)根据含有量词的命题的否定进行判断.
解答: 解:(1)若“函数f(x)=x2+|x+a+1|(x∈R)为偶函数”,
则f(﹣x)=f(x),
即x2+|x+a+1|=x2+|﹣x+a+1|,
则|x+a+1|=|x﹣(a+1)|,
平方得x2+2(a+1)x+(a+1)2=x2﹣2(a+1)x+(a+1)2,
即2(a+1)x=﹣2(a+1)x,
则4(a+1)=0,即a=﹣1,
则“a=﹣1”是“函数f(x)=x2+|x+a+1|(x∈R)为偶函数”的必要条件;正确;
(2)“直线l垂直平面α内无数条直线”则“直线l垂直平面α”不一定成立,故(2)错误;
(3)当x=0,y=1时,满足xy=0,但|x|+|y|=0不成立,故(3)错误;
(4)若p:?x∈R,x2+2x+2≤0,则¬p:?x∈R,x2+2x+2>0正确.
故错误的是(2)(3),
故答案为:(2)(3)
点评:本题主要考查命题的真假判断,涉及的知识点有充分条件和必要条件的判断,含有量词的命题的否定,综合性较强.
17. 点关于直线对称的点的坐标为 ;直线关于直线对称的直线的方程为
参考答案:
点关于直线对称的点为,在直线上任取点P,则点P关于的对称点为 在直线上,即 所以直线的方程为
故答案为;
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 在平面直角坐标系中,以O为极点, x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线的参数方程为,曲线C的极坐标方程为.
(1)写出直线的直角坐标方程和曲线C的普通方程;
(2)求直线与曲线C的交点的直角坐标.
参考答案:
(1)∵直线的参数方程为,∴,代入,
∴,即.
∴直线的直角坐标方程为;
∵曲线的极坐标方程为,∴,∴.
即.
(2)曲线的直角坐标方程为,
∴,解得或.
∴直线与曲线的交点的直角坐标为, .
19. (1)已知p:﹣x2+8x+20≥0,q:x2﹣2x+1﹣m2≤0(m>0).若“¬p”是“¬q”的充分不必要条件,求实数m的取值范围;
(2)已知两个关于x的一元二次方程mx2﹣4x+4=0和x2﹣4mx+4m2﹣4m﹣5=0,求两方程的根都是整数的充要条件.
参考答案:
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.
【专题】计算题;转化思想;综合法;简易逻辑.
【分析】(1)先求出p,q为真时的x的范围,根据q是p的充分不必要条件得到关于m的不等式组,解出即可;
(2)根据方程根的情况结合二次函数的性质求出m的范围,取交集即可.
【解答】解:(1)p:﹣2≤x≤10,q:1﹣m≤x≤1+m.﹣﹣﹣﹣﹣
∵“非p”是“非q”的充分不必要条件,∴q是p的充分不必要条件.
∴,∴0<m≤3.
∴实数m的取值范围为0<m≤3.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
(2)∵mx2﹣4x+4=0是一元二次方程,∴m≠0.
又另一方程为x2﹣4mx+4m2﹣4m﹣5=0,且两方程都要有实根,
∴,
解得m∈﹣﹣﹣﹣
∵两方程的根都是整数,故其根的和与积也为整数,
∴
∴m为4的约数.又∵m∈,∴m=﹣1或1.
当m=﹣1时,第一个方程x2+4x﹣4=0的根为非整数;
而当m=1时,两方程的根均为整数,
∴两方程的根均为整数的充要条件是m=1.﹣﹣﹣﹣﹣
【点评】本题考查了充分必要条件,考查方程根的情况,是一道中档题.
20. 已知函数f(x)=﹣x3+ax2+bx+c图象上的点P(1,﹣2)处的切线方程为y=﹣3x+1.
(1)若函数f(x)在x=﹣2时有极值,求f(x)的表达式
(2)若函数f(x)在区间上单调递增,求实数b的取值范围.
参考答案:
【考点】利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性.
【专题】计算题;综合题;压轴题.
【分析】(1)对函数f(x)求导,由题意点P(1,﹣2)处的切线方程为y=﹣3x+1,可得f′(1)=﹣3,再根据f(1)=﹣1,又由f′(﹣2)=0联立方程求出a,b,c,从而求出f(x)的表达式.
(2)由题意函数f(x)在区间上单调递增,对其求导可得f′(x)在区间大于或等于0,从而求出b的范围.
【解答】解:f′(x)=﹣3x2+2ax+b,
因为函数f(x)在x=1处的切线斜率为﹣3,
所以f′(1)=﹣3+2a+b=﹣3,即2a+b=0,
又f(1)=﹣1+a+b+c=﹣2得a+b+c=﹣1.
(1)函数f(x)在x=﹣2时有极值,所以f'(﹣2)=﹣12﹣4a+b=0,
解得a=﹣2,b=4,c=﹣3,
所以f(x)=﹣x3﹣2x2+4x﹣3.
(2)因为函数f(x)在区间上单调递增,所以导函数f′(x)=﹣3x2﹣bx+b
在区间上的值恒大于或等于零,
则得b≥4,所以实数b的取值范围为有且只有一个交点,求实数a的取值范围.
21. (本小题满分12分)
已知椭圆过点,两焦点为、,是坐标原点,不经过原点的直线与椭圆交于两不同点、.
(1)求椭圆C的方程;
(2) 当时,求面积的最大值;
(3) 若直线、、的斜率依次成等比数列,求直线的斜率.
参考答案:
(1)由题意得,可设椭圆方程为 ………2分
则,解得所以椭圆的方程为.………4分
(2)消去得:
则
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