2022-2023学年浙江省温州市鳌江镇第三中学高二数学理期末试题含解析

2022-2023学年浙江省温州市鳌江镇第三中学高二数学理期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M点，若MF2垂直于x轴，则双曲线的离心率为（　　） A． B． C． D． 参考答案： B 【考点】KC：双曲线的简单性质． 【分析】先在Rt△MF1F2中，利用∠MF1F2和F1F2求得MF1和MF2，进而根据双曲线的定义求得a，最后根据a和c求得离心率． 【解答】解：如图在Rt△MF1F2中，∠MF1F2=30°，F1F2=2c ∴， ∴ ∴， 故选B． 2. 在三棱柱ABC－A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是 A．30°         B．45°            C．60°  D．90° 参考答案： C 3. 设含有个元素的集合的全部子集数为，其中由个元素组成的子集数为，则的值为（    ） A.    B．  C．  D． 参考答案： B   解析：含有个元素的集合的全部子集数为，由个元素组成的子集数为， 4. 设函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），且函数f（x）在x=﹣4处取得极小值，则函数y=xf′（x）的图象可能是（　　） A． B． C． D． 参考答案： C 【考点】6A：函数的单调性与导数的关系． 【分析】由题意可得f′（﹣4）=0，且函数f′（x）在x=﹣2处的符号左负右正，故函数y=xf′（x）在x=﹣4处的符号左正右负，结合所给的选项，得出结论． 【解答】解：由函数f（x）在x=﹣4处取得极小值， 可得f′（﹣4）=0，且函数f′（x）在x=﹣4处的符号左负右正， 故函数y=xf′（x）在x=﹣4处的符号左正右负， 结合所给的选项， 故选：C． 5. 已知在△中，点在边上，且，，则的值为（   ） A  0                 B                C               D  -3 参考答案： A 6. 已知函数, 则的值是（     ） A． B．             C．            D． 参考答案： B 7. 要得到函数的图像，可以把函数的图像（   ） A．向右平移个单位            B.向左平移个单位        C. 向右平移个单位            D. 向左平移个单位 参考答案： B 8. 参考答案： D 略 9. 已知，，且，则                 （    ） A．        B．        C．      D． 参考答案： A 10. 在△ABC 中， ，则A等于（      ） A．60°　　    B．45°　　   C．120°　　        D．30° 参考答案： C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知sinα=，则sin4α﹣cos4α的值为　　． 参考答案： 【考点】三角函数的恒等变换及化简求值． 【分析】用平方差公式分解要求的算式，用同角的三角函数关系整理，把余弦变为正弦，代入题目的条件，得到结论． 【解答】解：sin4α﹣cos4α =sin2α﹣cos2α =2sin2α﹣1 =﹣， 故答案为：﹣． 12. 设表示向北走3米，表示向东走4米，则=       米 参考答案： 5 略 13. 先后抛掷三次一枚质地均匀的硬币，落在水平桌面上，设事件A为“第一次正面向上”，事件B为“后两次均反面向上”，则________. 参考答案： 【分析】 先列出事件与事件的基本事件的个数，再利用独立事件与条件概率的求法可得，即可求解． 【详解】由题意，先后抛掷三次一枚质地均匀的硬币，事件A为“第一次正面向上”， 其基本事件为（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（正，反，反）共4个， 在第一次正面向上的条件下，“后两次均反面向上”，其基本事件为（正，反，反）共1个， 即， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了独立事件与条件概率的计算，其中解答中熟记条件概率的计算公式，合理计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 14. 如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD的边长为7，BD1与底面所成角的大小为，则该正四棱柱的高等于　　． 参考答案： 【考点】直线与平面所成的角． 【分析】根据正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的侧棱D1D⊥底面ABCD，判断∠D1BD为直线BD1与底面ABCD所成的角，即可求出正四棱柱的高． 【解答】解：∵正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的侧棱D1D⊥底面ABCD， ∴∠D1BD为直线BD1与底面ABCD所成的角， ∴tan∠D1BD=， ∵正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD的边长为3， ∴BD=7， ∴正四棱柱的高=7=， 故答案为： 15. 某商场为了了解某品牌羽绒服的月销售量y(件)与月平均气温x(℃)之间的关系,随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温,数据如下表: 月平均气温x/℃ 17 13 8 2 月销售量y/件 24 33 40 55 由表中数据算出线性回归方程中的，气象部门预测下个月的平均气温约为6 ℃,据此估计,该商场下个月毛衣的销售量的件数约为　　　　　.    参考答案： 46 略 16. 下列命题中，错误命题的序号有        ． （1）“a=﹣1”是“函数f（x）=x2+|x+a+1|（x∈R）为偶函数”的必要条件； （2）“直线l垂直平面α内无数条直线”是“直线l垂直平面α”的充分条件； （3）若xy=0，则|x|+|y|=0； （4）若p：?x∈R，x2+2x+2≤0，则￢p：?x∈R，x2+2x+2＞0． 参考答案： （2）（3） 考点：命题的真假判断与应用． 专题：简易逻辑． 分析：（1）根据充分条件和必要条件的定义进行判断． （2）根据线面垂直的定义进行判断． （3）根据绝对值的性质进行判断． （4）根据含有量词的命题的否定进行判断． 解答： 解：（1）若“函数f（x）=x2+|x+a+1|（x∈R）为偶函数”， 则f（﹣x）=f（x）， 即x2+|x+a+1|=x2+|﹣x+a+1|， 则|x+a+1|=|x﹣（a+1）|， 平方得x2+2（a+1）x+（a+1）2=x2﹣2（a+1）x+（a+1）2， 即2（a+1）x=﹣2（a+1）x， 则4（a+1）=0，即a=﹣1， 则“a=﹣1”是“函数f（x）=x2+|x+a+1|（x∈R）为偶函数”的必要条件；正确； （2）“直线l垂直平面α内无数条直线”则“直线l垂直平面α”不一定成立，故（2）错误； （3）当x=0，y=1时，满足xy=0，但|x|+|y|=0不成立，故（3）错误； （4）若p：?x∈R，x2+2x+2≤0，则￢p：?x∈R，x2+2x+2＞0正确． 故错误的是（2）（3）， 故答案为：（2）（3） 点评：本题主要考查命题的真假判断，涉及的知识点有充分条件和必要条件的判断，含有量词的命题的否定，综合性较强． 17. 点关于直线对称的点的坐标为          ；直线关于直线对称的直线的方程为           参考答案： 点关于直线对称的点为，在直线上任取点P，则点P关于的对称点为 在直线上，即 所以直线的方程为 故答案为；   三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 在平面直角坐标系中，以O为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的参数方程为，曲线C的极坐标方程为. （1）写出直线的直角坐标方程和曲线C的普通方程； （2）求直线与曲线C的交点的直角坐标. 参考答案： （1）∵直线的参数方程为，∴，代入， ∴，即. ∴直线的直角坐标方程为； ∵曲线的极坐标方程为，∴，∴. 即. （2）曲线的直角坐标方程为， ∴，解得或. ∴直线与曲线的交点的直角坐标为， .   19. （1）已知p：﹣x2+8x+20≥0，q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0）．若“￢p”是“￢q”的充分不必要条件，求实数m的取值范围； （2）已知两个关于x的一元二次方程mx2﹣4x+4=0和x2﹣4mx+4m2﹣4m﹣5=0，求两方程的根都是整数的充要条件． 参考答案： 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【专题】计算题；转化思想；综合法；简易逻辑． 【分析】（1）先求出p，q为真时的x的范围，根据q是p的充分不必要条件得到关于m的不等式组，解出即可； （2）根据方程根的情况结合二次函数的性质求出m的范围，取交集即可． 【解答】解：（1）p：﹣2≤x≤10，q：1﹣m≤x≤1+m．﹣﹣﹣﹣﹣ ∵“非p”是“非q”的充分不必要条件，∴q是p的充分不必要条件． ∴，∴0＜m≤3． ∴实数m的取值范围为0＜m≤3．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ （2）∵mx2﹣4x+4=0是一元二次方程，∴m≠0． 又另一方程为x2﹣4mx+4m2﹣4m﹣5=0，且两方程都要有实根， ∴， 解得m∈﹣﹣﹣﹣ ∵两方程的根都是整数，故其根的和与积也为整数， ∴ ∴m为4的约数．又∵m∈，∴m=﹣1或1． 当m=﹣1时，第一个方程x2+4x﹣4=0的根为非整数； 而当m=1时，两方程的根均为整数， ∴两方程的根均为整数的充要条件是m=1．﹣﹣﹣﹣﹣ 【点评】本题考查了充分必要条件，考查方程根的情况，是一道中档题． 20. 已知函数f（x）=﹣x3+ax2+bx+c图象上的点P（1，﹣2）处的切线方程为y=﹣3x+1． （1）若函数f（x）在x=﹣2时有极值，求f（x）的表达式 （2）若函数f（x）在区间上单调递增，求实数b的取值范围． 参考答案： 【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性． 【专题】计算题；综合题；压轴题． 【分析】（1）对函数f（x）求导，由题意点P（1，﹣2）处的切线方程为y=﹣3x+1，可得f′（1）=﹣3，再根据f（1）=﹣1，又由f′（﹣2）=0联立方程求出a，b，c，从而求出f（x）的表达式． （2）由题意函数f（x）在区间上单调递增，对其求导可得f′（x）在区间大于或等于0，从而求出b的范围． 【解答】解：f′（x）=﹣3x2+2ax+b， 因为函数f（x）在x=1处的切线斜率为﹣3， 所以f′（1）=﹣3+2a+b=﹣3，即2a+b=0， 又f（1）=﹣1+a+b+c=﹣2得a+b+c=﹣1． （1）函数f（x）在x=﹣2时有极值，所以f'（﹣2）=﹣12﹣4a+b=0， 解得a=﹣2，b=4，c=﹣3， 所以f（x）=﹣x3﹣2x2+4x﹣3． （2）因为函数f（x）在区间上单调递增，所以导函数f′（x）=﹣3x2﹣bx+b 在区间上的值恒大于或等于零， 则得b≥4，所以实数b的取值范围为有且只有一个交点，求实数a的取值范围． 21. （本小题满分12分） 已知椭圆过点，两焦点为、，是坐标原点，不经过原点的直线与椭圆交于两不同点、. (1)求椭圆C的方程；        (2) 当时，求面积的最大值； (3) 若直线、、的斜率依次成等比数列，求直线的斜率. 参考答案： (1)由题意得,可设椭圆方程为   ………2分 则，解得所以椭圆的方程为.………4分 （2）消去得: 则