2021年安徽省阜阳市姜郢中学高三数学文下学期期末试卷含解析

2021年安徽省阜阳市姜郢中学高三数学文下学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知﹣2，a1，a2，﹣8成等差数列，﹣2，b1，b2，b3，﹣8成等比数列，则等于（　　） A． B． C．﹣ D．或﹣ 参考答案： B 【考点】等差数列的通项公式． 【分析】由已知结合等差数列与等比数列的性质求得a2﹣a1、b2，则答案可求． 【解答】解：∵﹣2，a1，a2，﹣8成等差数列， ∴， ∵﹣2，b1，b2，b3，﹣8成等比数列， ∴， ∴． 故选：B． 2. 在《增删算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”意思是某人要走三百七八里的路程，第一天脚步轻快有力，走了一段路程，第二天脚痛，走的路程是第一天的一半，以后每天走的路程都是前一天的一半，走了六天才走完这段路程．则下列说法错误的是（　　） A．此人第二天走了九十六里路 B．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里 C．此人第三天走的路程占全程的 D．此人后三天共走了42里路 参考答案： C 【考点】等比数列的前n项和． 【分析】由题意可知，每天走的路程里数构成以为公比的等比数列，由S6=378求得首项，再由等比数列的通项公式求第二天的，第三天的，后三天的路程，即可得到答案． 【解答】解：记每天走的路程里数为{an}， 由题意知{an}是公比的等比数列， 由S6=378，得=378， 解得：a1=192， ∴a2=a1q=192×=96， 此人第一天走的路程比后五天走的路程多192﹣（378﹣192）=6， a3=a1q2=192×=48， =＞ 前3天周的路程为192+96+48=336， 则后3天走的路程为378﹣336=42， 故选：C． 【点评】本题考查等比数列的通项公式的运用，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用，属于中档题 　 3. 已知函数f（x）= ，且?x0∈[2，+∞）使得f（﹣x0）=f（x0），若对任意的x∈R，f（x）＞b恒成立，则实数b的取值范围为（　　） A．（﹣∞，0） B．（﹣∞，0] C．（﹣∞，a） D．（﹣∞，a] 参考答案： B 【考点】利用导数研究函数的单调性． 【分析】分别求出x≤0时，x＞0时，函数f（x）的值域，再由?x0∈[2，+∞）使得f（﹣x0）=f（x0），即为+a=（x0﹣1）3+1有解，运用参数分离和构造函数，求出导数，判断符号，可得单调性，即可得到f（x）的值域，再由不等式恒成立思想，可得b的范围． 【解答】解：函数f（x）=， 当x≤0时，f（x）=+a≥a； 当x＞0时，f（x）=（x﹣1）3+1递增，可得f（x）＞0． 由?x0∈[2，+∞）使得f（﹣x0）=f（x0）， 即为+a=（x0﹣1）3+1有解， 即为a=（x0﹣1）3+1﹣， 由y=（x0﹣1）3+1﹣，x0∈[2，+∞）， 导数为3（x0﹣1）2﹣＞0在x0∈[2，+∞）恒成立， 即为函数y在x0∈[2，+∞）递增， 即有a≥2﹣＞0， 则函数f（x）的值域为（0，+∞）． 由任意的x∈R，f（x）＞b恒成立， 可得b≤0． 故选：B． 　 4. 设P为椭圆C： +=1（a＞b＞0）上的动点，F1、F2为椭圆C的焦点，I为△PF1F2的内心，则直线IF1和直线IF2的斜率之积（　　） A．是定值 B．非定值，但存在最大值 C．非定值，但存在最小值 D．非定值，且不存在最值 参考答案： A 【考点】K4：椭圆的简单性质． 【分析】连接PI并延长交x轴于G，再由内角平分线定理可得，，即，设P（x0，y0），I（xI，yI），G（xG，0），代入椭圆方程可求出，又，得，进一步求出，得xI=ex0，再求出，，化简直线IF1和直线IF2的斜率之积即可得答案． 【解答】解：如图，连接PI并延长交x轴于G， 则由内角平分线定理可得，，∴． 设P（x0，y0），I（xI，yI），G（xG，0）． 则，∴． ∴，． 又，得． ∴，得xI=ex0． ∴，， 则==． ∴直线IF1和直线IF2的斜率之积是定值． 故选：A． 5. 函数在区间[-5，5]上的最大值、最小值分别是（  　） A  12，          B 42，12        C  42，    D  最小值是，无最大值 参考答案： C 略 6. 分别是双曲线的左、右焦点，是其右支上一点，若则的内切圆方程是                                              （   ） A．         B． C． D． 参考答案： C 7. 已知函数的定义域为导函数为，则满足的实数 的取值范围为          A.   B.   C.   D. 参考答案： C 8. 等于(     ) A．0 B．2sin1 C．2cos1 D．2 参考答案： D 【考点】定积分． 【专题】导数的综合应用． 【分析】找出被积函数的原函数，计算定积分． 【解答】解：=（x3+cosx）|=1+cos1+1﹣cos1=2； 故选D． 【点评】本题考查了定积分的计算；关键是正确找出被积函数的原函数． 9. 执行如图所示的程序框图，输出的S值为﹣4时，则输入的S0的值为（　　） 　 A． 7 B． 8 C． 9 D． 10 参考答案： D 考点： 程序框图． 专题： 算法和程序框图． 分析： 根据程序框图，知当i=4时，输出S，写出前三次循环得到输出的S，列出方程求出S0的值． 解答： 解：根据程序框图，知当i=4时，输出S， ∵第一次循环得到：S=S0﹣2，i=2； 第二次循环得到：S=S0﹣2﹣4，i=3； 第三次循环得到：S=S0﹣2﹣4﹣8，i=4； ∴S0﹣2﹣4﹣8=﹣4 解得S0=10 故选D． 点评： 本题主要考查了直到型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，属于基础题之列． 10. 设集合，，则MN=（   ）   A．{}    B．{ }   C．{ }    D．{ } 参考答案： A 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知集合A={﹣2，0}，B={﹣2，3}，则A∪B=　    　． 参考答案： {﹣2，0，3}   【考点】并集及其运算． 【分析】利用并集定义直接求解． 【解答】解：∵集合A={﹣2，0}，B={﹣2，3}， ∴A∪B={﹣2，0，3}． 故答案为：{﹣2，0，3}． 【点评】本题考查并集的求法，是基础题，解题时要 认真审题，注意并集定义的合理运用． 12. 函数的递增区间是______. 参考答案： 令，则函数在定义域上单调递减，由得，或，当时，单调递减，根据复合函数的单调性可知，此时函数单调递增，所以函数的递增区间为。 13. 将函数的图像向右平移个单位后，再作关于轴对称的曲线，得到函数的图像，则______________。 参考答案： 答案： 14. 已知，函数，若存在三个互不相等的实数，使得成立，则的取值范围是          ． 参考答案： 15. 在总体为N的一批零件中抽取一个容量为30的样本,若每个零件被抽取的可能性为25%,则N的值为__________ 参考答案： 120 16. 如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC=，AB=3，AD=3，则BD的长为　　． 参考答案： 【考点】余弦定理． 【分析】由∠BAC=∠BAD+∠DAC，∠DAC=90°，得到∠BAC=∠BAD+90°，代入并利用诱导公式化简sin∠BAC，求出cos∠BAD的值，在三角形ABD中，由AB，AD及cos∠BAD的值，利用余弦定理即可求出BD的长． 【解答】解：∵AD⊥AC，∴∠DAC=90°， ∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=∠BAD+90°， ∴sin∠BAC=sin（∠BAD+90°）=cos∠BAD=， 在△ABD中，AB=3，AD=3， 根据余弦定理得：BD2=AB2+AD2﹣2AB?AD?cos∠BAD=18+9﹣24=3， 则BD=． 故答案为： 17. 已知a=e－2,b=em,且ab=1，则m=             . 参考答案： 2 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 有穷数列(n=1,2,3,…，n0, n0∈N*, n0≥2)，满足，(n=1,2,3,…，n0-1),求证： (Ⅰ)数列的通项公式为：，(n=2,3,…，n0)； (Ⅱ) ＋＋＋…＋. 参考答案： 解析:（Ⅰ）                              ……          相乘，即得：(n=2,3,…，n0) (Ⅱ) 左边＝·＋＋＋……＋ <1＋＋＋……＋ <1＋＋＋……＋ ＝2－<2    19. （本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程 已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，. （Ⅰ）写出直线的极坐标方程； （Ⅱ）求直线与曲线交点的极坐标 参考答案： 见解析 考点：参数方程 解：（Ⅰ）将消去参数，化为普通方程 再将代入，得  （Ⅱ）联立直线与曲线的极坐标方程 因为，所以可解得或， 因此与交点的极坐标分别为，． 20. 已知函数，其中a，b∈R． （1）当b=1时，g（x）=f（x）﹣x在处取得极值，求函数f（x）的单调区间； （2）若a=0时，函数f（x）有两个不同的零点x1，x2， ①求b的取值范围； ②求证：． 参考答案： 【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性． 【分析】（1）由求导，由题意可知：g′（）=0，即可求得a的值，根据函数与单调性的关系，即可求得函数f（x）的单调区间； （2）①f（x）=lnx+bx（x＞0），求导，分类，由导数与函数极值的关系，则f（x）极大值为，解得．且x→0时，f（x）＜0，x→+∞时，f（x）＜0．则当时，f（x）有两个零点； ②由题意可知：lnx1+bx1=0，lnx2+bx2=0，要证，即证lnx1+lnx2＞2，则．则，构造辅助函数，求导，根根据函数的单调性，则h（t）＞h（1）=0，则，即可证明．， 【解答】解：（1）由已知得，由g（x）=f（x）﹣x在处取得极值，则， ∴a=﹣2． 则f（x）=﹣x2+lnx+x（x＞0）． 则， 由f'（x）＞0得0＜x＜1，由f'（x）＜0得x＞1． ∴f（x）的减区间为（1，+∞），增区间为（0，1）． （2）①由已知f（x）=lnx+bx（x＞0）． ∴， 当b≥0时，显然f'（x）＞0恒成立，此时函数f（x）在定义域内递增， f（x）至多有一个零点，不合题意． 当b＜0时，令f'（x）=0得， 令f'（x）＞0得； 令f'（x）＜0得． ∴f（x）极大值为，解得． 且x→0时，f（x）＜0，x→+∞时，f（x）＜0． ∴当时，f（x）有两个零点． ②证明：∵x1，x2为函数f（x）的两个零点，不妨设0＜x1＜x2． 所以lnx1+bx1=0，lnx2+bx2=0， 两式相减得，两式相加得． 要证，即证lnx1+lnx2＞2， 即证，即证． 令，即证． 令，则， 所以h（t）＞h（1）=0，即， 所以，所以．