2018年（文科数学）（新课标Ⅱ）试卷真题+参考答案+详细解析

准确才是硬道理！ 2018年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（5分）　　 A． B． C． D． 2．（5分）已知集合，3，5，，，3，4，，则　　 A． B． C． D． 3．（5分）函数的图象大致为　　 A． B． C． D． 4．（5分）已知向量，满足，，则　　 A．4 B．3 C．2 D．0 5．（5分）从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为　　 A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3 6．（5分）双曲线的离心率为，则其渐近线方程为　　 A． B． C． D． 7．（5分）在中，，，，则　　 A． B． C． D． 8．（5分）为计算，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入　　 A． B． C． D． 9．（5分）在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为　　 A． B． C． D． 10．（5分）若在是减函数，则的最大值是　　 A． B． C． D． 11．（5分）已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为　　 A． B． C． D． 12．（5分）已知是定义域为的奇函数，满足，若，则　　 A． B．0 C．2 D．50 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．（5分）曲线在点处的切线方程为　　． 14．（5分）若，满足约束条件，则的最大值为　　． 15．（5分）已知，则　　． 16．（5分）已知圆锥的顶点为，母线，互相垂直，与圆锥底面所成角为．若的面积为8，则该圆锥的体积为　　． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。 17．（12分）记为等差数列的前项和，已知，． （1）求的通项公式； （2）求，并求的最小值． 18．（12分）如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额（单位：亿元）的折线图． 为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了与时间变量的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量的值依次为1，2，，建立模型①：；根据2010年至2016年的数据（时间变量的值依次为1，2，，建立模型②：． （1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值； （2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由． 19．（12分）如图，在三棱锥中，，，为的中点． （1）证明：平面； （2）若点在棱上，且，求点到平面的距离． 20．（12分）设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，． （1）求的方程； （2）求过点，且与的准线相切的圆的方程． 21．（12分）已知函数． （1）若，求的单调区间； （2）证明：只有一个零点． （二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分） 22．（10分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为，（为参数），直线的参数方程为，为参数）． （1）求和的直角坐标方程； （2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率． [选修4-5：不等式选讲]（10分） 23．设函数． （1）当时，求不等式的解集； （2）若，求的取值范围． 2018年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ） 参考答案与试题解析 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（5分）　　 A． B． C． D． 【解答】解：．故选：． 2．（5分）已知集合，3，5，，，3，4，，则　　 A． B． C． D． 【解答】解：集合，3，5，，，3，4，，，．故选：． 3．（5分）函数的图象大致为　　 A． B． C． D． 【解答】解：函数，则函数为奇函数，图象关于原点对称，排除， 当时，（1），排除． 当时，，排除，故选：． 4．（5分）已知向量，满足，，则　　 A．4 B．3 C．2 D．0 【解答】解：向量，满足，，则，故选． 5．（5分）从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为　　 A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3 【解答】解：（适合理科生）从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，共有种，其中全是女生的有种，故选中的2人都是女同学的概率， （适合文科生），设2名男生为，，3名女生为，，， 则任选2人的种数为，，，，，，，，，共10种，其中全是女生为，，共3种，故选中的2人都是女同学的概率，故选． 6．（5分）双曲线的离心率为，则其渐近线方程为　　 A． B． C． D． 【解答】解：双曲线的离心率为，则， 即双曲线的渐近线方程为，故选：． 7．（5分）在中，，，，则　　 A． B． C． D． 【解答】解：在中，，，，，则．故选：． 8．（5分）为计算，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入　　 A． B． C． D． 【解答】解：模拟程序框图的运行过程知， 该程序运行后输出的是； 累加步长是2，则在空白处应填入．故选：． 9．（5分）在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为　　 A． B． C． D． 【解答】解以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 设正方体棱长为2，则，，，，，2，，，设异面直线与所成角为，则， ，．异面直线与所成角的正切值为．故选． 10．（5分）若在，是减函数，则的最大值是　　 A． B． C． D． 【解答】解：，由，，得，，取，得的一个减区间为， 由在是减函数，得．则的最大值是．故选：． 11．（5分）已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为　　 A． B． C． D． 【解答】法一：，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，可得椭圆的焦点坐标，所以．可得：，可得，可得，，解得．故选：． 法二：，故选． 12．（5分）已知是定义域为的奇函数，满足，若，则　　 A． B．0 C．2 D．50 【解答】解：是奇函数，且，，， 则，则，即函数是周期为4的周期函数， ，，，， 则，则，故选：． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．（5分）曲线在点处的切线方程为　　． 【解答】解：，，当时， 曲线在点处的切线方程为．故答案为：． 14．（5分）若，满足约束条件，则的最大值为　9　． 【解答】解：由，满足约束条件作出可行域如图， 化目标函数为，由图可知，当直线过时，取得最大值， 由，解得，目标函数有最大值，为．故答案为：9． 15．（5分）已知，则　　． 【解答】解：，， 则，故答案为：． 16．（5分）已知圆锥的顶点为，母线，互相垂直，与圆锥底面所成角为．若的面积为8，则该圆锥的体积为　　． 【解答】解：圆锥的顶点为，母线，互相垂直，的面积为8，可得：，解得，与圆锥底面所成角为．可得圆锥的底面半径为：，圆锥的高为：2， 则该圆锥的体积为：．故答案为：． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。 17．（12分）记为等差数列的前项和，已知，． （1）求的通项公式； （2）求，并求的最小值． 【解答】解：（1）等差数列中，，，，，解得，，； （2），，，， 当时，前项的和取得最小值为． 18．（12分）如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额（单位：亿元）的折线图． 为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了与时间变量的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量的值依次为1，2，，建立模型①：；根据2010年至2016年的数据（时间变量的值依次为1，2，，建立模型②：． （1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值； （2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由． 【解答】解：（1）根据模型①：，计算时，； 利用这个模型，求出该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值是226.1亿元； 根据模型②：，计算时，； 利用这个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值是256.5亿元； （2）模型②得到的预测值更可靠； 因为从总体数据看，该地区从2000年到2016年的环境基础设施投资额是逐年上升的， 而从2000年到2009年间递增的幅度较小些，从2010年到2016年间递增的幅度较大些， 所以，利用模型②的预测值更可靠些． 19．（12分）如图，在三棱锥中，，，为的中点． （1）证明：平面； （2）若点在棱上，且，求点到平面的距离． 【解答】（1）证明：，，，即是直角三角形，又为的中点，，，，， ，，，平面； （2）解：由（1）得平面，， 在中，． ，． 设点到平面的距离为．由， 解得，点到平面的距离为． 20．（12分）设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，． （1）求的方程； （2）求过点，且与的准线相切的圆的方程． 【解答】解：（1）方法一：抛物线的焦点为， 设直线的方程为：，设，， 则，整理得：，则，， 由，解得：，则，直线的方程； 方法二：抛物线的焦点为，设直线的倾斜角为，由抛物线的弦长公式，解得：，，则直线的斜率，直线的方程； （2）由（1）可得的中点坐标为，则直线的垂直平分线方程为，即， 设所求圆的圆心坐标为，则，解得：或， 因此，所求圆的方程为或． 21．（12分）已知函数． （1）若，求的单调区间； （2）证明：只有一个零点． 【解答】解：（1）当时，， 所以时，令解得， 当，，时，，函数是增函数， 当时，，函数是单调递减， 综上，在，，，上是增函数，在上递减． （2）证明：因为，所以等价于， 令，则，仅当时，，所以在上是增函数； 至多有一个零点，从而至多有一个零点． 又因为，， 故有一个零点，综上，只有一个零点． （二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分） 22．（10分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为，（为参数），直线的参数方程为，为参数）． （1）求和的直角坐标方程； （2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率． 【解答】解：（1）曲线的参数方程为为参数），转换为直角坐标方程为：． 直线的参数方程为为参数）． 转换为直角坐标方程为：或． （2）把直线的参数方程为参数），代入椭圆的方程得到：整理得：，则，（由于和为、对应的参数） 由于为中点坐标，所以利