圆中的简单证明与计算

圆中的简单证明与计算 1．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于E，连结AC、OC、BC．求证：∠ACO＝∠BCD． 2．如图，AB为半圆O的直径，C为半圆O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为D，AD交半圆O于点E．求证：AC平分∠DAB． 3．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB＝8，CD＝6，求BE的长． 4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AC，BD⊥AC，垂足为E，连接CD； （1）若∠CAD＝23°，求∠BAC的度数； （2）若∠ACD＝45°，AC＝13，求CD的长． 5．如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC＝BD，连接AC交⊙O于点E，点E不与点A重合， （1）AB与AC的大小有什么关系？为什么？ （2）若∠B＝60°，BD＝3，求AB的长． 6．如图，AB是⊙O的直径，点C、D均在⊙O上，∠ACD＝30°，弦AD＝4 cm． （1）求⊙O的直径． （2）求的长． 7．如图，的半径OA＝2，OC⊥AB于点C，∠AOC＝60°． （1）求弦AB的长． （2）求的长． 8．如图，从一块直径为2 m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，求此扇形的面积． 9．如图，在△ABC中，点O是AB边上一点，OB＝OC，∠B＝30°，过点A的⊙O切BC于点D，CO平分∠ACB． （1）求证：AC是⊙O的切线； （2）若BC＝12，求阴影部分的面积． 10．圆锥母线长6 cm，底面圆半径为3 cm，求它的侧面展开图的圆心角度数． 11．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r＝2 cm，扇形的圆心角θ＝120°，求该圆锥的母线长l． 12．如图所示，已知扇形AOB的半径为6 cm，圆心角的度数为120°，若将此扇形围成一个圆锥，则： （1）求围成的圆锥的侧面积； （2）求该圆锥的底面半径． 基础提升专练题库：圆中的简单证明与计算 参考答案 1．证明：∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∴．∴∠A＝∠BCD．又∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠A．∴∠ACO＝∠BCD． 2．证明：连接OC．∵CD为圆O的切线，∴∠OCD＝90°．∴∠D+∠OCD＝180°．∴OC∥AD，∴∠DAC＝∠ACO．又OC＝OA，∴∠ACO＝∠OAC．∴∠DAC＝∠OAC．∴AC平分∠DAB． 3．解：连接OC．∵弦CD⊥AB于点E，CD＝6，∴CE＝ED＝CD＝3．∵在Rt△OEC中，∠OEC＝90°，CE＝3，OC＝4，∴OE＝＝．∴BE＝OB﹣OE＝4﹣． 4．解：（1）∵AC⊥BD，∴∠BEC＝90°．∵∠CAD＝∠CBE＝23°，∴∠ACB＝90°﹣23°＝67°．∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝67°．∴∠BAC＝180°﹣67°﹣67°＝46°． （2）∵AC⊥BD，∴∠AEB＝∠CED＝90°．∵∠ACD＝∠ABD＝45°，∴△ABE，△CED都是等腰直角三角形．∵AC＝AB＝13，∴AE＝AB＝．∴EC＝AC﹣AE＝13﹣．∴CD＝EC＝13﹣13． 5．解：（1）AB＝AC．理由如下：连接AD．∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC，∵BD＝CD，∴AB＝AC． （2）在Rt△ABD中，∵∠B＝60°，∴AB＝2BD＝2×3＝6． 6．解：（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°．∵同弧所对的圆周角相等，∴∠ABD＝∠ACD＝30°．∵AD＝4，∴AB＝8．∴⊙O的直径为8 cm． （2）连接OD，则∠AOD＝2∠ACD＝60°．∴的长为． 7．解：（1）∵的半径OA＝2，OC⊥AB于点C，∠AOC＝60°，∴OC=1．由勾股定理可得AC＝，∴AB＝2AC＝2． （2）∵OC⊥AB，∠AOC＝60°，∴∠AOB＝120°．∵OA＝2，∴的长是＝． 8．解：连接AC．∵AB＝CB，∠ABC＝90°，∴AC是⊙O的直径，即AC＝2．∴AB＝BC＝．∴扇形的面积为＝． 9．（1）证明：∵OB＝OC，∠B＝30°．∴∠OCB＝∠B＝30°．又∵CO平分∠ACB，∴∠ACB＝2∠OCB＝60°．∴∠BAC＝90°．∴OA⊥AC，即AC是⊙O的切线． （2）解：连接OD，设OC交⊙O于点F．∵⊙O切BC于点D，∴OD⊥BC．又∵OB＝OC，∠B＝30°，BC＝12，∴∠COD＝∠BOD＝60°，CD＝BC＝6．由勾股定理可得OD＝2．∴S△OCD＝CD•OD＝，S扇形ODF＝＝2π，∴S阴影＝6﹣2π． 10．解：设圆锥侧面展开图的圆心角的度数为n°．根据题意得2π•3＝，解得n＝180°，即圆锥侧面展开图的圆心角的度数为180°． 11．解：圆锥的底面周长为2π×2＝4π（ cm）．设圆锥的母线长为l，则＝4π，解得l＝6．所以该圆锥的母线长为6 cm． 12．解：（1）圆锥的侧面积＝＝12π（ cm2）． （2）该圆锥的底面半径为r，根据题意得2πr＝，解得r＝2．即圆锥的底面半径为2 cm．