基本不等式中的母题及其解答技巧教师带答案压轴题每周一练可打印

教学理念：将简单的方法练到极致就是绝招！ 课题 基本不等式中的母题及其解答技巧 不等式在各种题型中均有出现，渗透在各类考试试卷中；基本不等式是不等式中高频考点之一，其应用、变形等是考试热点．本节将针对于基本不等式及其常见母题进行解答技巧的讲解与归纳． 1．基本不等式≤ 基本不等式的使用条件： ① 一正：a＞0，b＞0，即：所求最值的各项必须都是正值； ② 二定：ab或a＋b为定值，即：含变量的各项的和或积必须是常数； ③ 三相等：当且仅当a＝b时取等号；即：等号能否取得． 在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，若忽略了某个条件，就会出现错误． 2．由公式a2＋b2≥2ab和≤可以引申出的常用结论 (1)＋≥2(a，b同号)； (2)＋≤－2(a，b异号)； (3)≤≤≤(a＞0，b＞0) ． 3．利用基本不等式求最大、最小值问题 (1)如果x＞0，y＞0，且xy＝P(定值)．那么当x＝y时，x＋y有最小值2．(简记：“积定和最小”) (2)如果x＞0，y＞0，且x＋y＝S(定值)．那么当x＝y时，xy有最大值．(简记：“和定积最大”) 类型一、直接应用类 此类问题较为基础，利用基本不等式求最值时应注意：①非零的各数(或式)均为正；②和或积为定值；③等号能否成立，即“一正、二定、三相等”，这三个条件缺一不可． 解答技巧一：直接应用 【母题一】若x＞0，y＞0，且x＋y＝18，则xy的最大值是________． 【解析】由于x＞0，y＞0，则x＋y≥2，所以xy≤2＝81，当且仅当x＝y＝9时，xy取到最大值81． 【答案】81 【变式】 1．已知f(x)＝x＋－2(x＜0)，则f(x)有 (　　) A．最大值为0　　　　　　　 B．最小值为0 C．最大值为－4 D．最小值为－4 【解析】∵x＜0，∴f(x)＝－－2≤－2－2＝－4，当且仅当－x＝，即x＝－1时取等号． 【答案】C 2．已知0＜x＜1，则x(3－3x)取得最大值时x的值为 (　　) A． B． C． D． 【解析】∵0＜x＜1，∴1－x＞0．∴x(3－3x)＝3x(1－x)≤32＝．当x＝1－x，即x＝时取等号． 【答案】B 3．(2014·成都诊断)已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)＝3x，若f(a＋b)＝9，则f(ab)的最大值为__________． 【解析】∵3a＋b＝9，∴a＋b＝2≥2，得ab≤1，∴f(ab)＝3ab≤3． 【答案】3 4．已知a，b∈R，且ab＝50，则|a＋2b|的最小值是________． 【解析】依题意得a，b同号，于是有|a＋2b|＝|a|＋|2b|≥2＝2＝2＝20，当且仅当|a|＝|2b|＝10时取等号，因此|a＋2b|的最小值是20． 【答案】20 类型二、配凑定值类(恒等变形类) 此类问题一般不能直接使用基本不等式，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，凑项，凑系数等．不论条件怎么变形，都需要根据条件：凑和为定值时求积最大、凑积为定值求和最小． 解答技巧二：拆项 【母题二】已知t＞0，则函数y＝的最小值为________． 【解析】∵t＞0，∴y＝＝t＋－4≥2－4＝－2，且在t＝1时取等号． 【答案】－2 解答技巧三：凑项 【母题三】若x＞2，则函数y＝x＋的最小值为________． 【解析】∵x＞2，∴y＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x＝3时取等号． 【答案】4 解答技巧四：凑系数 【母题四】若0＜x＜，则函数y＝x(8－3x)的最大值为________． 【解析】∵x＞2，∴y＝(3x)(8－3x)≤2＝，当且仅当x＝时取等号． 【答案】 【变式】 1．函数y＝(x＞1)的最小值是(　　) A．2＋2 B．2－2 C．2 D．2 【解析】∵x＞1，∴x－1＞0．∴y＝＝＝＝＝x－1＋＋2≥2＋2＝2＋2．当且仅当x－1＝，即x＝1＋时，取等号． 【答案】A 2．当x＞1时，不等式x＋≥a恒成立，则实数a的最大值为________． 【解析】∵x＞1，∴x－1＞0．又x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当x＝2时等号成立．则a≤3，所以a的最大值为3． 【答案】3 3．(2014·潍坊一模)已知a＞b＞0，ab＝1，则的最小值为________． 【解析】＝＝＝(a－b)＋≥2．当且仅当a－b＝时，取等号． 【答案】2 4．已知函数f(x)＝． (1)若f(x)＞k的解集为{x|x＜－3，或x＞－2}，求k的值； (2)对任意x＞0，f(x)≤t恒成立，求t的取值范围． 【解】(1)f(x)＞k⇔kx2－2x＋6k＜0． 由已知{x|x＜－3，或x＞－2}是其解集，得kx2－2x＋6k＝0的两根是－3，－2． 由根与系数的关系可知(－2)＋(－3)＝，即k＝－． (2)因为x＞0，f(x)＝＝≤＝，当且仅当x＝时取等号． 由已知f(x)≤t对任意x＞0恒成立，故t≥，即t的取值范围是． 类型三、条件最值类 利用基本不等式求最值的方法及注意点 (1)知和求积的最值：求解此类问题的关键：明确“和为定值，积有最大值”．但应注意以下两点：①具备条件——正数；②验证等号成立． (2)知积求和的最值：明确“积为定值，和有最小值”，直接应用基本不等式求解，但要注意利用基本不等式求最值的条件． (3)构造不等式求最值：在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常采用“变量替换”或“常数1”的替换，构造不等式求解． 技巧五：换衣(“1”)(或整体代换) 【母题五】已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，则＋的最小值为________． 【解析】∵a＞0，b＞0，a＋b＝1，∴＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4， 即＋的最小值为4，当且仅当a＝b＝时等号成立． 【答案】4 【变式】 1．本例的条件不变，则的最小值为________． 【解析】＝＝·＝5＋2≥5＋4＝9．当且仅当a＝b＝时，取等号． 【答案】9 2．本例的条件和结论互换即：已知a＞0，b＞0，＋＝4，则a＋b的最小值为________． 【解析】由＋＝4，得＋＝1．∴a＋b＝(a＋b)＝＋＋≥＋2＝1．当且仅当a＝b＝时取等号． 【答案】1 3．若本例条件变为：已知a＞0，b＞0，a＋2b＝3，则＋的最小值为________． 【解析】由a＋2b＝3得a＋b＝1，∴＋＝＝＋＋≥＋2＝．当且仅当a＝2b＝时，取等号． 【答案】 4．本例的条件变为：已知a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1，则＋＋的最小值为________． 【解析】∵a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1，∴＋＋＝＋＋＝3＋＋＋＋＋＋＝3＋＋＋≥3＋2＋2＋2＝9．当且仅当a＝b＝c＝时，取等号． 【答案】9 5．若本例变为：已知各项为正数的等比数列{an}满足a7＝a6＋2a5，若存在两项am，an，使得＝2a1，则＋的最小值为________． 【解析】设公比为q(q＞0)，由a7＝a6＋2a5⇒a5q2＝a5q＋2a5⇒q2－q－2＝0(q＞0)⇒q＝2．＝2a1⇒a12m－1·a12n－1＝8a⇒2m－1·2n－1＝8⇒m＋n－2＝3⇒m＋n＝5，则＋＝(m＋n)＝≥(5＋2)＝，当且仅当n＝2m＝时等号成立． 【答案】 6．(2012·浙江)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是(　　) A． B． C．5 D．6 【解析】∵x＞0，y＞0，由x＋3y＝5xy得＝1．∴3x＋4y＝(3x＋4y)＝＝＋≥＋×2＝5(当且仅当x＝2y时取等号)． 【答案】C 7．已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值是(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 【解析】(x＋y)＝1＋a＋＋≥1＋a＋2，∴当1＋a＋2≥9时不等式恒成立，故＋1≥3，a≥4． 【答案】B 技巧六：构造一元二次不等式 在运用该方式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a2＋b2≥2ab逆用就是ab≤；≥ (a，b＞0)逆用就是ab≤2 (a，b＞0)等．还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等． 思考方式还能以保留“和(a＋b)”还是“积(ab)”来确定公式的运用方向． 【母题六】若正实数x，y满足2x＋y＋6＝xy，则xy的最小值是________． 【解析】由x＞0，y＞0，2x＋y＋6＝xy，得xy≥2＋6(当且仅当2x＝y时，等号成立)，即()2－2－6≥0，∴(－3)·(＋)≥0． 又∵＞0，∴≥3，即xy≥18．∴xy的最小值为18． 【答案】18 【变式】 1．已知x＞0，y＞0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是(　　) A．3 B．4 C． D． 【解析】依题意，得2xy＝－(x＋2y)＋8≤2，当且仅当即时等号成立．∴(x＋2y)2＋4(x＋2y)－32≥0，解得x＋2y≥4或x＋2y≤－8(舍去)，∴x＋2y的最小值是4． 【答案】B 2．若正数x，y满足x2＋3xy－1＝0，则x＋y的最小值是(　　) A． B． C． D． 【解析】对于x2＋3xy－1＝0可得y＝(－x)，∴x＋y＝＋≥2＝(当且仅当＝，即x＝时等号成立)． 【答案】B 3．若实数x，y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值是________． 【解析】x2＋y2＋xy＝1⇔(x＋y)2－xy＝1⇔(x＋y)2－1＝xy≤()2，解得≤x＋y≤． 【答案】 类型四、基本不等式的应用 1．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比，如果在距车站10公里处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________公里处． 【解析】设x为仓库与车站距离，由已知y1＝，y2＝0.8x．费用之和y＝y1＋y2＝0.8x＋≥2＝8，当且仅当0．8x＝，即x＝5时等号成立． 【答案】5 2．规定记号“⊙”表示一种运算，即a⊙b＝＋a＋b(a，b为正实数)．若1⊙k＝3，则k的值为________，此时函数f(x)＝的最小值为________． 【解析】1⊙k＝＋1＋k＝3，即k＋－2＝0，∴＝1或＝－2(舍)，∴k＝1． f(x)＝＝＝1＋＋≥1＋2＝3，当且仅当＝，即x＝1时等号成立． 【答案】1；3 3．设＝(1，－2)，＝(a，－1)，＝(－b，0)(a＞0，b＞0，O为坐标原点)，若A，B，C三点共线，则＋的最小值是(　　) A．4 B． C．8 D．9 【解析】∵＝－＝(a－1,1)，＝－＝(－b－1,2)．若A，B，C三点共线，则有∥， ∴(a－1)×2－1×(－b－1)＝0，∴2a＋b＝1，又a＞0，b＞0，∴＋＝·(2a＋b)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当即a＝b＝时等号成立． 【答案】D 4．设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当取得最大值时，＋－的最大值为(　　) A．0　 B．1 C． D．3 【解析】由已知得z＝x2－3xy＋4y2(*)，则＝＝≤1，当且仅当x＝2y时取等号，把x＝2y代入(*)式，得z＝2y2，所以＋－＝＋－＝－2＋1≤1． 【答案】B 5．已知x＞0，y＞0，x＋y＋3＝xy，