材料力学03扭转

第三章第三章 扭扭 转转31 概概 述述一、扭转的力学模型一、扭转的力学模型受力特征受力特征 外力偶矩的作用面与杆件的轴线相垂直。外力偶矩的作用面与杆件的轴线相垂直。变形特征变形特征 受力后杆件表面的纵向线变形成螺旋线，即受力后杆件表面的纵向线变形成螺旋线，即 杆件任意两横截面绕杆件轴线发生相对转动。杆件任意两横截面绕杆件轴线发生相对转动。TTOBAABO扭转角扭转角（）：任意两截面绕轴线转动而发生的相对转角：任意两截面绕轴线转动而发生的相对转角 称为该两截面间杆段的扭转角。称为该两截面间杆段的扭转角。剪应变剪应变（）：直角的改变量。：直角的改变量。二、工程实例二、工程实例32 32 外力偶矩的计算，扭矩和扭转图外力偶矩的计算，扭矩和扭转图一、外力偶矩的计算一、外力偶矩的计算 1.由力系的简化求得由力系的简化求得2.传动轴的传递功率、转速与外力偶矩间的关系传动轴的传递功率、转速与外力偶矩间的关系 当传动轴稳定转动，且不计其它能量损耗时，其传递当传动轴稳定转动，且不计其它能量损耗时，其传递功率功率P、转速转速n与外力偶矩与外力偶矩 T 之间的关系为之间的关系为式中，传递功率式中，传递功率 P 的单位为：千瓦（的单位为：千瓦（kW）转速转速 n 的单位为的单位为:转每分钟转每分钟(rpm或或r/min)二、扭矩及扭矩图二、扭矩及扭矩图扭矩扭矩 受扭杆件横截面上的内力偶矩，其作用面即为与扦受扭杆件横截面上的内力偶矩，其作用面即为与扦 轴垂直的横截面。习惯上用记号轴垂直的横截面。习惯上用记号 Mt 表示，其值用表示，其值用 截面法求得。截面法求得。扭矩扭矩图图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。三、用直接法求扭矩三、用直接法求扭矩 任一横截面上的扭矩等于其一侧杆段上作用的所有任一横截面上的扭矩等于其一侧杆段上作用的所有外力对外力对 杆轴线的力矩的代数和。杆轴线的力矩的代数和。式中，式中，按右手螺旋法则，拇指离开杆端截面按右手螺旋法则，拇指离开杆端截面者取正；反之取负。者取正；反之取负。例例已知：一传动轴，已知：一传动轴，n=300r/min，主动轮输入主动轮输入 P1=500kW，从从动轮输出动轮输出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩图。试绘制扭矩图。nA B C DT2 T3 T1 T4解：解：计算外力偶矩计算外力偶矩3-3 薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒：薄壁圆筒：壁厚壁厚（r0：为平均半径）为平均半径）一、实验观察及推论：一、实验观察及推论：1.实验前：实验前：1）绘纵向线，圆周线；）绘纵向线，圆周线；2）施加一对外力偶）施加一对外力偶 T。2.实验现象实验现象1）圆筒表面的各圆周线的形圆筒表面的各圆周线的形 状、大小和间距均未改变，状、大小和间距均未改变，只是绕轴线作了相对转动。只是绕轴线作了相对转动。2）各纵向线均倾斜了同一各纵向线均倾斜了同一 微小角度微小角度 。3）所有矩形网格均歪斜成所有矩形网格均歪斜成 同样大小的平行四边形。同样大小的平行四边形。2.推论：推论：1）横截面上无正应力；）横截面上无正应力；2）横截面上各点处，只产生垂直于半径且可认为均匀分布）横截面上各点处，只产生垂直于半径且可认为均匀分布的剪应的剪应 力力 ，沿周向大小不变，方向与该截面的扭矩转向对，沿周向大小不变，方向与该截面的扭矩转向对应一致。应一致。二、薄壁圆筒扭转剪应力二、薄壁圆筒扭转剪应力 大小：大小：A0：平均半径所作圆的面积。平均半径所作圆的面积。三、剪应力互等定理：三、剪应力互等定理：剪应力互等定理：剪应力互等定理：在单元体相互在单元体相互垂直的两个平面上，垂直于公共垂直的两个平面上，垂直于公共棱边的剪应力必然成对出现，且棱边的剪应力必然成对出现，且数值相等，方向则共同指向或共数值相等，方向则共同指向或共同背离该公共棱边。同背离该公共棱边。acddxb dy tz纯剪切应力状态：纯剪切应力状态：单元体上只有剪应力而无正应力单元体上只有剪应力而无正应力 的情况。的情况。四、剪切胡克定律：四、剪切胡克定律：O p实验表明实验表明:当剪应力不超过材料的剪切比例极当剪应力不超过材料的剪切比例极限时限时（p)，剪应力与剪应变剪应力与剪应变成正比成正比。（p)剪切弹性模量剪切弹性模量G是材料的一个弹性常数，因是材料的一个弹性常数，因 无量纲，无量纲，故故G的量纲与的量纲与 相同，不同材料的相同，不同材料的G值可通过实验确定，钢值可通过实验确定，钢材的材的G值约为值约为80GPa。剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系在三个弹性常数中，只要知道任意在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量就可以推算出来。两个，第三个量就可以推算出来。3-4 圆轴扭转时横截面上的剪应力圆轴扭转时横截面上的剪应力圆轴横截面应力圆轴横截面应力变形几何方面变形几何方面物理关系方面物理关系方面静力学方面静力学方面 1.横截面变形后仍为平面；横截面变形后仍为平面；2.轴向无伸缩；轴向无伸缩；3.纵向线变形后仍为平行。纵向线变形后仍为平行。一、等直圆杆扭转实验观察：一、等直圆杆扭转实验观察：二、等直圆杆扭转时横截面上的应力二、等直圆杆扭转时横截面上的应力1.变形几何关系：变形几何关系：距圆心为距圆心为 任一点处的任一点处的 与与到圆心的距离到圆心的距离 成正比。成正比。单位长度上的扭转角。单位长度上的扭转角。根据平面假设，同一截面上各点根据平面假设，同一截面上各点 为一常数。为一常数。2.物理关系：物理关系：胡克定律：胡克定律：由于由于 发生在垂直于半径的平面内，所以发生在垂直于半径的平面内，所以 方向垂方向垂直于半径方向。直于半径方向。Mt应力分布图应力分布图Mt3.静力学关系：静力学关系：令令OdAMt故：故：4.剪应力计算公式剪应力计算公式1）公式适用于均匀连续、各向同性）公式适用于均匀连续、各向同性 材料，在线弹性范围、小变形条材料，在线弹性范围、小变形条 件下的等圆截面（实或空）直秆。件下的等圆截面（实或空）直秆。2）Mt所求横截面上的扭矩。所求横截面上的扭矩。3）欲求剪应力点到圆心的距离。欲求剪应力点到圆心的距离。4）极惯性矩，纯几何量，无物理意义。极惯性矩，纯几何量，无物理意义。横截面上的最大剪应力发生在横截面周边各点处。横截面上的最大剪应力发生在横截面周边各点处。5.横截面上的最大剪应力横截面上的最大剪应力Wt 抗扭截面系数（抗扭截面抗扭截面系数（抗扭截面 模量），几何量，单位：模量），几何量，单位：mm3或或m3。3-5 圆轴扭转时的强度计算圆轴扭转时的强度计算一、扭转破坏试验一、扭转破坏试验低碳钢试件：低碳钢试件：沿横截面断开。沿横截面断开。铸铁试件：铸铁试件：沿与轴线约成沿与轴线约成45 的的螺旋线断开。螺旋线断开。先发生屈服，试件表面先发生屈服，试件表面横向和纵向出现滑移。横向和纵向出现滑移。二、圆轴扭转时的强度计算二、圆轴扭转时的强度计算强度条件：强度条件：称为许用剪应力。称为许用剪应力。强度计算三方面：强度计算三方面：校核强度：校核强度：设计截面尺寸：设计截面尺寸：计算许可载荷：计算许可载荷：圆轴扭转时横截面上的最大剪应力不得超过材料的许用剪应力。圆轴扭转时横截面上的最大剪应力不得超过材料的许用剪应力。由由 Mt 计算外力偶矩计算外力偶矩3-6 圆轴扭转时的变形圆轴扭转时的变形 刚度条件刚度条件一、扭转时的变形一、扭转时的变形1.单位长度的扭转角单位长度的扭转角2.长为长为 l一段杆两截面间一段杆两截面间 相对扭转角相对扭转角 Mt为常量的等截面圆轴为常量的等截面圆轴GIp反映了截面抵抗扭转弹性变形的能力，称为反映了截面抵抗扭转弹性变形的能力，称为截面的抗扭刚度截面的抗扭刚度。二、圆轴扭转时的刚度计算二、圆轴扭转时的刚度计算圆轴扭转时的单位长度扭转角不得超过规定的许可值。圆轴扭转时的单位长度扭转角不得超过规定的许可值。1.刚度条件刚度条件或或 称为许用单位扭转角。称为许用单位扭转角。2.刚度计算的三方面：刚度计算的三方面：校核刚度：校核刚度：设计截面尺寸：设计截面尺寸：计算许可载荷：计算许可载荷：例例3-7 圆轴的扭转超静定问题圆轴的扭转超静定问题解决扭转超静定问题的方法步骤：解决扭转超静定问题的方法步骤：平衡方程；平衡方程；几何方程几何方程变形协调方程；变形协调方程；补充方程：由几何方程和物理方程得；补充方程：由几何方程和物理方程得；物理方程；物理方程；解由平衡方程和补充方程组成的方程组。解由平衡方程和补充方程组成的方程组。例例 例例55长为 L=2m 的圆杆受均布力偶 m=20Nm/m 的作用，如图，若杆的内外径之比为=0.8，外径 D=0.0226m，G=80GPa，试求固端反力偶。3-8 非圆截面等直杆在自由扭转时的应力和变形非圆截面等直杆在自由扭转时的应力和变形非圆截面等直杆：非圆截面等直杆：平面假设不成立。即各截面发生翘曲不保持平面。因此，由等直圆杆扭转时推出的应力、变形公式不适用，须由弹性力学方法求解。一一、自由扭转：、自由扭转：杆件扭转时，横截面的翘曲不受限制，任意两相 邻截面的翘曲程度完全相同。二二、约束扭转：、约束扭转：杆件扭转时，横截面的翘曲受到限制，相邻截面 的翘曲程度不同。三三、矩形杆横截面上的剪应力、矩形杆横截面上的剪应力:hbh 1T max 注意！b1.剪应力分布如图：（角点、形心、长短边中点）2.最大剪应力及单位扭转角最大剪应力及单位扭转角2.最大剪应力及单位扭转角hbh 1T max 注意！b其中：其中：It相当极惯性矩。注意！注意！对于W t 和 It ，多数教材与手册上有如下定义：查表求 和 时一定要注意，表中 和 与那套公式对应。hbh 1T max 注意！b例例3-9 开口和闭合薄壁截面在自由扭转时的应力开口和闭合薄壁截面在自由扭转时的应力一、剪应力流的方向与扭矩的方向一致。一、剪应力流的方向与扭矩的方向一致。二、开口薄壁截面杆在自由扭转时的剪应力分布如图（二、开口薄壁截面杆在自由扭转时的剪应力分布如图（a），），厚厚 度中点处，应力为零。度中点处，应力为零。三、闭口薄壁截面杆三、闭口薄壁截面杆在自由扭转时的剪应在自由扭转时的剪应力分布如图（力分布如图（b b），），同同 一厚度处，应力一厚度处，应力均匀分布。均匀分布。四、闭口薄壁截面杆自由扭转时的剪应力计算，在（四、闭口薄壁截面杆自由扭转时的剪应力计算，在（c）图上取单元体如图（图上取单元体如图（d）。）。图（c）d xd d 2d d1t t1t t2图（d）例例