第21讲解三角形教师

玩转数学2020 一轮复习完美题型汇编安老师培优课堂第 21 讲解三角形玩前必备1正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容asin Absin Bcsin C2R(R 是ABC 外接圆的半径)a2b2c22bccos A，b2a2c22accos_B，c2a2b22abcos_C变形形式a2Rsin A，b2Rsin_B，c2Rsin_C；sin Aa2R，sin Bb2R，sin Cc2R；a b csin_A sin_Bsin_C；asin Bbsin A，bsin Ccsin B，asin Ccsin Acos Ab2c2a22bc，cos Ba2c2b22ac，cos Ca2b2c22ab2.三角形中常用的面积公式(1)S12ah(h 表示边 a 上的高)(2)S12bcsin A12acsin B12absin C.(3)S12r(abc)(r 为ABC 内切圆的半径)玩转典例题型一题型一给值求值解三角形给值求值解三角形例 1(1)（2019 全国理 15）ABC的内角,A B C的对边分别为,a b c.若6,2,3bac B，则ABC的面积为_.解析：由余弦定理有2222cosbacacB，因为6b，2ac，3B，所以22236(2)4cos3ccc，所以212c，21sinsin6 32ABCSacBcB.(2)(2015新课标全国卷)ABC 中，D 是 BC 上的点，AD 平分BAC，ABD 面积是ADC 面积的 2 倍玩转数学2020 一轮复习完美题型汇编安老师培优课堂求sin Bsin C；若 AD1，DC22，求 BD 和 AC 的长听前试做SABD12ABADsinBAD，SADC12ACADsinCAD.因为 SABD2SADC，BADCAD，所以 AB2AC.由正弦定理，得sin Bsin CACAB12.因为 SABDSADCBDDC，所以 BD 2.在ABD 和ADC 中，由余弦定理，知AB2AD2BD22ADBDcosADB，AC2AD2DC22ADDCcosADC.故 AB22AC23AD2BD22DC26.由，知 AB2AC，所以 AC1.玩转跟踪1.（2020江苏卷）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3,2,45acB（1）求sinC的值；（2）在边BC上取一点D，使得4cos5ADC，求tanDAC的值【答案】（1）5sin5C；（2）2tan11DAC.【解析】（1）利用余弦定理求得b，利用正弦定理求得sinC.（2）根据cosADC的值，求得sinADC的值，由（1）求得cosC的值，从而求得sin,cosDACDAC的值，进而求得tanDAC的值.【详解】（1）由余弦定理得22222cos922 3252bacacB ，所以5b.由正弦定理得sin5sinsinsin5cbcBCCBb.（2）由于4cos5ADC，,2ADC，所以23sin1 cos5ADCADC.玩转数学2020 一轮复习完美题型汇编安老师培优课堂由于,2ADC，所以0,2C，所以22 5cos1 sin5CC.所以sinsinDACDACsinADCCsincoscossinADCCADCC32 5452 5555525.由于0,2DAC，所以211 5cos1 sin25DACDAC.所以sin2tancos11DACDACDAC.2.【2020 年佛山市高三检测（二）】如图,在平面四边形ABDC中，3,14ABCABAD AB，.()若5AC,求ABC的面积；()若46ADCCD，求sinCAD.【解析】分析：()由余弦定理求出BC，再用公式1sin2SAB BCBC求得面积；()设CAD，在ACD中用正弦定理表示出AC，然后在ABC中把,BACBCA用表示后，再由正弦定理得的等式，从而可求出sin.详解：玩转数学2020 一轮复习完美题型汇编安老师培优课堂()设CAD，在ACD中，由正弦定理得，sinsinACCDADCCAD,即41sin2AC，所以2sinAC.在ACD中，,24BACBCA，则sinsinACABABCCAD，即13sinsin44AC，即224sincos2sin22，整理得sin2cos.联立221sincos，解得2 5sin5，即2 5sin5CAD.题型题型二二边角统一解三角形边角统一解三角形例例 2 2(2016全国卷)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 2cos C(acos Bbcos A)c.(1)求 C；(2)若 c 7，ABC 的面积为3 32，求ABC 的周长解：(1)由已知及正弦定理得 2cos C(sin Acos Bsin Bcos A)sin C，即 2cos Csin(AB)sin C，故 2sin Ccos Csin C.可得 cos C12，所以 C3.(2)由已知得12absin C3 32.又 C3，所以 ab6.由已知及余弦定理得 a2b22abcos Cc2，故 a2b213，从而(ab)225，即 ab5.所以ABC 的周长为 abc5 7.玩转跟踪1.(2017.全国)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知ABC 的面积为23sinaA（1）求 sinBsinC;（2）若 6cosBcosC=1，a=3，求ABC 的周长.玩转数学2020 一轮复习完美题型汇编安老师培优课堂解：（1）由题设得21sin23sinaacBA，即1sin23sinacBA.由正弦定理得1sinsinsin23sinACBA.故2sinsin3BC.（2）由题设及（1）得1coscossinsin,2BCBC，即1cos()2BC.所以23BC，故3A.由题设得21sin23sinabcAA，即8bc.由余弦定理得229bcbc，即2()39bcbc，得33bc.故ABC的周长为333.2.(2019全国理 17)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设22(sinsin)sinsinsinBCABC（1）求 A；（2）若22abc，求 sinC解：（1）由已知得222sinsinsinsinsinBCABC，故由正弦定理得222bcabc由余弦定理得2221cos22bcaAbc因为0180A，所以60A（2）由（1）知120BC，由题设及正弦定理得2sinsin 1202sinACC，即631cossin2sin222CCC，可得2cos602C 由于0120C，所以2sin602C，故sinsin6060CCsin60cos60cos60sin60CC624题型题型三三判断三角形形状判断三角形形状例例 3 3(1)设ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 bcos Cccos Basin A，则ABC 的形状为()A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D不确定玩转数学2020 一轮复习完美题型汇编安老师培优课堂(2)在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若sin Asin Bac，(bca)(bca)3bc，则ABC 的形状为()A直角三角形B等腰非等边三角形C等边三角形D钝角三角形解析(1)法一：因为 bcos Cccos Basin A，由正弦定理知 sin Bcos Csin Ccos Bsin Asin A，得 sin(BC)sin Asin A.又 sin(BC)sin A，得 sin A1，即 A2，因此ABC 是直角三角形法二：因为 bcos Cccos Bba2b2c22abca2c2b22ac2a22aa，所以 asin Aa，即 sin A1，故 A2，因此ABC 是直角三角形(2)因为sin Asin Bac，所以abac，所以 bc.又(bca)(bca)3bc，所以 b2c2a2bc，所以 cos Ab2c2a22bcbc2bc12.因为 A(0，)，所以 A3，所以ABC 是等边三角形答案(1)B(2)C玩转跟踪1(2019重庆六校联考)在ABC 中，cos2B2ac2c(a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边)，则ABC 的形状为()A直角三角形B等边三角形C等腰三角形D等腰三角形或直角三角形解析：选 A已知等式变形得 cos B1ac1，即 cos Bac.由余弦定理得 cos Ba2c2b22ac，代入得a2c2b22acac，整理得 b2a2c2，即 C 为直角，则ABC 为直角三角形2创新题型在ABC 中，已知sin Asin Csin Bbca且还满足a(sin Asin B)(cb)(sin Csin B)；bcosAacos Bcsin C 中的一个条件，试判断ABC 的形状，并写出推理过程解：由sin Asin Csin Bbca及正弦定理得acbbca，即 aca2b2bc，a2b2acbc0，(ab)(abc)0，ab.若选ABC 为等边三角形由 a(sin Asin B)(cb)(sin Csin B)及正弦定理，得 a(ab)(cb)(cb)，即 a2b2c2ab.所以 cos Ca2b2c22ab12，玩转数学2020 一轮复习完美题型汇编安老师培优课堂又 C(0，)，所以 C3.ABC 为等边三角形若选ABC 为等腰直角三角形，因 bcos Aacos Bbb2c2a22bcaa2c2b22ac2c22cccsin C，sin C1，C90，ABC 为等腰直角三角形.题型题型四四三角形三角形中最值和范围中最值和范围问题问题例例 4（2020山东高三模拟）在ABC中，角,A B C的对边分别为,a b c.已知4 2c，2 5sin25C.（1）若1a，求sin A；（2）求ABC的面积S的最大值.【答案】（1）2sin10A；（2）4【解析】（1）23cos12sin25CC ，4sin5C，由正弦定理sinsinacAC得sin2sin10aCAc.（2）由（1）知3cos5C ，2222266162cos2555cbab aCbabaabbaba，所以16325ba，10ba，114sin104225SbaC，当且仅当ab时，ABC的面积S有最大值 4.例例 5（2020 届山东省六地市部分学校高三 3 月线考）在锐角ABC中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知sinsin3bAaB（1）求角 B 的大小；（2）求ca的取值范围【答案】（1）3B；（2）1,22【解析】（1）由sinsin3bAaB，根据正弦定理，有sinsinsinsin3BAAB玩转数学2020 一轮复习完美题型汇编安老师培优课堂即有13sinsinsincos322BBBB,则有tan3B，又0B，所以，3B（2）由（1），3B，则23AC，又ABC为锐角三角形，所以，02A且2032A，所以62A，于是3tan3A则231sincossinsin313222sinsinsin2tan2AAAcCaAAAA又3112tan22A,所以，ca的取值范围是1,22玩转跟踪1.(2014新课标全国卷)已知 a，b，c 分别为ABC 的三个内角 A，B，C 的对边，a2，且(2b)(sin Asin B)(cb)sin C，则ABC 面积的最大值为_解析：由正弦定理得(2b)(ab)(cb)c，即(ab)(ab)(cb)c，即 b2c2a2bc，所以 cos Ab2c2a22bc12，又 A(0，)，所以 A3，又 b2c2a2bc2bc4，即 bc4，故 SABC12bcsin A12432 3，当且仅当 bc2 时，等号成立，则ABC 面积的最大值为 3.答案：32.已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，cos3 sin0aCaCbc.（）求A的大小；（）若ABC为锐角三角形，且3a，求22bc的取值范围.题型题型五五新高考题型和应用题新高考题型和应用题例例 6（2020 届山东省淄博市高三二模）已知ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，满足3sincos