第5讲 小题特训解析几何教师版

安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨第第 5 5 讲讲 解析几何解析几何【重难点知识点网络】：【重难点题型突破】：一、解圆锥曲线的离心率或最值问题例 1（2020南通一中月考）已知椭圆?上一点?关于原点?的对称点为?，?为其右焦点，若?，设ABF，且124,，则椭圆离心率的取值范围是【答案】2623,【解析】B 和 A 关于原点对称，B 也在椭圆上安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨设左焦点为1F，根据椭圆定义：12AFAFa，又1,|2BFAFAFBFaO 是RtABF的斜边中点，2ABc，又2 sinAFc2 cosBFc将代入，得2 sin2 cos2cca，1sincosca，即11sincos2sin4e，124342,，32sin124，故椭圆离心率的取值范围为2623,【押题点】椭圆的定义、标准方程及其几何性质，椭圆的离心率取值范围问题【变式训练 1-1】.（2020江苏溧阳模拟）双曲线C的方程为222210,0 xyabab，12,l l为其渐近线，F为右焦点过F作2ll且l交双曲线C于R，交1l于M若FRFM ，且1 3,2 4则双曲线的离心率的取值范围为_【答案】2,2【解析】双曲线22221xyab的渐近线方程为：byxa，不妨设1:blyxa，2:blyxa，则:bl yxca，联立1,l l解得,22cbcMa，安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨设,R x y，FRFM 故,22cbcxc ya，故22cxcbcya，代入双曲线方程得到：2222221cbccaab，化简得到212,41e，故2,2e，故答案为：2,2【押题点】双曲线的标准方程及其几何性质，直线与双曲线的位置关系，平面向量在解析几何中的应用【变式训练 1-2】.（2020江苏前黄中学月考）1F，2F是椭圆1C和双曲线2C的公共焦点，1e，2e分别为曲线1C，2C的离心率，P为曲线1C，2C的一个公共点，若123FPF，且23,2e，则1e _【答案】2 133,133【解析】如图所示，设椭圆1C的方程为2222111xyab110ab（），半焦距为c，双曲线2C的方程为2222221xyab2a（，20b ），半焦距为c，不妨设点P在第一象限，设1PFm，2PFn，12mna，22mna，12maa，12naa，安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨在12PFF中，由余弦定理可得：22242cos3cmnmn，2221243caa，两边同时除以2c，得2221314ee，2211 1,4 3e，211133,4e，12 133,133e故答案为：2 133,133【押题点】椭圆、双曲线的标准方程及其简单几何性质【变式训练 1-3】.（2020江苏如皋中学月考）椭圆T：22221(0)xyabab的两个顶点(,0)A a，(0,)Bb，过A，B分别作AB的垂线交椭圆T于D，C（不同于顶点），若3BCAD，则椭圆T的离心率为_【答案】63【解析】依题意可得1BCADABakkkb，过A，B分别作AB的垂线交椭圆T于D，C（不同于顶点），直线BC：ayxbb，直线AD：()ayxab由()4423222222220ayx bbaxa b xbb xa ya b=+=+=，3232444422CBCa ba bxxxbaba由()4425624222222()20ayxabaxa xaa bbb xa ya b=-+-+-=+=，62444ADaa bxxab，5444Daabxba()210CaCBxb骣琪=+-琪桫，()21DaADaxb骣琪=+-琪桫，由3BCAD可得33DCxxa，安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨223ab=，椭圆T的离心率22161133bea，故答案为63【押题点】椭圆的标准方程及其简单几何性质【变式训练 1-4】.（2020江苏扬州新华中学高三月考）已知椭圆22221(0)xyabab的上顶点为 B，若椭圆上离点 B 最远的点为椭圆的下顶点，则椭圆离心率的取值范围为_【答案】20,2【解析】由题意得：0,Bb，设cos,sinP ab为椭圆上任意一点，22222222cos0sincossin2sinPBabbabbb222222sin2sinbabab，令 2222222fxbaxb xab，1,1x，对称轴为22222222bbxbaba，PB的最大值为2b且在P为椭圆下顶点时取得最大值，PB最大时，1x ，f x在1,1上单调递减，2221bba，即222222abac，222ac，22212cea，20,2e，安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨故答案为：20,2【押题点】椭圆的标准方程及其几何性质，椭圆离心率的取值范围问题二、解析几何与平面向量相结合问题例 2（2020江苏苏州模拟）如图，已知 P 是半径为 2，圆心角为3的一段圆弧 AB 上一点，2ABBC ，则PC PA 的最小值为_【答案】52 13【解析】设圆心为 O，AB 中点为 D，由题得2 2 sin2,36ABAC 取 AC 中点 M，由题得2PAPCPMPCPAAC ，两方程平方相减得2221944PC PAPMACPM ，要使PC PA 取最小值，就是 PM 最小，当圆弧 AB 的圆心与点 P、M 共线时，PM 最小此时 DM=221113,()3222DM，PM 有最小值为 2132，代入求得PC PA 的最小值为52 13故答案为52 13【押题点】直线和圆的位置关系，平面向量的数量积运算及其最值【变式训练 2-1】（2020江苏南通模拟）已知点(1,0),(1,0)AB，若圆22(1)(2)1xaya上存在点 M 满足3MA MB，则实数a的取值范围是_安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨【答案】2,1【解析】设,M x y，则1,MAxy ，1,MBxy，2221113MA MBxxyxy ，即M点轨迹为：224xy，又M为圆22121xaya上的点，存在点M，只需两圆有交点即可，222 1122 1aa ，2,1a ，本题正确结果：2,1【押题点】两圆位置关系，平面向量的数量积运算【变式训练 2-2】.（2020江苏三校联考）已知双曲线2222:10 xyCabab的右焦点为F，过F且斜率为3的直线交C于A、B两点，若4AFFB，则C的离心率为_【答案】65【解析】直线AB过点(c,0)F，且斜率为3，直线AB的方程为：3yxc，与双曲线22221xyab联立消去x，得2222412 3033bayb cyb，设1122,A x yB xy，24121222222 33,33b cbyyy yabab，4AFFB，可得124yy，代入上式得2422222222 333,433b cbyyabab，消去2y并化简整理得：22243(3)34cab，将222bca代入化简得：223625ca，解之得65ca，因此，该双曲线的离心率65cea，故答案为：65【押题点】双曲线的标准方程及其几何性质，直线与双曲线的位置关系，双曲线的离心率，平面向量在解安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨析几何中的应用三、解析几何中的最值问题或探索性问题例 3已知点P是抛物线24xy上动点，F是抛物线的焦点，点A的坐标为0,1，则PFPA的最小值为_【答案】22【解析】由题意可得，抛物线24xy的焦点0,1F，准线方程为1y ，过点P作PM垂直于准线，M为垂足，则由抛物线的定义可得PMPF，则sinPFPMPAMPAPA，PAM为锐角故当PAM最小时，PFPA的值最小设切点2,Pa a，由214yx的导数为12yx，则PA的斜率为11222aaaa，求得1a，可得2,1P，2PM，2 2PA，2sin2PMPAMPA故答案为：22【押题点】抛物线的定义、标准方程及其几何性质，直线的斜率公式，导数的几何意义安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨【变式训练 3-1】.（2020江苏启东月考）已知圆221:9Cxy，圆222:4Cxy，定点(1,0)M，动点A，B分别在圆2C和圆1C上，满足90AMB，则线段AB的取值范围_【答案】2 3 1,2 31【解析】90AMB，MAMB，2222|2|MAMBMAMBMA MBAB ，A，B分别在圆2C和圆1C上点，设11,A x y，22,B xy，2211222294xyxy，则22221211212|132ABxxyyx xy y，由MAMB，可 11221,1,0 xyxy，即1212110 xxy y，整理可得：1212121x xy yxx，21212|1321152ABxxxx，设AB中点为00,N x y，则20|154ABx，01201222xxxyyy，2200121212041321321114xyx xy yxxx，即2200132xy，安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨点00,N x y的轨迹是以1,02为圆心，半径等于3的圆，0 x的取值范围是113,322，20|154ABx的范围为134 3,134 3，故：|AB的范围为2 3 1,2 31，故答案为：2 3 1,2 31【变式训练 3-2】.（2020江苏盐城中学高三月考）已知222:2,(0)E xyaa，12,F F分别为其左右焦点，P为E上任意一点，D为12FPF平分线与x轴交点，过D作12,PF PF垂线，垂足分别为,M N，求12DMNF PFSS的最大值_【答案】14【解析】设1PFm，2PFn，12FPF，故1 2111sinsinsin22222PF FSmnmPDnPD，故2cos2mnPDmn，sinsin2mnDMDNPDmn，故1222221sinsinsinsin121444sin2DMNF PFDM DNSDM DNmnmnSmnmnmnmn当P为上下顶点时，mn，2，等号成立，故答案为：14【押题点】椭圆的标准方程及其几何性质，椭圆内三角形面积的最值问题【玩转练习】1（2020吉林省高三二模（理）连接双曲线22122:1xyCab及22222:1yxCba的 4 个顶点的四边形面安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨积为1S，连接 4 个焦点的四边形的面积为2S，则当12SS取得最大值时，双曲线1C的离心率为（）A52B3 22C3D2【答案】D【解析】双曲线22221xyab与22221yxba互为共轭双曲线，四个顶点的坐标为(,0),(0,)ab，四个焦点的坐标为(,0),(0,)cc，四个顶点形成的四边形的面积112222Sabab，四个焦点连线形成的四边形的面积2212222Sccc，所以1222221222SabababScabab，当12SS取得最大值时有ab，2ca，离心率2cea2（2020湖南省长沙市明达中学高三二模（理）如图，平面直角坐标系中，曲线(实线部分)的方程可以是（）A22110 xyxyB221 10 xyxy C22110 xyxyD22110 xyxy【答案】C安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨【解析】因为曲线表示折线段的