第2讲导数选择压轴题（解析版）

第2讲 导数选择压轴题 一、单选题： 1．（2021·湖北B4联盟）已知大于1的正数，满足，则正整数的最大值为（ ） A．7 B．8 C．9 D．11 【答案】C 【分析】等价于，令，，分别求，的导数，判断函数的单调性，可求得有最大值，有最小值，根据题意，即求，代入为，等价于，令，即求的最大的正整数．对求导求单调性，可知单调递减，代入数值计算即可求出结果． 【解析】由题干条件可知：等价于， 令，，则 ， ， 当时，，当时， ∴在上单调递增，在上单调递减，则有最大值 ． 令，，则，当时，此题无解，∴， 则，当，当， ∴在上单调递减，在上单调递增，则有最小值． 若成立，只需，即，即， 两边取对数可得：．时，等式成立，当时，有， 令，本题即求的最大的正整数． 恒成立，则在上单调递减，，，，∴的最大正整数为9．故选C． 【点睛】本题考查构造函数法解决恒成立问题． 方法点睛：双变元的恒成立问题，经常采用构造成两个函数，转化为，若，则复合恒成立的情况． 2．（2021·湖北B4联盟）已知集合，集合，若，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出集合，再根据包含关系可得在上恒成立即在上恒成立，就分类讨论后可得正确的选项． 【解析】先考虑不等式的解，∵均为上的增函数， 故为上的增函数，故． 故为不等式的解集的子集，即在上恒成立， 故在上恒成立． 令，则，故当时，，故在上为减函数； 当时，，故在上为增函数； 当时，∵，故，故在上恒成立，即在上恒成立，令，故， 当时，，当时，，故在上为增函数，在上为减函数， 故，故即． 若，当时，∵，故，∴（注意恒成立），故符合题意． 当时，∵在上恒成立， 故，即， 设，则，故在上为增函数， 故，故不成立，故舍去，综上，．故选A． 【点睛】思路点睛：导数背景下的不等式恒成立问题，应该根据不等式中解析式的特点合理转化，特别是对于指数与对数同时出现的形式，可利用同构的思想进行转化． 3．（2021·浙江绍兴市·高三期末）已知、，且，对任意均有，则（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】推导出与符号相同，构造函数，然后对四个选项中的条件逐一验证，即可得出合适的选项． 【解析】，故与的符号相同， 当时，；当时，． ∴与的符号相同． ， 令，∴当时，恒成立， 令，可得，，． ，分以下四种情况讨论： 对于A选项，当，时，则，当时，，不合乎题意，A选项错误； 对于B选项，当，时，则， 若，若、、均为正数， ①若，则，当时，，不合乎题意； ②若，则，当时，，不合乎题意． ③若、、都不相等，记，则当时，，不合乎题意． 由上可知，，当时，若使得恒成立，则，如下图所示， ∴当，时，且，时，当时，恒成立； 对于C选项，当，时，则， ①若时，则当时，，不合乎题意； ②当时，构造函数，其中，， 函数在上单调递增，则，． 当时，由于，则，不合乎题意，C选项错误； 对于D选项，当，时，则，此时、、为正数． ①当、、都不相等时，记，当时，，不合乎题意； ②若，则，当时，，不合乎题意； ③当时，，当时，， 不合乎题意． ∴D选项错误．故选B． 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于以下两点： （1）分析与同号； （2）对、、的大小关系进行讨论，结合穿针引线法进行验证． 4．（2021·江苏省天一中学高三二模）若不等式在区间内的解集中有且仅有三个整数，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题可知，设函数，，根据导数求出的极值点，得出单调性，根据在区间内的解集中有且仅有三个整数，转化为在区间内的解集中有且仅有三个整数，结合图象，可求出实数的取值范围． 【解析】设函数，，∵，∴，或，∵ 时，，或时，，，其图象如下： 当时，至多一个整数根； 当时，在内的解集中仅有三个整数，只需， ，∴．故选C． 【点睛】本题考查不等式的解法和应用问题，还涉及利用导数求函数单调性和函数图象，同时考查数形结合思想和解题能力． 5．（2021·江西八校4月联考）已知函数有两个零点，且存在唯一的整数，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可知，构造函数，利用导数研究函数的单调性及极值，又时，；当时，，作出函数的图像，利用数形结合思想即可求解． 【解析】由题意，得， 设，求导 令，解得 当时，，单调递增；当时，，单调递减； 故当时，函数取得极大值，且 又时，；当时，，故； 作出函数大致图像，如图所示： 又，， ∵存在唯一的整数，使得与的图象有两个交点，由图可知：，即，故选B． 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解． 6．（2021·河南焦作市·高三三模）已知曲线：在处的切线与曲线：在处的切线平行，令，则在上（ ） A．有唯一零点 B．有两个零点 C．没有零点 D．不确定 【答案】A 【分析】先对函数和求导，根据两曲线在处的切线平行，由导数的几何意义求出，得到函数，对其求导，利用导数的方法判定单调性，确定其在上的最值，即可确定函数零点个数． 【解析】∵，∴，又，∴， 由题设知，，即，∴，则， ∴，， 令，，则， 当时，，即函数单调递减； 当时，，即函数单调递增； ∴在上的最小值为，∴，则，∴在上单调递增，且．在上有唯一零点，故选A． 【点睛】思路点睛：利用导数的方法判定函数零点个数时，一般需要先对函数求导，利用导数的方法判定函数单调性，确定函数极值和最值，即可确定函数零点个数．（有时也需要利用数形结合的方法进行判断） 7．（2021·陕西下学期质检）已知函数关于的方程（）有8个不同的实数根，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分段函数得解析式，利用导数研究函数的性质，作出函数的图象，将方程有8个不同的实数根转化为方程在存在两个不同的实数根或在和上各有1个根，进而得到的取值范围． 【解析】当时，．令，则． 令，则，，， 故当时，函数在上单调递增， 在上单调递减，在单调递增； 当时，易知函数在上单调递减， 在上单调递增，在单调递减． 又，， 故可画出函数的大致图象如图所示， 令，则已知方程可化为． 观察图象可知，当时，只有2个交点；当时有3个交点；当时，有4个交点； 当时有5个交点；当时，有6个交点． 要想满足题意，则只需使得方程在存在两个不同的实数根或在和上各有1个根．方程的两根之积为1，令， 由题意只需解得，故选C． 【点睛】函数零点的求解与判断方法： (1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点． (2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点． (3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 8．（2021·天津十二区联考）已知定义在R上的函数，若函数恰有2个零点，则实数a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】函数恰有2个零点，转化为直线与的图象有两个交点，作出函数的图象及直线观察它们交点个数，对函数要分类讨论，求在原点处或过原点的切线斜率． 【解析】如图，数形结合，观察直线与曲线的位置关系． 当，故在处的切线方程为． 当，同理可得在处的切线方程为． 当， 设切点为，其中，则过该点的切线方程为， 代入，得，故过的切线方程为． 可得当时，有两个交点，即函数恰有两个零点． 此时，故选B． 【点睛】本题考查函数零点个数问题，解题关键是转化为直线与函数图象交点个数，通过数形结合思想求解． 9．（2021·安徽江南十校3月联考）当x>1时，函数y=(lnx)2+alnx+1的图象在直线y=x的下方，则实数a的取值范围是（ ） A．(-∞，e) B．(-∞，) C．(-∞，) D．(-∞，e-2) 【答案】D 【分析】分离参数，构造函数，求导分析出单调性，求出该函数的最小值，即可得到的取值范围． 【解析】由题意知，构造函数， 令则故当时单调递减当时单调递增，∴ ∴故选D． 10．（2021·浙江金华市·高三期末）已知函数，、．、且满足，，对任意的恒有，则当、取不同的值时，（ ） A．与均为定值 B．与均为定值 C．与均为定值 D．与均为定值 【答案】D 【分析】分析得出，利用导数分析函数的单调性，可得知为函数的极大值点，为函数的极小值点，再由、结合因式分解可得出结论． 【解析】当时，，此时，函数在上为增函数， 当、时，，，不合乎题意，∴． 由可得， 当或时，；当时，． ∴函数的单调递增区间为，，单调递减区间为． 对任意的恒有，，， 又当、且满足，， ∴为函数的极大值点，为函数的极小值点，则，， 由可得，可得， 即，∵，则， ，可得，∴，即， ∴，同理可得，故选D． 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于以下两点： （1）利用已知条件分析出、为函数的极值点； （2）利用等式，结合因式化简得出结果． 11．（2021·河南驻马店市·高三期末）已知函数，则的最大值是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数利用导数求出最小值，然后可得答案． 【解析】，设，， 当时，，是单调递增函数， 当时，，是单调递减函数，∴， ∵时有解，∴．故选A． 【点睛】本题考查了利用导数求函数的最值问题，关键点是构造函数利用导数求出最小值，考查了学生分析问题、解决问题的能力． 12．（2021·浙江绍兴市·高三期末）已知函数，若对任意，存在使得，则a的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，的值域是的值域的子集，易知的值域，对于，只需考虑时，，求解即可得出结果． 【解析】，， 当时，， 若对任意，存在使得，即存在， 的值域为，的值域包含， ，根据函数性质，只需研究的值域即可． 令，则，，，，，， 由，解得：，故a的最大值为．故选C． 【点睛】思路点睛：利用导数的方法研究函数的最值问题时，一般需要先对函数求导，根据导数的方法研究函数单调性，求出极值，结合题中条件即可求出最值（有时解析式中会含有参数，求解时，要讨论参数的不同取值范围，再判断函数的单调性，进行求解） 13．（2021·天津部分区期末考试）已知函数（为自然对数的底数），关于的方程恰有四个不同的实数根，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，由，可得，利用导数分析函数的单调性与极值，作出函数的图象，由图象可知，方程有两根、，且满足，，设，利用二次函数的零点分布可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围． 【解析】令，由，可得， 函数的定义域为，． 当时，，由可得，由可得． ∴函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，； 当时，，此时函数单调递增，且，作出函数的图象如下图所示： 由于关于的方程恰有四个不同的实数根， 则关于的二次方程恰有两个不同的实根、， 且直线与函数的图象有三个交点，直线与函数的图象有且只有一个交点，