第7讲函数填空压轴题（解析版）

第7讲 函数填空压轴题 1．（2021·浙江省宁海中学高三月考）已知，，若有两零点、，且，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】 由可得出，令，可知函数与函数图象的两个交点的横坐标、满足，对实数的取值进行分类讨论数形结合可得出关于实数的不等式，综合可得出实数的取值范围，即为所求． 【解析】 由可得，等式两边同除以，可得． 令，可得，即，设， ①当时，作出函数与函数的图象如下图所示， 若使得两个函数的图象有两个交点，则，解得，且， 由，解得，由，解得， ，不合乎题意； ②当时，作出函数与函数的图象如下图所示， ，此时两个函数图象没有交点，不合乎题意； ③当时，则， 两个函数图象没有交点，不合乎题意； ④当时，作出函数与函数的图象如下图所示， 此时，两个函数的图象有两个交点，且， （i）若，即时， 由，解得，由，解得， ，合乎题意； （ii）若时，则，则，不合乎题意； （iii）当，即时， 由，可得，由，可得， 此时，不合乎题意． 综上所述，的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】 方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解． 2．（2021·江苏省滨海中学高三月考）对任意的，不等式恒成立，则的最小值为______． 【答案】 【分析】 根据不等式恒成立，构造，有，利用二阶导数研究单调性，再讨论、时的单调性，进而确定在上的最小值及对应m、n的关系式，将与所得关系式转化为直线与曲线相切的问题，求的最小值即可． 【解析】 令，则，即， ∴单调递增， ∴当时，，即在上递减，而当时，，故不满足； 当时，若得，即， ∴时，，即递减；当时，，即递增；若令，即， 则：①当，即，恒成立； ∴情况下最小，即直线与曲线相切，而， ∴时，，有，，则； 当，即，，得， ∴情况下最小，即直线与曲线相切，而， ∴时，，有，，则； ∴综上：，即的最小值为． 故答案为：． 【点睛】 关键点点睛：根据不等式恒成立，利用导数、分类讨论的方法判断单调性，并构造函数结合导数确定目标代数式中参数的关系，由所得条件中代数式的几何含义求最小值 3．（2021·湖北高三月考）已知不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围是___________． 【答案】 【分析】 设，，对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数的单调性与最值，根据已知条件列出关于实数的不等式（组），综合可求得实数的取值范围． 【解析】 设，，其中，则， ①当时，对任意的恒成立，此时，函数在上单调递减， 当时，， 对于函数，该函数的对称轴为直线， 函数在上单调递增，当时，， 所以，当时，，不符合题意； ②当时，令，可得，列表如下： 极小值 所以，． （i）当时，即当时，，则，不符合题意； （ii）当时，即当时，则，此时，即． 对于函数，， 所以，当时，，，则对任意的恒成立． 综上所述，实数的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】 结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1），； （2），； （3），； （4），． 4．（2021·天津南开区·南开中学高三月考）已知．设函数若关于x的不等式恒成立，则a的取值范围为________． 【答案】 【分析】 欲利用单调性求值域，确定将，，分成三类讨论，又根据具体情况，在每一类情况下又细分，讨论出符合恒成立的a的取值范围． 【解析】 （1）当时，，的值域为，则恒成立， 故成立 （2）当时， 当，单调递减，故此时． 当时，，当时，单调递增；当时，单调递减 ①当时，在上单调递增． 此时的值域为，恒成立 ②当时，在时，取得最小值 当时，，则恒成立 当时，．此时若即时，，此时不符合题意 故 ，恒成立， （3）当时，时，为单调递增的一次函数，． 时 在上为增函数，值域为 要有意义，则此时，． ，故 因此，恒成立 综上所述， 故答案为： 【点睛】 （1）分段函数问题中参数值影响变形时，往往要分类讨论，需有明确的标准、全面的考虑，注意小分类要求交，大综合要求并． （2）求解过程中，求出的参数的值或范围并不一定符合题意，因此要检验结果是否符合要求． （3）分段函数的最值的求法：先求每一段的最大（小）值，再把每一段的最大（小）值比较，即得到函数的最大（小）值． 5．（2021·北京西城区·高三一模）长江流域水库群的修建和联合调度，极大地降低了洪涝灾害风险，发挥了重要的防洪减灾效益．每年洪水来临之际，为保证防洪需要、降低防洪风险，水利部门需要在原有蓄水量的基础上联合调度，统一蓄水，用蓄满指数（蓄满指数=（水库实际蓄水量）÷（水库总蓄水量）×100）来衡量每座水库的水位情况．假设某次联合调度要求如下： （ⅰ）调度后每座水库的蓄满指数仍属于区间； （ⅱ）调度后每座水库的蓄满指数都不能降低； （ⅲ）调度前后，各水库之间的蓄满指数排名不变． 记x为调度前某水库的蓄满指数，y为调度后该水库的蓄满指数，给出下面四个y关于x的函数解析式： ①；②；③；④． 则满足此次联合调度要求的函数解析式的序号是__________． 【答案】②④ 【分析】 需满足四个条件：1．自变量的取值范围为； 2．函数值域为的子集； 3．该函数在上恒有； 4．该函数为上增函数； 逐一对照分析求解即可． 【解析】 ① ，该函数在时函数值为，超过了范围，不合题意； ② 为增函数，且 且，则，符合题意； ③ ，当时，不合题意 ④ ，当时，，故该函数在上单调递增，又 设 即， 易知在上为减函数 令，则存在，有 当，；当，； 故在递增，在递减． ， 故上 即上 故④符合题意 故答案为：②④ 【点睛】 本题考查学生实际运用数学的能力．需要学生具备一定的数学建模思想，将文字语言描述的要求转化为数学表达式，再用数学方法分析求解． 6．（2021·全国天一大联考（理））已知函数的定义域为，其导函数为，且满足，，若，且．给出以下不等式： ①； ②； ③； ④． 其中正确的有___________．(填写所有正确的不等式的序号) 【答案】①②③ 【分析】 根据构造函数，再利用导数工具处理函数不等式问题． 【解析】 设，则，由此可得单调递减，所以，即，故①正确； 因为，，所以，所以单调递减，所以，所以，故②正确； 对于③，由①分析可知，欲使，且，即成立，只需满足即可，即证，设，则，则单调递增，所以，故③正确； 对于④，假设成立，因为，所以，所以，取，则，所以，矛盾，故④不正确． 故答案为：①②③． 【点睛】 关键点睛：本题的关键是通过构造函数并利用函数的单调分析不等式，根据，构造，是解决本题的关键． 7．（2021·浙江宁波市·高三月考）已知，，若对任意都成立，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】 不等式化为，令，，可得，分别讨论，，和时，求最值可得出． 【解析】 不等式两边同时除以得， 整理得， 令，，则，则， 由于对任意都成立，则有对任意恒成立， （1）当时，不成立，不符合题意； （2）当时，则当时，不等式左边取到最小，右边取到最大，满足题意， 则，解得，与矛盾，不符合； （3）当时， ①当时，则当时，不等式左边取到最小，右边取到最大，满足题意， 则，解得，； ②当时，有，即，则当时，取得最大值为，则，； ③当时，恒成立，满足题意， 综上所述，的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】 关键点睛：本题考查不等式的恒成立问题，解题的关键是将不等式转化为在恒成立，再讨论的范围即可． 8．（2021·超级全能生联考（文））已知是定义在上的偶函数，当时，，设，若函数，则在区间上的零点个数为___________． 【答案】 【分析】 求出函数的最小正周期，作出函数与的图象，分析两个函数在和上的图象的交点个数，由此可得出结论． 【解析】 函数的最小正周期为． 当时，；当时，． 要求函数的零点个数，即求函数与的图象的交点个数， ， 所以，函数与在上的图象无交点． 作出函数与的图象如下图所示： 当时，由图象可知，对任意的且， 函数与在上的图象有两个交点， 所以，函数与在上的图象有个交点； 当时，由图象可知，函数与在上的图象无交点， 对任意的且，函数与在上有且只有两个交点， 所以，函数与在上共有个交点． 综上所述，在区间上的零点个数为． 故答案为：． 【点睛】 方法点睛：判定函数的零点个数的常用方法： （1）直接法：直接求解函数对应方程的根，得到方程的根，即可得出结果； （2）数形结合法：先令，将函数的零点个数，转化为对应方程的根，进而转化为两个函数图象的交点个数，结合图象，即可得出结果． 9．（2021·浙江温州市·温州中学高三开学考试）已知函数，若对任意，存在、使得，则的最大值为__________． 【答案】 【分析】 分析得出函数的值域为值域的子集，求出函数的值域，利用导数求出函数的值域，可得出关于实数的不等式，由此可得出实数的最大值． 【解析】 对任意的，，则，， 当时，可视为曲线上的点与连线的斜率， ， 当时，由可得， 即对任意，存在，使得， 所以，函数的值域为值域的子集， ，则， 令，则，令，可得． 当或时，；当时，． 所以，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为． 所以，函数的极大值为，极小值为， 当时，；当时，． 所以，函数的值域为， 由已知可得，，整理得，解得． 因此，实数的最大值为． 【点睛】 结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数，，，． （1）若，，有成立，则； （2）若，，有成立，则； （3）若，，有成立，则； （4）若，，有成立，则的值域是的值域的子集． 10．（2021·江西宜春市·高三期末（理））已知函数存在个零点，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【分析】 令可得出，令，，利用导数分析函数与的单调性与极值，数形结合可得出与函数的两个交点的横坐标在区间内，进而可求得实数的取值范围． 【解析】 令，可得， 令，， ，令，可得，列表如下： 极大值 所以，函数在处取得最大值，即． 当时，． 所以，函数的定义域为， ，令，由于，解得，列表如下： 极大值 所以，函数在处取得最大值，即， 若使得函数存在个零点， 则直线与函数的图象恰有两个交点，设交点的横坐标分别为、， 作出函数的图如下图所示： 由图象可知，． 作出函数与函数在上的图象如下图所示： 由图象可知，当时，即当时， 直线与函数在上的图象有两个交点， 综上所述，实数的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】 思路点睛：对于复合函数的零点个数问题，求解思路如下： （1）确定内层函数和外层函数； （2）确定外层函数的零点； （3）确定直线与内层函数图象的交点个数分别为、、、、，则函数的零点个数为． 11．（2021·北京朝阳区期末）设函数的定义域为，若对任意，存在，使得，则称函数具有性质，给出下列四个结论： ①函数不具有性质； ②函数具有性质； ③若函数，具有性质，则； ④若函数具有性质，则．