第1讲 小题特训函数、方程与不等式解析版

安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨第第 1 1 讲讲 函数、方程与不等式函数、方程与不等式【重难点知识点网络】：【重难点题型突破】：一、挖掘分段函数的图像与在性质一、挖掘分段函数的图像与在性质例 1 1.已知函数(2)1,1()log,1aaxxf xx x，若()f x在(,)上单调递增，则实数a的取值范围为【解析】()f x在R上递增，需2012 10aaa 解得23.a【变式训练 1-1】、已知函数 223,1log,1a xa xf xx x的值域为R，则实数a的取值范围是()A1,2B1,2C,1 D1【解析】当1x 时2log0yx，所以要使 f x的值域为R，需满足 23g xa xa在1x 时的值域包含所有负数，所以 2010ag，解得12a，故选 B.安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨例 2.2.已知函数213,1()log,1xx xf xxx，若对任意的Rx，不等式 2724fxmm恒成立，则实数m的取值范围是（）A1(,8 B1(,1,)8 C1,)D1,18【答案】B【解析】对于函数213,1()log,1xx xf xxx，当1x 时，2111()()244f xx；当1x 时，13()log0f xx，则 函 数 f x的 最 大 值 为14，则 要 使 不 等 式 2724fxmm恒 成 立，则271244mm，解得1(,1,)8m ，故选B【变式训练 2-1】、设函数33,()2,xx xaf xx xa.若0a，则()f x的最大值为_；若()f x无最大值，则实数a的取值范围是_.【解析】如图作出函数3()3g xxx与直线2yx 的图象，它们的交点是(1,2)A，(0,0)O，(1,2)B，由2()33g xx知1x是函数()g x的极大值点.当0a 时，易知max()(1)2f xf；当1a 时，()f x有最大值(1)2f；只有当1a 时，由332aaa，知()f x无最大值，综上：空填2，1.a 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨二、辨析函数的零点与方程的根二、辨析函数的零点与方程的根例例 3 3.已知实数a，b满足23a，32b，则函数 xf xaxb的零点所在的区间是（）A.21，B.1,0C.0,1D.1,2【解析】23a，32b，1a，01b，又 xf xaxb，1110fba，010fb，从而由零点存在定理可知 f x在区间1,0上存在零点故选 B.【变式训练 3-1】、已知函数)(xf是定义在),0()0,(上的偶函数，当0 x时，,2),2(21,20,12)(1xxfxxfx，则函数1)(2)(xfxg的零点个数为个【解析】函数1)(2)(xfxg的零点个数等价于函数)(xfy 的图象与直线21y的图象的交点的个数由已知条件作出函数)(xfy 的图象与直线21y的图象，如下图由图可知，函数()yf x的图象与直线21y的图象有 6 个交点例例 4（判断零点个数判断零点个数）定义在R上的偶函数()f x满足(1)(1)f xf x，且当 1,0 x 时，2()f xx，函数()g x是定义在R上的奇函数，当0 x 时，()lgg xx，则函数()()()h xf xg x的零点的的个数是（）安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨A9B10C11D12【答案】C【解析】由于11f xf x，所以，函数 yf x的周期为2，且函数 yf x为偶函数，由 0h x，得出 f xg x，问题转化为函数 yf x与函数 yg x图象的交点个数，作出函数 yf x与函数 yg x的图象如下图所示，由图象可知，01f x，当10 x 时，lg1g xx，则函数 yf x与函数 yg x在10,上没有交点，结合图像可知，函数 yf x与函数 yg x图象共有 11 个交点，故选 C.【变式训练 4-1】、（由方程的根求取值范围）（由方程的根求取值范围）已知函数 ln,011,1xxfxxx，若0ab且满足()()f af b，则()()af bbf a的取值范围是（）A(11,1)eB1(,1eC1(1,1eD1(0,1)e【答案】A【解析】由 f af b，得1lnab.因为101b，所以0ln1a，得11ae.又 11lnln1(1)af bbf aabaa aabe，令 1ln1(1)g xx xxe ln1gxx.令 10gxxe，.当11xe时，0gx，g x在1,1e上递减安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 111g xe故选 A.三、研究嵌套函数的零点的相关问题三、研究嵌套函数的零点的相关问题例 5.5.已知实数,0,()lg(),0,xexf xx x若关于x的方程2()()0fxf xt 有三个不同的实根，则t的取值范围为（）A2,(B),1 C 1,2D),1 2,(【解析】做出函数)(xf的图象，如图所示，由图可知，当1m时直线my 与)(xf的图象有两个交点，当1m时直线my 与)(xf的图象有一个交点，题意要求方程0)()(2txfxf有三个不同的实根，则方程20mmt 必有两不等实根，且一根小于 1，一根不小于 1，当011t，即2t时，方程022 mm的两根为 1 和2，符合题意；当011t，即2t时，方程20mmt 有两个不等实根，且一根小于 1，一根大于 1，符合题意.综上由2t.【变式训练 5-1】、（由零点个数求字母范围）（由零点个数求字母范围）已知()11xf xe，若函数2()()(2)()2g xf xaf xa有三个零点，则实数a的取值范围是（）A(2,1)B(1,0)C(0,1)D(1,2)【答案】A【解析】20g xf xf xa有三个零点，20f x 有一个零点，故 0f xa，有两个零点，代入 f x的解析式，得到11xea ，构造新函数 1,1xh xem xa ，绘制这两个函数的图像，如图可知安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨因而 m x介于 A,O 之间，建立不等关系01 1a ，解得 a 的范围为2,1，故选 A。例 6（2020 届河南省驻马店市高三第二次模拟）已知函数 2943,02log9,0 xxxf xxx，则函数 yff x的零点所在区间为（）A73,2B1,0C7,42D4,5【答案】A【解析】当0 x 时，34f x.当0 x 时，2932log92log9xxxfxx 为增函数，且 30f，则3x 是 fx唯一零点.由于“当0 x 时，34f x.”令 0ff x，得 32log93xf xx，因为 303f，33778 2log98 1.414log 393.312322f，所以函数 yff x的零点所在区间为73,2，故选 A。【变式训练 6-1】、（判断零点所在区间）（判断零点所在区间）已知单调函数()f x的定义域为(0,)，对于定义域内任意x，2()log3ff xx，则函数()()7g xf xx的零点所在的区间为（）安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨A(1,2)B(2,3)C(3,4)D(4,5)【答案】C【解析】根据题意，对任意的(0,)x，都有2()log3ff xx，又由 f x是定义在0+，上的单调函数，则2()logf xx为定值，设2()logtf xx，则 2logf xxt，又由 3f t，2log3f ttt，所以2t，所以 2log2f xx，所以 2log5g xxx，因为 1020304050ggggg，所以零点所在的区间为（3，4）.四、含参数函数的最值问题与解决策略四、含参数函数的最值问题与解决策略例 7.已知函数 231,ln42xxf xeg x，若 f mg n成立，则nm的最小值为（）A.12ln22B.ln2C.2ln2D.1ln22【答案】D【解析】令231ln42mnek，则141ln3,22kmkne，来源:Z_xx_k.Com所以1412ln32knmek，令 1412ln32kh kek，则 14122kh kek，又 h k是增函数，且104h，所以 h k在10,4单调递减，1,4单调递增，所以 min11ln242h kh，故选 D。来源:Z+xx+k.Com【变式训练 7-1】、（四川省成都市四川省成都市 20192019 届高三第一次诊断性考试，理科，届高三第一次诊断性考试，理科，1212）设椭圆012222babyaxC：的左右顶点为 A,B.P 是椭圆上不同于 A,B 的一点，设直线 AP,BP 的斜率分别为 m,n，则当|ln|ln32323nmmnmnba取得最小值时，椭圆 C 的离心率为（）安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨A.51B.22C.54D.23【答案】D【解析】设,0,0,00yxPaBaA，点 P 在双曲线上，得01220220babyaxC：，2202220)(axaby，所以axym00，axym00，化简,22abmn原式babababaabababbaln63232ln62323232222所以设1bat，构造函数tttttfln63232)(23，求导可以得到：2t 时，函数取得最小值=)2(f，2ba，23e。【玩转练习】1.已知函数11()12xf xe，则()f x是（）A.奇函数，且在 R 上是增函数B.偶函数，且在(0,+)上是增函数C.奇函数，且在 R 上是减函数D.偶函数，且在(0,+)上是减函数【答案】C【解析】定义域为 R，关于原点对称，1112xfxe112xxee，有 0fxf x，所以 f x是奇函数，函数 1112xfxe，显然是减函数.故选 C.安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨2.已知函数,0,ln,0,)(xxxexfx()()g xf xxa 若()g x存在 2 个零点，则a的取值范围是（）A 1,0)B0,)C 1,)D1,)【答案】C【解析】函数()()g xf xxa存在 2 个零点，即关于x的方程()f xxa有 2 个不同的实根，函数()f x的图象与直线 yxa有 2 个交点，作出直线 yxa与函数()f x的图象，如图所示，由图可知，1a，解得1a，故选 C3.定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x-4)=-f(x)，且在区间0，2上为增函数，若方程 f(x)=m(m0)在区间-8，8上有四个不同的根 x1，x2，x3，x4，则 x1+x2+x3+x4的值为()A.8B.-8C.0D.-4【答案】B【解析】定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x-4)=-f(x)，f(x)=f(x+8)，f(4-x)=f(x)，f(0)=0.函数图象关于直线 x=2 对称，且函数的周期为 8.f(x)在区间0，2上为增函数，f(x)在区间-2，0上为增函数，综上条件得函数 f(x)的示意图如图所示.安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨由图看出，四个交点中两个交点的横坐标之和为2(-6)，另两个交点的横坐标之和为22，故x1+x2+x3+x4=-8，故选 B.4.设函数1()ln3f xxx，则函数()f x(）A在区间1(,1)e，(1,)e内均有零点B在区间1(,1)e，(1,)e内均无零点C在区间1(,1)e内有零点，在(1,)e内无零