第8讲导数填空压轴题（解析版）

学生学生+解析电子解析电子 wordword 版下载请加版下载请加 QQQQ 教研群，群号教研群，群号 721144129721144129，更多资料关注公众号：玩转高中数学研讨，更多资料关注公众号：玩转高中数学研讨第第 8 讲讲导数填空压轴题导数填空压轴题1（2021湖北十一校三月联考）已知不等式2(2ln)(1)10axxxax对任意0 x 恒成立，则实数 a 的取值范围是_【答案】1,12e【分析】设 2lnf xaxx，211g xxax，对实数a的取值进行分类讨论，利用导数分析函数 f x的单调性与最值，根据已知条件列出关于实数a的不等式（组），综合可求得实数a的取值范围【解析】设 2lnf xaxx，211g xxax，其中0 x，则 1212axfxaxx，当0a 时，0fx对任意的0 x 恒成立，此时，函数 f x在0,上单调递减，当1x时，120f xfa，对于 函数 211g xxax，该函 数的对称轴 为直线1122ax，函数 g x在1,2上单调递增，当1x时，110g xga，当1x时，0f x g x，不符合题意；当0a 时，令 0fx，可得12xa，列表如下：x10,2a12a1,2a fx0 f x极小值 min111 ln1ln222fxfaaa （i）当11ln20faa 时，即当102ae时，2110agaa，则110fgaa，不符合题意；（ii）当11ln20faa 时，即当12ae时，则2110agaa，此时1a，即112ae学生学生+解析电子解析电子 wordword 版下载请加版下载请加 QQQQ 教研群，群号教研群，群号 721144129721144129，更多资料关注公众号：玩转高中数学研讨，更多资料关注公众号：玩转高中数学研讨对于函数 211g xxax，214130aaa，当0 x 时，0f x，0g x，则 0f x g x 对任意的0 x 恒成立综上所述，实数a的取值范围是1,12e【名师点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：（1）xD，minmf xmf x；（2）xD，maxmfxmfx；（3）xD，maxmfxmfx；（4）xD，minmf xmf x2（2021江苏启东市高三期末）若关于x 的不等式lnxeaxa恒成立，则实数a 的取值范围为_【答案】0,e【分 析】首 先 不 等 式 变 形 为lnxeaex，经 讨 论0a 不 成 立，当0a 时，不 等 式 变 形 为lnlnxxeaexexeaexex，通过设函数()xg xxe，转化为不等式()(ln)eg xagex恒成立，通过函数 g x的单调性，和正负区间，讨论求a的取值范围【解析】解：lnlnlnxxxeaxaeaxaeaex若0a，0 x 时，lnex ，1xe，lnaex ，此时lnxeaex不恒成立，0a，lnlnxxeaexexeaexex，令 xg xxe，()(1)0,1xg xxex，,1x 时，0gx，1,x ，0gx，()g x在(,1)单调递减，(1,)单调递增，min1()(1)g xge，()(ln)eg xagex，ln()0ex 时，()0g x，(ln)0gex，原不等式恒成立；ln()0ex 时，()(ln)g xagexe，令()lnf xxex，11()10 xfxxx，1x，学生学生+解析电子解析电子 wordword 版下载请加版下载请加 QQQQ 教研群，群号教研群，群号 721144129721144129，更多资料关注公众号：玩转高中数学研讨，更多资料关注公众号：玩转高中数学研讨0,1x时，0fx，1,x时，0fx，()f x在(0,1)单调递减，在(1,)单调递增，min()(1)0f xf，lnxex，()(ln)g xgex，即()1(ln)g xgex，1ae，0ae【名师点睛】关键点点睛：本题考查不等式恒成立求参数的取值范围，第一个关键是说明0a 不恒成立，第二个关键是0a 时，不等式的变形lnlnxxeaexexeaexex，构造函数 xg xxe，第三关键是证明()1(ln)g xgex3（2021江苏三校联考）已知32cos263am，32cos263m，其中mR，则cos()_【答案】12【分析】构造3()sinf xxx，判断 f x的奇偶性与单调性，把2cos3化为sin6，2cos3化为sin6，利用 f x的奇偶性与单调性求出的值，再计算cos()的值【解析】设3()sinf xxx，则2()3cosfxxx，易知 fx是偶函数当01x时，230 x，cos0 x，()0fx；当1x时，233x，cos1x ，()0fx，()0fx恒成立，即 f x在定义域内单调递增3()sin()fxxxf x ，f x为奇函数，f x的图象关于点0,0对称，2coscossin3266，332cossin26366m，同理可得33cossin262666m 学生学生+解析电子解析电子 wordword 版下载请加版下载请加 QQQQ 教研群，群号教研群，群号 721144129721144129，更多资料关注公众号：玩转高中数学研讨，更多资料关注公众号：玩转高中数学研讨则066ff，066，即3，故1cos()cos324（2021海口市海南中学高三月考）已知函数 eln2xf xx，22xg xxm，若函数 h xg f xm有 3 个不同的零点 x1，x2，x3(x1x2x3)，则1232f xf xf x的取值范围是_【答案】11 002，【分析】先根据题意，求出 h xg f xm的解得,2mfx 或 f xm，然后求出 f(x)的导函数，求其单调性以及最值，在根据题意求出函数 h xg f xm有 3 个不同的零点 x1，x2，x3(x1x2x3)，分情况讨论求出1232f xf xf x的取值范围【解析】令 t=f（x），函数 h xg f xm有 3 个不同的零点，即 22tg ttm+m=0 有两个不同的解，解之得12,2mttm，即,2mfx 或 f xm，eln2xf xx的导函数，21 ln(0)2exfxxx，令 0fx，解得 xe，0fx，解得 0 x0)，得 y=2ax，由 y=ex，得 y=ex，曲线 C1：y=ax2(a0)与曲线 C2：y=ex存在公共切线，设公切线与曲线 C1切于点(x1，ax12)，与曲线 C2切于点22,xx e，则22211212xxeaxaxexx，可得 2x2=x1+2，11212xeax，记 122xef xx，则 12224xexfxx，当 x(0，2)时，f(x)0，f(x)递增当 x=2 时，2min4ef x，a 的范围是2,4e18（2021东北三省四市联考）已知函数 2xxf xee，g xxa，若关于x的不等式 11f xg x 在R上恒成立，求实数a的取值范围是_【答案】ln2 13a【分析】先研究函数 1h xf x的单调性，再讨论 1g x 表示的直线与 h x相切时参 a 的值，结合直线特征确定纵截距使得 h x恒在直线上方，即求得参数的取值范围学生学生+解析电子解析电子 wordword 版下载请加版下载请加 QQQQ 教研群，群号教研群，群号 721144129721144129，更多资料关注公众号：玩转高中数学研讨，更多资料关注公众号：玩转高中数学研讨【解析】令 1h xf x，则 222xxxxxeeh xeee，令 0h x，得ln2x，当,ln2x 时，0h x，h x单调递减，当ln2,x时，0h x，h x单调递增又 g xxa，则 11xxag，当 11xxag时，若直线1yxa与 yh x相切时，设切点为11,1x xa，则 11121xxh xee，解得1ln2x，又 1111211xxh xeexa，ln2ln221ln21eea，解得此时纵截距为12ln2a，故当纵截距12ln2a时，可以使 11f xg x 恒成立，即ln2 1a；当 11axxg 时，若直线1yxa 与 yh x相切时，设切点为22,1xxa，则22221xxh xee，解得20 x，又2222211xxh xeexa ，002101eea，解得此时纵截距为12a ，故当纵截距12a 时，可以使 11f xg x 恒成立，即3a；由已知对x R，都有 11f xg x，需ln2 13a 故答案为：ln2 13a【名师点睛】关键点点睛：本题的解题关键在于确定 1g x 表示的直线与曲线 1h xf x相切时的临界状态下的纵截距，再结合截距变化确定何时 h x恒在直线上方，即突破难点19（2021安徽皖北协作区联考）已知函数2ln(1),()1(1),exxf xxxx若函数()()()1g xf f xaf xa恰有 5 个不同的零点，则实数 a 的取值范围是_【答案】102a【分析】运用导数研究函数当 x1 时，函数的图像大致情况，结合函数零点的定义，运用换元法、数形结合思想进行求解即可学生学生+解析电子解析电子 wordword 版下载请加版下载请加 QQQQ 教研群，群号教研群，群号 721144129721144129，更多资料关注公众号：玩转高中数学研讨，更多资料关注公众号：玩转高中数学研讨【解析】当 x1 时，2(1 ln)()exfxx)，()0fx1xe，()0fxxe，()f x在(1，e)上单调递增，在(e，+)上单调递减，ln()1eef ee，且当 x+时()0f x，x 轴为曲线()f x的水平渐近线；当1x 时，2()1f xx，()f x在(,0)上单调递减，在(0，1)上单调递增，且(0)1f 由此作图，图像如图，设()f xt，则由()()()10g xf f xaf xa，得()10()1(1)1f tataf tataa t ，若函数()()()1g xf f xaf xa恰有 5 个不同的零点，则关于 x 的方程()()()10g xf f xaf xa 恰有 5 个不同的实根，则 结 合 函 数()yf x的 图 像 及 直 线(1)1ya x得()(1)1f ta t恰 有 2 个 不 等 的 实 根，1()1,0ttf x 有 2 个不等的实根，2()0,1ttf x有 3 个不等的实根，函数()(1)1f ta t恒过(1,1)，当直线过(1,0)时，斜率1 011(1)2a ，102a【名师点睛】方法点睛：解决函数零点问题经常用到的方程就是数形结合，用导数研究函数的性质20（2021湖南衡阳市高三一模）定义在R上的函数 fx满足 21fxfx，fx的导函数 fx，则20192021ff _学生学生+解析电子解析电子 wordword 版下载请加版下载请加 QQQQ 教研群，群号教研群，群号 721144129721144129，更多资料关注公众号：玩转高中数学研讨，更多资料关注公众号：玩转高中数学研讨【答案】0【分析】对 21fxfx两边同时求导得 20 xxff，进而得答案【解析】21fxfx，两边同时求导可得：20 xxff，故201902021ff【名师点睛】本题考查复合函数导数问题，解题的关键在于根据已知对函数求导，考查运算求解能力，是中档题21（2021山西临汾市高三一模）对于一个函数 yf xxD，若存在两条距离为d的直线1ykxm和2ykxm，使得 12kxmf xkxm在xD时恒成立，称函数 f x在D内有一个宽度为d的通道则下列函数在1,内有一个宽度为 1 的通道的有_（填序号即可）1sin cos2f xx；ln xfxx；21f xx；2cos3f xxx【答案】【分析】对于，分析发现 f x在定义域内存在最大和最小值，则 f x在两条水平直线之间，计算过最值的两条水平直线间的距离可判断；对于，可发现函数 f x的渐近线为yx，则可判定过端点与渐进性平行的直线为1yx，且距离1d，则存在两条直线，距离可得到【解析】对于，1