2023届高三数学一轮大题专练13—导数（任意、存在性问题1）

2023届高三数学一轮大题专练13—导数（任意、存在性问题1） 1．已知是自然对数的底数，，． （1）当时，求证：在上单调递增； （2）是否存在实数，对任何，都有？若存在，求出的所有值；若不存在，请说明理由． 解：（1）证明：， 分 ，， ， 当时，在上单调递增； （2）解：由（1）知，当时，在上单调递增， 此时，，由于，， ，与题意不符；分 当时，设，则在上单调递增， 根据函数与的性质得与的图象在第一象限有唯一的交点，设交点的横坐标为， 则，即， ，即， ， 当时，，故，所以在上是减函数； 当时，，，所以在，上是增函数， 当时，取得最小值，且的最小值为， 对，都有，分 设（a），则（a）， 当时，（a），所以（a）在上是增函数； 当时，（a），所以（a）在上是减函数； 当时，（a）取得最大值，且（a）的最大值为（1）； 当时，（a），即，且“”成立， 由得， ， 综上所述，存在唯一的实数，且，，都有．分 2．设函数，其中． （1）讨论的单调性； （2）若不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）求证：对于任意，存在实数，当时，恒成立． 解：（1），， ①当时，恒成立，所以在上为减函数； ②当时，由，得，由，得； 由，得， 所以在上为减函数，在上为增函数； （2）由得，，即不等式，恒成立， 记，则，由得，； 由得，；由得，． 所以在为增函数，在上为减函数， 所以，所以； （3）证明：由（1）知， 当时，在上为减函数，在上为增函数． ①当，即时，因为在上为增函数， 又（1），所以，当时，，此时取； ②当，即时， 因为， 所以，， 令，，则上式， 记，，则， 所以在上为增函数， 所以（1），即， 因为在上为增函数，且， 所以当时，，此时取． 综上，对于任意，存在实数，当时，恒成立． 3．已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若存在实数，使得恒成立的值有且只有一个，求的值． 解：（1），的定义域是， ， 当时，，在上单调递增， 当时，令，解得：， 当时，，当，时，， 在上单调递增，在，上单调递减； 综上：当时，在上单调递增， 当时，在上单调递增，在，上单调递减； （2）恒成立，即恒成立， 令，则， ①当时，，单调递增， 要使在上恒成立， 只需， ，此时不唯一，不合题意； ②当时，令，解得：， 在上单调递增， 要使在上恒成立，只需， ，此时不唯一，不合题意； ③当时，令，解得：， 当时，，单调递减， 当，时，，单调递增， ， 要使在上恒成立，且的值唯一，只需， 整理得， 令，则， 令，解得：， 当时，，单调递增， 当，时，，单调递减， ， 要使的值唯一，只需， 解得：，， ． 4．已知函数． （1）设，求函数的最小值； （2）设，对任意，，恒成立，求的最大值． 解：（1）， 令，则，， 则， 当时，，单调递减， 当，时，，单调递增， 故的最小值是， 即的最小值是； （2）， 则 ， 由（1）知， 故， 故， 故的最大值是． 5．已知函数，． （1）若对任意给定的，，总存在唯一一个，，使得成立，求实数的取值范围； （2）若对任意给定的，，在区间，上总存在两个不同的，使得成立，求实数的取值范围． 解：（1）由题意知，， 因为，所以由，解得或，由，解得， 故的单调递增区间为，单调递减区间为，和，， ，，（1），， 所以的值域为，， 又因为在，上单调递增， 所以的值域为，， 问题转化为直线，，和曲线，的图象只有一个交点， 结合图象，有，解得的取值范围是，． （2）由（1）可知，问题转化为，，和曲线，二者的图象有两个不同的交点， 结合图象，有，解得的取值范围是． 6．已知函数，，． （1）若在，上单调递减，求实数的取值范围； （2）若对于，总存在，，且满，，其中为自然对数的底数，求实数的取值范围． 解：（1）， ， 令，因为对，恒成立， ，即在，上为增函数， ， 在，上单调递减， 对，恒成立，即 ， 即实数的取值范围是，． （2）当时，， 在区间上为增函数， 时，， 的对称轴为， 由题意可得，此时， 的值恒小于和（4）中最大的一个 对于，总存在，，且满足，， ，，，（4）， ， ， 即实数的取值范围是．