2023届高三数学一轮大题专练16—导数（数列不等式的证明2）

2023届高三数学一轮大题专练16—导数（数列不等式的证明2） 1．已知函数． （1）若在上恒成立，求实数的取值范围． （2）证明：，． 解：（1），等价于， 令，则， 令，解得：，令，解得：， 故在递增，在递减， 故（e）， 故实数的取值范围是，． （2）证明：由（1）可知在上恒成立， 则，即，当且仅当时“”成立， 取，2，3，，则，，，，， 将上述不等式相乘可得， 即，故． 2．已知函数． （1）若，求实数的值； （2）求证：． 解：（1），则． ①当时，，在上单调递增， （1），当时，（1），不符合题意，舍去； ②当时，，由得，，由得，， 在上单调递增，在上单调递减， （1），当时，（1），不符合题意，舍去； ③当时，，由得，；由得，， 在上单调递增，在上单调递减， 又（1），成立； ④当时，，由得，，由得，， 在上单调递增，在上单调递减， （1），当时，（1），不符合题意，舍去； 综上得，． （2）证明：由（1）知，当时，在上成立，即， 令，则， ， 即， ． 3．设． （1）当时，求证：； （2）证明：对一切正整数，都有． 证明：（1）， ，，单调递增， 时，，在递增， ； （2）时，，， ，令，，2，3，， ， ， 故原命题成立． 4．已知函数． （1）证明：时，； （2）证明：时，． 证明：（1）设， 则， 故函数为减函数， 可得，即， 故为减函数， 所以． （2）由（1）知：时，， 可得（1）， 所以， 所以， 因为时，， 所以， 所以， 所以． 5．已知函数． （1）求函数在，上的最大值； （2）当时，求证：． 解：（1）， ①当时，，在，上单调递增，则； ②当时，令，解得，易知当时，，单增，当时，，单减， 当，即时，在，上单减，则； 当，即时，在，单增，则； 当，即时，在单增，在单减，则； （2）证明：当时，不等式显然成立； 当时，有 ， 设， ， ， ，即． 6．已知函数． （1）当时，求的单调区间； （2）①若恒成立，求的值； ②求证：对任意正整数，都有（其中为自然对数的底数） 解：（1）的定义域为，（1分） 令得或时，；时，；时， 所以，的单调增区间是，单调减区间是，，（3分） （2）①解：由，得对恒成立． 记其中（1）， ， 当时，恒成立，在上单调递减，时，（1），不符合题意；（4分） 当时，令，得， 时，，时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， （a）（6分） 记（a），（a）． 令（a）得， 时（a）；时，（a）， （a）在上单调递减，在上单调递增． （a）（1），即（a），（a）． 又（1），故（8分） ②证明：由①可知：，（当且仅当时等号成立）． 令，则，． ， ． 7．已知，其中，且（e）． （1）求与的关系； （2）若在其定义域内为单调函数，求的取值范围； （3）证明：①； ②． 解：（1）由题意，， ，，， 所以； （2）由（1）知：，， 令．要使在为单调函数，只需在满足：或恒成立． ①时，，，，， 在单调递减，适合题意． ②当时，图象为开口向上抛物线，对称轴为． ．只需，即时，， 在单调递增，适合题意． ③当时，图象为开口向下的抛物线，其对称轴为， 只需，即时，恒成立． ，在单调递减，适合题意． 综上①②③可得，或． （3）证明：①即证：， 设． 当时，，为单调递增函数； 当时，，为单调递减函数； 为的极大值点，（1）． 即，． ②由①知，又， ， ，时，令，得， ， ， ， 结论成立．