2023届高三数学一轮大题专练6—导数（零点个数问题2）

一轮大题专练6—导数（零点个数问题2） 1．已知函数． （1）证明：有唯一极值点； （2）讨论的零点个数． 解：（1）． 设，则，故单调递增． 又，． 故存在唯一，使得． 当时，，单调递减；当时，，单调递增． 故是的唯一极值点； （2）由（1）是的极小值点，且满足． 又； 同理． 故时，有两个零点；时，有一个零点；时，无零点． 又 令，解得，即． 令， 此时关于单调递增，故． 令，解得，即． 此时，故 令，解得，即． 此时关于单调递增，故． 综上所述：当时，有两个零点； 当时，有一个零点； 当时，无零点． 2．已知函数． （1）求函数的单调区间和极值； （2）画出函数的大致图象，并说明理由； （3）求函数的零点的个数． 解：（1）函数，定义域为，则， 令，解得， 当时，，则单调递减，当时，，则单调递增， 故当时，函数有极小值， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为，有极小值，，无极大值； （2）令，解得，当时，，当时，， 所以的图象经过特殊点，，， 当时，与一次函数相比，指数函数呈爆炸式增长，增长速度更快， 结合（1）中的单调性与极值情况，作出函数的图象如图所示： （3）函数的零点的个数为函数的图象与直线的交点个数， 由（1）以及（2）的图象可知，当时，有极小值， 结合函数的图象，所以关于函数的零点的个数如下： 当时，零点的个数为0个； 当或时，零点的个数为1个； 当时，零点的个数为2个． 3．已知函数． （1）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围； （2）当时，讨论函数的零点个数，并给予证明． 解：（1）， 由题意得，即在区间上恒成立， 当时，，所以， 故实数的取值范围是，． （2）由已知得，则， 当时，，函数单调递减， 又，（1），故函数有且只有一个零点． 当时，令，得，函数单调递减； 令，得，函数单调递增， 而，在上恒成立）， 由于，所以， 所以在，上存在一个零点， 又，且， 设（a），（a）在恒成立， 故（a）在上单调递增， 而，所以（a）在上恒成立，所以， 所以在，上存在一个零点． 综上所述，当时，函数有且只有一个零点； 当时，有两个零点． 4．已知函数，其中，． （1）当时，求曲线在点，处的切线方程； （2）判断函数是否存在极值，若存在，请判断是极大值还是极小值；若不存在，说明理由； （3）讨论函数在，上零点的个数． 解：（1）时，，，， ，，， 故切线方程是：； （2）， 设，， 故递减，， 又时，， ①若，即时，使， 当时，，递增， 当，时，，递减， 在处取极大值，不存在极小值， ②若，即，， 在，递增，此时无极值， （3）由（2）可知： 若时，由上问可知： ， 即时函数没有零点， 若时，，时，递增， ，时，递减， 由得，从而， 再设，则从而关于递增， ①若，，此时，， 若得或， 时无零点， 得， 时有1个零点， 当时，，，有1个零点， 因此时无零点，时有1个零点； ②，，此时，， ，， ， 设，则， 故， 若即，即时无零点， 若即，即时有1个零点， 综上，，，时无零点， ，时有1个零点． 5．设，． （1）讨论在，上的单调性； （2）令，试判断在上的零点个数，并加以证明． 解：（1）， 令，则，或， 时，，单调递增， ，时，，单调递减， 时，，单调递增， ，时，，单调递减， 综上，的单调递增区间为和， 单调递减区间为，和，． （2）在上有3个零点，证明如下： ，则， 故是的一个零点， ， 是偶函数， 要确定在上的零点个数，只需确定时，的零点个数即可， ①当时，， 令，即，， 时，，单调递减，， ，时，，单调递增，， 在有唯一零点． ②当时，由于，，， 而在，单调递增，，故， 故在，无零点， 在有一个零点， 由于是偶函数，在有一个零点，而， 故在上有且仅有3个零点． 6．已知函数的图象在点处的切线方程为． （1）若对任意有恒成立，求实数的取值范围； （2）若函数在区间内有3个零点，求实数的范围． 解：（1），． 函数的图象在点处的切线的方程为． （1），（1）， ，解得，． ． ， ，． 当时，函数取得最大值，． 对任意有恒成立，． ． 实数的取值范围是，． （2）由（1）可得： ， ， 令，解得，1． 列表如下： 1 0 0 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 由表格可知：当时，函数取得极小值（1）；当时，函数取得极大值 ． 要满足函数在区间内有3个零点， ， 解得， 则实数的取值范围．