2021-2022学年湖南省岳阳市汨罗市九年级（上）期中数学试题及答案解析

2021-2022学年湖南省岳阳市汨罗市九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 下面四个关系式中，y是x的反比例函数的是(    ) A. y=1x2 B. y=x2 C. y=5x+6 D. y=−7x 2. 在同一平面直角坐标系中，函数y=k(x−1)与y=kx的大致图象(    ) A. B. C. D. 3. 已知x2+y2−4x+6y+13=0，则xy+(3−π)0的值为(    ) A. 10 B. 109 C. −7 D. 98 4. 把方程(2x−1)(3x+1)=x化成一般形式后，一次项系数和常数项分别是(    ) A. 4，1 B. 6，−1 C. −2，−1 D. −4，1 5. 如图，点A在反比例函数y=kx(x>0)的图象上，AB⊥x轴于点B，C是OB的中点，连接AO，AC，若△AOC的面积为4，则k=(    ) A. 16 B. 12 C. 8 D. 4 6. 如图，在△ABC中，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，不一定能使△ADE与△ABC相似的条件是(    ) A. ∠AED=∠B B. ∠ADE=∠C C. AEAB=DEBC D. ADAC=AEAB 7. 已知a，b，c为△ABC的三边，且2ab+c=2ba+c=2ca+b=k，则k的值为(    ) A. 1 B. 12或−1 C. −2 D. 1或−2 8. 对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，下列说法：①若a+b+c=0，则b2−4ac≥0；②若方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根；③若c是方程ax2+bx+c=0的一个很，则一定有ac+b+1=0成立；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，则b2−4ac=(2ax0+b)2.其中正确的(    ) A. ①② B. ①②④ C. ①②③④ D. ①②③ 二、填空题（本大题共8小题，共32.0分） 9. 已知xy=23，则2x+yy=______． 10. 如图，反比例函数y=kx的图象上有一点A，过点A作AB⊥x轴于B，S△AOB=2，则k=______． 11. 已知函数y=(m−2)xm2−10是反比例函数，图象在第一、三象限内，则m的值是______． 12. 如图，AB//CD//EF，若ACCE=12，BD=3，则DF=______． 13. 已知m是一元二次方程x2+x−6=0的一个根，则代数式2021−m−m2的值等于______． 14. 一元二次方程2x2−bx+c=0的两根为x1，x2，若x1+x2=5，x1⋅x2=−2，则b+c=______． 15. 定义：如果两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们称这两个方程为“友好方程”，如果关于x的一元二次方程x2−2x=0与x2+3x+m−1=0为“友好方程”，则m的值______ ． 16. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别在CD、AD边上，且CE=DF，连接BE、CF相交于G点．则下列结论：①BE=CF；②S△BCG=S四边形DFGE；③CG2=BG⋅GE；④当E为CD中点时，连接DG，则∠FGD=45°，正确的结论是______.(填序号) 三、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. (本小题6.0分) 计算：|3−3|+(π−2)0−(12)−1． 18. (本小题6.0分) 解方程： (1)(2x+3)2−25=0 (2)3x2−5x+5=7． 19. (本小题8.0分) 如图，AB⋅AE=AD⋅AC，且∠1=∠2，求证：△ABC∽△ADE． 20. (本小题8.0分) 如图，已知反比例函数y=kx(k≠0)与正比例函数y=2x的图象交于A(1,m)，B两点． (1)求该反比例函数的表达式； (2)若点C在x轴上，且△BOC的面积为3，求点C的坐标． 21. (本小题8.0分) 已知关于x的一元二次方程(x−m)2+2(x−m)=0(m为常数)． (1)求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根． (2)若该方程有一个根为4，求m的值． 22. (本小题8.0分) 如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m2？ 23. (本小题10.0分) 直播购物逐渐走进了人们的生活.某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件.通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件． (1)若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？ (2)小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元.为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过(1)中的售价，则该商品至少需打几折销售？ 24. (本小题10.0分) 已知在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4.点Q是线段AC上的一个动点，过点Q作AC的垂线交线段AB(如图1)或线段AB的延长线(如图2)于点P． (1)当点P在线段AB上时，求证：△AQP∽△ABC； (2)当△PQB为等腰三角形时，求AP的长． 答案和解析 1.【答案】D  【解析】解：A、y=1x2，不符合反比例函数的定义，故此选项不符合题意； B、y=x2，是正比例函数，故此选项不符合题意； C、y=5x+6是一次函数，故此选项不符合题意； D、y=−7x，符合反比例函数的形式，是反比例函数，故此选项符合题意． 故选：D． 根据反比例函数的定义，反比例函数的一般式是y=kx(k≠0)，即可判定各函数的类型是否符合题意． 本题考查了反比例函数的定义，掌握反比例函数解析式的一般形式：y=kx(k≠0)是解题的关键． 2.【答案】B  【解析】解：分两种情况： 当k>0时，函数y=k(x−1)的图象经过一三四象限，y=kx的图象分布在一三象限； 当k<0时，函数y=k(x−1)的图象经过一二四象限，y=kx的图象分布在二四象限； 故选：B． 分别根据一次函数与反比例函数图象的特点解答即可． 本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，关键是由k的取值确定函数所在的象限． 3.【答案】D  【解析】解：∵x2+y2−4x+6y+13=0， ∴x2−4x+4+y2+6y+9=0， (x−2)2+(y+3)2=0， ∴x−2=0，y+3=0， 解得，x=2，y=−3． 代入原式=2−3+1， =123+1 =98． ∴xy+(3−π)0=98． 故选：D． 先配方，再根据非负数的和为0，求x，y的值，最后求结果． 本题考查配方法的应用，整式运算，掌握如何配方，每一个非负数等于0是解题关键． 4.【答案】C  【解析】解：因为(2x−1)(3x+1)=x， 所以6x2+2x−3x−1=x， 所以6x2−2x−1=0， 这个方程的一次项系数为−2，常数项为−1． 故选：C． 一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0(a,b,c是常数且a≠0)，特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点． 在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 本题考查了一元二次方程的一般形式，要确定二次项系数和常数项，首先要把方程化成一般形式．注意在说明二次项系数，一次项系数，常数项时，一定要带上前面的符号． 5.【答案】A  【解析】解：∵C是OB的中点，△AOC的面积为4， ∴△AOB的面积为8， 设A(a,b) ∵AB⊥x轴于点B， ∴ab=16， ∵点A在反比例函数y=kx(x>0)的图象上， ∴k=16． 故选：A． 由C是OB的中点求△AOB的面积，设A(a,b)根据面积公式求ab，最后求k． 本题考查了比例系数k的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征，掌握用面积法求k是解题关键． 6.【答案】C  【解析】解：由题意得，∠A=∠A， A、当∠ADE=∠B时，△ADE∽△ABC；故本选项不符合题意； B、当∠ADE=∠C时，△ADE∽△ABC；故本选项不符合题意； C、当AEAB=DEBC时，不能推断△ADE与△ABC相似；故选项符合题意； D、当ADAC=AEAB时，△ADE∽△ACB；故本选项不符合题意． 故选：C． 由已知及三角形相似的判定方法，对每个选项分别分析、判断解答出即可． 本题考查了直角三角形相似的判定：①有两个对应角相等的三角形相；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似． 7.【答案】A  【解析】解：根据题意有：2a=k(b+c)，2b=k(a+c)，2c=k(a+b)， ∴2(a+b+c)=2k(a+b+c)， ∵a、b、c为△ABC的三边， ∴a+b+c≠0， ∴k=1． 故选：A． 依据2ab+c=2ba+c=2ca+b=k，即可得出2(a+b+c)=2k(a+b+c)，再根据a、b、c为△ABC的三边，可得a+b+c≠0，进而得到k=1． 此题主要考查了三角形三边关系及比例的基本性质的综合运用，注意三角形的三边之和大于0． 8.【答案】B  【解析】解：①若a+b+c=0，则x=1是方程ax2+bx+c=0的解， 由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知：△=b2−4a≥0，故①正确； ②方程ax2+c=0有两个不相等的实根， ∴△=0−4ac>0， ∴−4ac>0 则方程ax2+bx+c=0的判别式△=b2−4a>0， ∴方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根， 故②正确； ③∵c是方程ax2+bx+c=0的一个根， 则ac2+bc+c=0， ∴c(ac+b+1)=0， 若c=0，等式仍然成立， 但ac+b+1=0不一定成立， 故③不正确； ④若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根， 则由求根公式可得：x0=， ∴2ax0+b=， ∴b2−4ac=(2ax0+b)2， 故④正确． 故正确的有①②④， 故选：B． 根据一元二次方程根的判别式及根的定义逐个判断排除． 本题考查一元二次方程根的判断，根据方程形式，判断根的情况是求解本题的关键． 9.【答案】73  【解析】解：∵xy=23， ∴x=23y， ∴2x+yy=2×23y+yy=73． 故答案为73． 利用比例性质得到x=23y，然后把它代入所求的分式进行分式的化简计算即可． 本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的基本性质(内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质等)是解决问题的关键． 10.【答案】−4  【解析】解：∵AB⊥x轴， ∴S△AOB=12|k|=2， ∵k<0， ∴k=−4． 故答案是：−4． 根据反比例函数y=kx(k≠0)中比例系数k的几何意义得到S△AOB=12|k|=2，然后根据反比例函数性质确定k得值． 本题考查了反比例函数y=kx(k≠0)中比例系数k的几何意义：过反比例函数图象上任意一点分别作x轴、y轴的垂线，则垂线与坐标轴所围成的矩形的面积为|k|． 11.【答案】3  【解析】解：∵函数y=(m−2)xm2−10是反比例函数， ∴m2−10=−1， 解得，m2=9，