2021-2022学年辽宁省沈阳市沈北新区九年级（上）期中数学试题及答案解析

2021-2022学年辽宁省沈阳市沈北新区九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，共20.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 点P(−3,1)在双曲线y=kx上，则k的值是(    ) A. −3 B. 3 C. −13 D. 13 2. 若四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，且AB：A′B′=1：2，已知BC=8，则B′C′的长是(    ) A. 4 B. 16 C. 24 D. 64 3. 若x2=y3=z4，则x−2y+z2x−y−z=(    ) A. 0 B. 1 C. 12 D. 2 4. 若菱形ABCD的边长为2，其中∠ABC=60°，则菱形ABCD的面积为(    ) A. 4 B. 43 C. 2 D. 23 5. 一元二次方程x2−2x+m=0总有实数根，则m应满足的条件是(    ) A. m>1 B. m=1 C. m<1 D. m≤1 6. 某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是(    ) A. 50(1+x2)=196 B. 50+50(1+x2)=196 C. 50+50(1+x)+50(1+x)2=196 D. 50+50(1+x)+50(1+2x)=196 7. 关于反比例函数y=3x的图象，下列说法正确的是(    ) A. 图象经过点(1,1) B. 两个分支分布在第二、四象限 C. 两个分支关于x轴成轴对称 D. 当x<0时，y随x的增大而减小 8. 如图，双曲线y=mx与直线y=kx+b交于点M、N，并且点M的坐标为(1,3)，点N的纵坐标为−1.根据图象信息可得关于x的方程mx=kx+b的解为(    ) A. −3，1 B. −3，3 C. −1，1 D. −1，3 9. 下列说法中不正确的是(    ) A. 四边相等的四边形是菱形 B. 对角线垂直的平行四边形是菱形 C. 菱形的对角线互相垂直且相等 D. 菱形的邻边相等 10. 正方形ABCD在直角坐标系中的位置如下图表示，将正方形ABCD绕点A顺时针方向旋转180°后，C点的坐标是(    ) A. (2,0) B. (3,0) C. (2,−1) D. (2,1) 二、填空题（本大题共6小题，共18.0分） 11. 方程2x2−2x=0的根为______． 12. 若矩形ABCD的两邻边长分别为一元二次方程x2−7x+12=0的两个实数根，则矩形ABCD的对角线长为______． 13. 如图，在△ABC中，DE/​/BC，DEBC=23，△ADE的面积是8，则△ABC的面积为______． 14. 已知线段AB=2，点C为线段AB的黄金分割点，则AC的长度为______． 15. 如图，正方形ABOC的边长为2，反比例函数y=kx过点A，则k的值是______ ． 16. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC=16，BD=12，过点O作OH⊥AB，垂足为H，则点O到边AB的距离OH=______． 三、解答题（本大题共9小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. (本小题8.0分) 解方程： (1)2x2−4x−5=0； (2)(x−2)2=(2x+3)2． 18. (本小题6.0分) 如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=10cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动．点Q到达点C后，点P、Q停止运动．设P、Q从点A、B同时出发，经过多少秒后，△PBQ的面积是10cm2？ 19. (本小题8.0分) 如图．在▱ABCD中，点E在边BC上，点F在边AD的延长线上，且DF=BE.EF与CD交于点G.    (1)求证：BD//EF .    (2)若DGGC=23，BE=4，求EC的长.  20. (本小题8.0分) 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB的中点，且AE/​/CD，CE/​/AB． (1)证明：四边形ADCE是菱形； (2)若∠B=60°，BC=6，求菱形ADCE的高．(计算结果保留根号) 21. (本小题8.0分) 小丽为校合唱队购买某种服装时，商店经理给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10件，单价为80元；如果一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，但单价不得低于50元．按此优惠条件，小丽一次性购买这种服装付了1200元．请问她购买了多少件这种服装？ 22. (本小题8.0分) 如图，在△ABC中，AB=AC=6，BC=5，D是AB上一点，BD=2，E是BC上一动点，连接DE，作∠DEF=∠B，射线EF交线段AC于F． (1)求证：△DBE∽△ECF； (2)当F是线段AC中点时，求线段BE的长； 23. (本小题12.0分) 如图，已知反比例函数y=kx(x>0)的图象经过点A(4,2)，过A作AC⊥y轴于点C.点B为反比例函数图象上的一动点，过点B作BD⊥x轴于点D，连接AD.直线BC与x轴的负半轴交于点E． (1)求k的值； (2)连接CD，求△ACD的面积； (3)若BD=3OC，求四边形ACED的面积． 24. (本小题12.0分) 如图，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数y=mx(m≠0)的图象交于二、四象限内的A、B两点，与x轴交于C点，点A的坐标为(−3,4)，点B的坐标为(6,n)． (1)求该反比例函数和一次函数的解析式； (2)连接OB，求△AOB 的面积； (3)在x轴上是否存在点P，使△APC是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 25. (本小题12.0分) 如图1，在正方形ABCD中，点E是边BC上一点，且点E不与点B、C重合，点F是BA的延长线上一点，且AF=CE． (1)求证：△DCE≌△DAF； (2)如图2，连接EF，交AD于点K，过点D作DH⊥EF，垂足为H，延长DH交BF于点G，连接HB，HC． ①求证：HD=HB； ②若DK⋅HC=2，求HE的长． 答案和解析 1.【答案】A  【解析】 【解答】 解：∵点P(−3,1)在双曲线y=kx上， ∴k=−3×1=−3， 故选：A． 【分析】 此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特点，关键是掌握反比例函数y=kx图象上的点，横纵坐标的积是定值k． 根据反比例函数图象上的点(x,y)的横纵坐标的积是定值k，即xy=k可得答案．   2.【答案】B  【解析】 【分析】 本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应边的比相等是解题的关键． 根据相似多边形的对应边的比相等列出比例式，把已知数据代入计算即可． 【解答】 解：∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′， ∴BCB′C′=ABA′B′， ∵AB：A′B′=1：2，BC=8， ∴8B′C′=12， 解得：B′C′=16， 故选：B．   3.【答案】A  【解析】解：设x2=y3=z4=k， 则x=2k，y=3k，z=4k， 所以x−2y+z2x−y−z=2k−6k+4k4k−3k−4k=0． 故选：A． 设x2=y3=z4=k，得出x=2k，y=3k，z=4k，再代入要求的式子进行计算即可得出答案． 此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键． 4.【答案】D  【解析】解：如图，过点A作AE⊥BC于E， 则∠AEB=90°， ∵菱形ABCD的边长为2，∠ABC=60°， ∴∠BAE=90°−60°=30°， ∴BE=12AB=1， ∴AE=3BE=3， ∴菱形的面积=BC×AE=2×3=23． 故选：D． 过点A作AE⊥BC于E，由含30°角的直角三角形的性质得BE=1，再求出AE的长，然后由菱形的面积公式即可得解． 本题考查了菱形的性质、解直角三角形等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 5.【答案】D  【解析】 【分析】 本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式Δ的关系： (1)Δ>0⇔方程有两个不相等的实数根； (2)Δ=0⇔方程有两个相等的实数根； (3)Δ<0⇔方程没有实数根． 根据根的判别式，令Δ≥0，建立关于m的不等式，解答即可． 【解答】 解：∵方程x2−2x+m=0总有实数根， ∴Δ≥0， 即4−4m≥0， ∴−4m≥−4， ∴m≤1． 故选：D．   6.【答案】C  【解析】解：依题意得八、九月份的产量为50(1+x)、50(1+x)2， ∴50+50(1+x)+50(1+x)2=196． 故选：C． 主要考查增长率问题，一般增长后的量=增长前的量×(1+增长率)，如果该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么可以用x分别表示八、九月份的产量，然后根据题意可得出方程． 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，增长率问题，一般形式为a(1+x)2=b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量． 7.【答案】D  【解析】 【分析】 本题考查了反比例函数y=kx(k≠0)的性质： ①当k>0时，图象分别位于第一、三象限；当k<0时，图象分别位于第二、四象限． ②当k>0时，在同一个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，在同一个象限，y随x的增大而增大．根据反比例函数的性质，k=3>0，函数位于一、三象限，在每一象限y随x的增大而减小． 【解答】 解：A、把点(1,1)代入反比例函数y=3x得3≠1不成立，故A选项错误； B、由k=3>0知，它的图象在第一、三象限，故B选项错误； C、图象的两个分支关于y=x对称，故C选项错误； D、当x<0时，y随x的增大而减小，故D选项正确． 故选：D．   8.【答案】A  【解析】解：∵M(1,3)在反比例函数图象上， ∴m=1×3=3， ∴反比例函数解析式为：y=3x， ∵N也在反比例函数图象上，点N的纵坐标为−1． ∴x=−3， ∴N(−3,−1)， ∴关于x的方程mx=kx+b的解为：−3，1． 故选：A． 首先把M点代入y=mx中，求出反比例函数解析式，再利用反比例函数解析式求出N点坐标，求关于x的方程mx=kx+b的解就是看一次函数与反比例函数图象交点横坐标就是x的值． 此题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题，关键掌握好利用图象求方程的解时，就是看两函数图象的交点横坐标． 9.【答案】C  【解析】 【分析】 本题考查了菱形的判定与性质，熟记菱形的性质和判定方法是解题的关键．由菱形的判定与性质即可得出A、B、D正确，C不正确． 【解答】 解：A.四边相等的四边形是菱形；正确； B.对角线垂直的平行四边形是菱形；正确； C.菱形的对角线互相垂直但不一定相等；不正确； D.菱形的邻边相等；正确； 故选C．   10.【答案】B  【解析】解：AC=2， 则正方形ABCD绕点A顺时针方向旋转180°后C的对应点设为C′，则AC′=AC=2， 则OC′=3， 故C′的坐标是(3,0)． 故选：B． 正方形ABCD绕点A顺时针方向旋转180°后，C点的对应点与C一定关于A对称，A是对应点连线的中点，据此即可求解． 本题考查了旋转的性质，理解C点的对应点与C一定关于A对称，A是对应点连线的中点是关键． 11.【答案】x1=0，x2=1  【解析】解：2x(x−1)=0， 2x=0或x−1=0， 所以x1=0，x2=1． 故答案为x1=0，x2=1． 利用