2015-2021七年高中数学联赛真题分类汇编平面几何（学生版+解析版）（共3讲）.pdf

2015-2021七年高中数学联赛真题分类汇编专题61平面几何第一讲1.【2021年吉林预赛】如图，的直径A B与弦C D交于点P,C P=l，PD=5,AP=1,贝l|/DCB=_2.【2019年北京预赛】在 ABC的边4B和BC上分别取点K和M,使得AK:KB=4:5,段KM上取点使得KO:OM=3:1川是射线8的交点,4a,由点到边4 c的距离则4 KM N的面积等于.3.【2019年贵州预赛】在A A B C中,AB=30,AC=20,SAABC=210,D,E分别为边A B,A C的中点,/B A C的平分线分别与DE,BC交于点F,G.则四边形B G FD的面积为.4.【2018年贵州预赛】顺次连结圆炉+产9与双曲线孙=3的交点，得到一个凸四边形，则此凸四边形的面积为.5.【2018年北京预赛】一个三角形的一边长为8,面积为1 2,则 这 个 三 角 形 的 周 长 的 最 小 值=.6.【2018年贵州预赛】若边长为6的正 ABC的三个顶点到平面a的距离分别为1,2,3,则 ABC的重心G到平面a的距离为.7.【2018年贵州预赛】顺次连结圆3+产=9与双曲线肛=3的交点，得到一个凸四边形，则此凸四边形的面积为.8.【2018年天津预赛】凸六边形ABCDEF的6条边长相等，内角A、B、C分别为134。

106则内角E是（用度数作答）.9.2018年河北预赛】设点O为三角形A BC内一点，且满足关系式：/磔 等 酗 理 3=.10.【2018年河北预 赛】过 动 点M作圆：（x 2 y+（y 2）2=1的切线MN,其 中N为切点，若MNMO（为坐标原点），则的最小值是.11.2016年天津预赛】已知凸n边 形n个内角的度数均为整数并且互不相等,最大内角的度数为最小内角的度数的3倍.则n可 以 取 到 的 最 大 值 为.12.【2016年吉林预赛】给定平面上四点O、A、B、C,满足O4=4,OB=3,OC=2,痂 =3WJSAABC的最大值为.13.（2016年江西预赛】如图，在四面体ABC D中,ZXABC为正三角形,AD=BD=2,AD_LBD,AD_LCD.则点D到面ABC的距离为.14.【2016年北京预赛】如图,与正方形4BCD的边4 8、4分别切于点L、K,与边BC交于点M、P,BM=8厘米，MC=17厘米.则的面积为 平方厘米15.【2016年北京预赛】如图，P4与切于点4 PC与交于点B、C,PAE 1 PO于点E.联结BE并延长，与交于点F,联结OC、OF、AD.AF./-BCO=30,Z.BFO=2 0 ,则乙DAF的度数为.1 6.2 0 1 5 年北京预赛】在锐角Z L 4 8 c 内取点P,使得N P4 C =6 0。

/.P C A =P B A =3 0 ,M、N 分别为边A C.B C 的中点.则4 P N M 的度数为.1 7.2 0 1 9 年北京预赛】如图，已知半径分别等于3 厘米和5 厘米的O BQ C 外切于点4两圆的一条外公切线切OB于点D,切0 c 于点E,过A 作D E 的垂线与B C 的中垂线交于点F,是8 c 的 中 点.则 的 面 积 等 于1 8.(2 0 1 8 年北京预赛】的直径4 B =8,C 为上一点，N C 0 4 =6 0延长4 B 到点P,使B P=g B连C P交半圆于点D,过点P作4 P 的垂线交4的延长线于H,则P”的长度为A.B.C.D.V 3.3 2 31 9.2 0 2 1 年江西预赛】如图，锐角 A B C 中，以高AD 为直径的圆0,交 A C,A B 于 E,F,过点E,F 分别作圆的切线，若两切线相交于点P.证明:直线AP 重合于AaBC的一条中线.2 0.【2 0 2 1 年广西预赛】如图，设点E分别为圆的内接三角形 ABC的边A B、AC上的点，且4 D=A E.线段B D、CE的垂直平分线分别交圆的劣贩 房,林 于点尸、G，点P 为劣弧 的中点.求证:2 P J _FG .2 1 .【2 0 2 1 年新疆预赛】如图，A C=B C,AABC外接圆在A,C的切线交于D 点，BD 交圆于E,射线A E交 CD 于 F证明：F是 CD 的中点.2 2 .【2 0 2 1 年全国高中数学联赛A卷二试】如图所示，在 A B C 中，”是边AC的中点，D,E是A A B C 的外接圆在点4 处的切线上的两点，满足M D 4 B,且4 是线段D E 的中点，过4 8,E 三点的圆与边4 c 相交于另一点P,过4 D,P 三点的圆与CM的延长线相交于点Q.证明2 B C Q =4B A C.2 3 .2 0 2 1 年全国高中数学联赛B卷二试】如图所示，/是A A B C 的内心，点P,Q 分别为/在边Z B,4 C 上的投影.直线P Q 与 的 外 接 圆 相 交 于 点 X,Y （P在X,Q 之间）.己 知 四 点 共 圆,证 明:c,/,Q,y 四点共圆.2 4.【2020高中数学联赛A 卷（第 02试）】如图,在等腰 ABC中，A B =B C ,/为内心，M为 8/的中点,P为边AC上一点，满足A P=3P C,P I延长线上一点H满足M HLPHQ为A A B C的外接圆上劣弧AB的中点.证明:2 5.【2020高中数学联赛B 卷（第 02试）】如图是圆Q 上顺次的五点，满足A8C=BCD=CE,点P,Q分别段A 2 8 E 上，且 P 段CQ上.证明:/以O N PEQ.26.【2020年福建预赛】如图所示，在A A B C 中,2B(),0)为两曲线在第一象限的一个交点.由两曲线既关于原点对称.又关于直线尸对称,得另外三个交点坐标为8(，m)，C(-m,一 )，D(n,m).则四边形ABC力为矩形，其面积S=AB CD=V 2(m-n)2-a+建 产=2y/(m2+n2 2mn)(m2+n2+2mn)=2 j(9 6)(9+6)=6V5.故答案为：6A/55.【2018年北京预赛】一个三角形的一边长为8,面积为1 2,则 这 个 三 角 形 的 周 长 的 最 小 值=.【答案】1 8【解析】在Z L 4 B C 中，设8 c =8,B C 边上的高为九，则S BC=g X 8 x h=12,解得h =3.在B C 的一侧作直线，|B C 且与8 c 的距离为3,以/为对称轴作出点C 的对称点C ,连接8L,与，交于A,A A B C的周长是最小的.这是因为A B +A C =A B+AC BC=B A +A C =B A +A C,此时4B=A C,又因为A B?=BD2+AD2=4 2 +3 2 =2 5,所以AC=A B=5.因此zlA B C 周长的最小值为5+5+8=1 8.6 .【2 0 1 8 年贵州预赛】若边长为6的正AABC的三个顶点到平面a的距离分别为I,2,3,则 A B C 的重心G到平面a的距离为.【答案】。

1 1 2【解析】(I)当aABC的三个顶点在平面a的同侧时，由公式d =吟 求 得 重 心G到平面a的距离为2.(2)当aABC的三个顶点中，其中一点与另两点分别在平面a的异侧时，求得重心G 到平面a的距离分别为0，；，3 3故答案为：g,2 7 .【2 0 1 8 年贵州预赛】顺次连结圆/+V=9 与双曲线孙=3 的交点，得到一个凸四边形，则此凸四边形的面积为.【答案】6 V 5【解析】设 4 ，)(?(),，7 乂)为两曲线在第一象限的一个交点.由两曲线既关于原点对称.又关于直线尸对称，得另外三个交点坐标为B(,M，c(m,n),)(，m).则四边形A 8 C 为矩形，其面积S =A B C D =V 2(m-n)2-J2(m+n=2y/(m2+n2 2m n)(m2+n2+2m n)2 /(9 6)(9 +6)=6 /5.故答案为：6 V 58 .【2 0 1 8 年天津预赛】凸六边形A B C D E F 的 6条边长相等，内角A、B、C分别为1 3 41 0 61 3 4则内角E 是(用度数作答).【答案】1 3 4【解析】不妨设边长为1,设 AC、DF的中点分别为M、N,且 A 在 DF上的射影为K,则4B/1M=37。

MAF=97,Z.AFK=8 3 ,即尸K=cos83,KN=AM=cos37.又设NEFN=X,则/N=COSX,利用FN=FK+KN,我们有 cosx=cos83+cos37=2cos60cos23=cos23,因此x=23即等腰4D E F 的底角为23可见其顶角E 为 134故答案为：1349.【2018年河北预赛】设点O 为三角形ABC内一点，且满足关系式：2 y o e+3SACA=_.SAABC【答案】今6【解析】将UX+20B+30C=3布 +2BC+女 化 为 3凉 +OB+2OC=0,(OA+OB)+2(OA+OC)=0.设 M、N 分别是AB、A C的中点，则而=一 2丽.设ABC的面积为S,由 几 何 关 系 知=：S,ShA 0H=SA4OC=；S,236所以S”OB+2SA8OC+3sJCO A _ 11S“8C 610.2 0 1 8 年河北预赛】过 动 点 M 作圆：(x 2 y+(y 2)2=1 的切线M N,其 中 N 为切点，若M N M 0(为坐标原点)，贝的最小值是.【答案】8【解析】解答：由圆的方程可得圆心C 的坐标为(2,2),半径等于1.由 M(a,b),则|M 7 V|2=3 _ 2)2+s _ 2)2 _ 2=2+/?2-4 -4/?+7,|M O|2=672+/?2.由|M N=|M 0|,得 a1+b2-4a-4b+l=a1+b2.整理得：4a+467=0.:a,b 满足的关系为:4a+4Zz-7=0.求IMM的最小值，就是求附。

的最小值在直线4+47=0上取一点到原点距离最小，山“垂线段最短”得，直线OM垂直直线4+467=0,由点到直线的距离公式得：MN的最小值为：一:|一=3 .“2+4 2 81 1.(2 0 1 6 年天津预赛】已知凸n 边 形 n 个内角的度数均为整数并且互不相等,最大内角的度数为最小内角的度数的3 倍.则n 可 以 取 到 的 最 大 值 为.【答案】2 0【解析】设 n 个内角的度数按从大到小的次序为：91 62%,则 匕 拆=1 8 0(n-2).由 n 个内角的度数均为整数知1 8 0%=30n=e1 177,8n 59.再由n 个内角的度数均为整数且互不相等知.8 卜 W 1 7 8 k(k=1,2,.,n 1).故 1 8 0(n-2)=i 0k n2+3n -4 8 2 n -,2结合n为正整数，知n JAD2+BD2=25/2.则 BC=CA=AB=2V2,CD=JAC2-A D2=2.又8c2 =BD2+CD2 n BD 1 CD.从而，以 D 为顶点的三面角均为直角.设点D 到面ABC的距离为h故%面体4BCD=3 SAABC=-S&BCD2V3 4 2V3=h=3 3 314.【2016年北京预赛】如图，。

0与正方形48C的边48、4分别切于点L、K,与边BC交于点M、P,BM=8厘米，MC=17厘米.则O的面积为 平方厘米【答案】1697r【解析】如图，联结K、OL、0 M,记半径为r,作M N 10L 于点N.又BC=BM+MC=2 5,故MB=BL=2 5-r.在RtZONM中，由勾股定理得r2=(25 r)2+(r 8)2n q =13,r2=53(不合题意).故的面积为1697r平方厘米.1 5.【2016年北京预赛】如图，P4与切于点4 PC与交于点B、C,PO与交于点D,AE 1 PO于点E.联结BE并延长，与交于点F,联结OC、OF、AD.若zBCO=3 0 ,乙BFO=2 0 ,则F的度数为.【答案】115【解析】联结百、CD、CF.因为PA与。