浙江省宁波市九校2020-2021学年高二下学期期末考试数学Word版含解析.doc

2020-2021学年浙江省宁波市九校高二（下）期末数学试卷选择题部分（40分）一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知实数，，，则有（ ）A. B. C. D.2.不论实数为何值时，函数图象恒过定点，则这个定点的坐标为（ ）A. B. C. D.3.下列四个命题中是真命题的是（ ）A.， B.，C.， D.，4.在的展开式中，系数绝对值最大的项是（ ）A. B. C. D.5.函数的部分简图为（ ）A. B.C. D.6.一次志愿者活动中，其中小学生2名、初中生3名、高中生3名.现将他们排成一列，要求2名小学生排在正中间，要求3名高中生中任意两名不相邻，则不同的排法有（ ）A.144 B.216 C.288 D.4327.对于，，规定，点集从点集中任取一个点，在点横纵坐标有偶数的条件下，横纵坐标都是偶数的概率为（ ）A. B. C. D.8.已知函数是定义在上的知函数，其导函数满足，则下列结论中正确的是（ ）A.恒成立 B.当且仅当时，C.恒成立 D.当且仅当时，9.已知随机变量的分布列如下，若，则的值可能是（ ）124A. B. C. D.10.已知对任意的，恒有成立，则的最大值为（ ）A. B. C. D.非选择题部分三、填空题：共7小题，多空题6分，单空题4分，满分36分.11.已知，，则________；________.12.已知定义在上的奇函数，已知，，则该函数的解析式为________.13.意大利画家达·芬奇在绘制《抱银貂的女子》（右图）时曾仔细思索女子脖子上的黑色项链的形状是什么曲线？这就是著名的“悬链线问题”.后人研究发现悬链线方程与双曲余弦曲线密切关联，双曲余弦曲线的解析式为（为自然对数的底数）.若直线与双曲余弦曲线交于点，，曲线在，两点处的切线相交于点，且为等边三角形，则________，________.14.已知，若，则________；________.15.将10个相同的小球放入，，三个盒子，其中盒子至少有1个小球，有________种放法.16.已知函数和，对于任意，，且时，都有成立，则实数的取值范围为________.17.已知函数和，有下列四个结论：①当时，若函数有3个零点，则；②当时，函数有6个零点；③当时，函数的所有零点之和为；④当时，函数有3个零点；其中正确结论的序号为________.三、解答题：共5小题，满分74分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.（满分14分）设全集为，，.（Ⅰ）若，求，；（Ⅱ）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围.19.（满分15分）对于定义域为的函数，如果存在正数和区间，使得函数满足，则称该函数为“倍函数”，区间为“优美区间”.特别地，当时，称该函数为“一致函数”.（Ⅰ）若是“倍函数"，求的取值范围；（Ⅱ）已知函数.若区间为“一致函数”的“优美区间”，求，的值.20.（满分15分）（Ⅰ）计算求值：；（Ⅱ）用数学归纳法证明：.（参考数值：）21.（满分15分）甲盒中装有3个红球和2个黄球，乙盒中装1红球和4个黄球.（Ⅰ）从甲盒有放回地摸球，每次摸出一个球，摸到红球记1分，摸到黄球记2分.某人摸球4次，求该人得分的分布列以及数学期望；（Ⅱ）若同时从甲、乙两盒中各取出2个球进行交换，记交换后甲、乙两盒中红球的个数分别为、，求数学期望，.22.（满分15分）已知函数.（Ⅰ）讨论函数极值点的个数；（Ⅱ）若，且对任意正数都有成立，求实数的取值范围.（为自然对数的底数）.参考答案一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分．）1．已知实数a＝log32，b＝log2π，，则有（　　）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a解：因为0＝log31＜log32＜log33＝1，所以0＜a＜1；因为1＝log22＜log2π＜log3，所以1＜b＜c，所以a＜b＜c．故选：A．2．不论实数a为何值时，函数图象恒过定点，则这个定点的坐标为（　　）A． B． C． D．解：函数＝a（2x﹣）+2x，令2x﹣＝0，解得x＝﹣1，所以y＝f（﹣1）＝，所以f（x）图象恒过定点（﹣1，），即定点的坐标为（﹣1，）．故选：B．3．下列四个命题中是真命题的是（　　）A．∃x1∈（0，+∞）， B．∃x2∈（1，+∞）， C．， D．∀x∈（0，1），解：根据题意，依次分析选项：对于A，＝，若∀x1∈（0，+∞），必有＜1，则必有，A错误；对于B，＝﹣，＝﹣，若∀x2∈（1，+∞），lgx2＞0，必有﹣＜0，即，B错误；对于C，∀x∈（0，），有＜＝，x＞＝1，则必有，C正确；对于D，当x＝时，＝＝，x3＝（）3＝，有＞x3，D错误；故选：C．4．在（x﹣2y）7的展开式中，系数绝对值最大的项是（　　）A．672x2y5 B．﹣672x2y5 C．560x3y4 D．﹣560x3y4解：（x﹣2y）7的展开式中，通项公式为 Tr+1＝•（﹣2）r•x7﹣ryr，该项的系数绝对值为•2r，要使该项的系数绝对值最大，需，即，求得＜r＜．结合r∈N，可得当r＝5时，该项的系数绝对值最大为672，故该项为T6＝﹣672 x2y5，故选：B．5．函数的部分简图为（　　）A． B． C． D．解：根据题意，函数，其定义域为R，有f（﹣x）＝ln（+x）cos（﹣x）＝﹣ln（﹣x）cosx＝﹣f（x），则函数f（x）为奇函数，排除BD，在区间（0，）上，cosx＞0，0＜﹣x＝＜1，则有ln（﹣x）＜0，必有f（x）＜0，排除C，故选：A．6．一次志愿者活动中，其中小学生2名、初中生3名、高中生3名．现将他们排成一列，要求2名小学生排在正中间，要求3名高中生中任意两名不相邻，则不同的排法有（　　）A．144 B．216 C．288 D．432解：根据题意，分2种情况讨论：①2名小学夹在两名高中生之间，有×2＝144种站法，②2名小学没有夹在两名高中生之间，有＝288种站法，则有144+288＝432种不同的站法，故选：D．7．对于a，b∈N*，规定，点集M＝{（a，b）|a⊗b＝60，a，b∈N*}，从点集M中任取一个点，在点横纵坐标有偶数的条件下，横纵坐标都是偶数的概率为（　　）A． B． C． D．解：a⊗b＝60，a，b∈N*，若a和b一奇一偶，则ab＝60，满足此条件的有1×60＝3×20＝4×15＝5×12，故点（a，b）有8个，若a和b同奇偶，则a+b＝60，满足点横纵坐标有偶数的有2+58＝4+56＝6+54＝…＝28+32＝30+30共15组，故点（a，b）有29个，所以点横纵坐标有偶数的个数为8+29＝37个，横纵坐标都是偶数的个数为29个，所以在点横纵坐标有偶数的条件下，横纵坐标都是偶数的概率为．故选：A．8．已知函数f（x）是定义在R上的减函数，其导函数f'（x）满足，则下列结论中正确的是（　　）A．f（x）＜0恒成立 B．当且仅当x∈（﹣∞，1）时，f（x）＜0 C．f（x）＞0恒成立 D．当且仅当x∈（1，+∞）时，f（x）＞0解：因为函数f（x）是定义在R上的减函数，所以f′（x）＜0，故f（x）+（x﹣1）f′（x）＞0，令g（x）＝（x﹣1）f（x），则g（x）在R递增，而g（1）＝0，故x＞1时，g（x）＞0，x＜1时，g（x）＜0，则f（x）＞0，故f（x）＞0在R恒成立，故选：C．9．已知随机变量ξ的分布列如表，若E（ξ）＝3，则D（ξ）的值可能是（　　）ξ124PxyzA． B． C． D．解：因为E（ξ）＝3，则，所以x＝﹣1+2z，y＝2﹣3z，故D（ξ）＝x（1﹣3）2+y（2﹣3）2+z（4﹣3）2＝﹣2+6z，因为，解得，则1＜﹣2+6z＜2，所以1＜D（ξ）＜2．故选：B．10．已知对任意的x∈[﹣3，3]，恒有ax2+bx﹣3a+1≥0成立，则2a+b的最大值为（　　）A． B． C． D．1解：一方面，当x＝﹣1时，a﹣b﹣3a+1⩾0，即2a+b⩽1．另一方面，当时，此时2a+b＝1，．综上所述，2a+b 的最大值为 1．故选：D．三、填空题：共7小题，多空题6分，单空题4分，满分36分。

11．已知A＝{x|（x+3）（1﹣x）＞0}，B＝{y|y＝log2（1﹣x），x∈A}，则A＝　（﹣3，1）　；A∪B＝　（﹣∞，2）　．解：A＝{x|（x+3）（1﹣x）＞0}＝{x|﹣3＜x＜1}，B＝{y|y＝log2（1﹣x），x∈A}＝{y|y＜2}，∴A＝（﹣3，1）；A∪B＝（﹣∞，2）．故答案为：（﹣3，1），（﹣∞，2）．12．已知定义在R上的奇函数，已知x＞0，，则f（﹣1）＝　﹣4　，该函数的解析式为 　　．解：根据题意，x＞0，，则f（1）＝1+1+2＝4，则f（﹣1）＝﹣4，f（x）是定义在R上的奇函数，则f（0）＝0，当x＜0时，﹣x＞0，则f（﹣x）＝x2﹣+2，又由f（x）为奇函数，则f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣x2+﹣2，综合可得：，故答案为：﹣4，．13．意大利画家达•芬奇在绘制《抱银貂的女子》（如图）时曾仔细思索女子脖子上的黑色项链的形状是什么曲线？这就是著名的“悬链线问题”．后人研究发现悬链线方程与双曲余弦曲线密切关联，双曲余弦曲线C的解析式为（e为自然对数的底数）．若直线y＝m与双曲余弦曲线C交于点A，B，曲线C在A，B两点处的切线相交于点P，且△APB为等边三角形，则m＝　2　，|AB|＝　　．解：令g（x）＝，g（﹣x）＝＝，所以g（x）＝g（﹣x），所以g（x）为偶函数，即g（x）关于y轴对称，所以A，B两点关于y轴对称，则设B（x0，m），A（﹣x0，m），且m＝，又△APB为等边三角形，所以点P在y轴上，且又g′（x）＝，kPB＝，所以切线PB的方程为y﹣m＝（x﹣x0），令x＝0时，y＝（﹣x0）+m，所以点P到直线AB的距离d＝PC＝m﹣[（﹣x。