高中数学《三角函数》全部教案[1].pdf

第四章第四章三角函数三角函数第一教时第一教时教材：教材：角的概念的推广目的：目的：要求学生掌握用“旋转”定义角的概念，并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义过程：过程：一、提出课题：“三角函数”回忆初中学过的“锐角三角函数”它是利用直角三角形中两边的比值来定义的相对于现在，我们研究的三角函数是“任意角的三角函数”，它对我们今后的学习和研究都起着十分重要的作用，并且在各门学科技术中都有广泛应用二、角的概念的推广1回忆：初中是任何定义角的？（从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形）这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它的弊端在于“狭隘”2讲解：“旋转”形成角（P4）突出“旋转”注意：“顶点”“始边”“终边”“始边”往往合于x轴正半轴3“正角”与“负角”这是由旋转的方向所决定的记法：角或可以简记成4由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了1 角有正负之分如：如：=210=210 =150150 =660660 2 角可以任意大实例：体操动作：旋转 2 周（3602=720）3 周（3603=1080）3 还有零角一条射线，没有旋转三、关于“象限角”为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限）例如：例如：3030 390390 330330 是第象限角是第象限角300300 6060 是第象是第象限角限角585585 11801180 是第象限角是第象限角 20002000 是第象限角是第象限角等等四、关于终边相同的角1观察：390，330角，它们的终边都与 30角的终边相同12终边相同的角都可以表示成一个 0到 360的角与k(k Z)个周角的和390=30+360(k 1)330=30360(k 1)30=30+0360(k 0)1470=30+4360(k 4)1770=305360(k 5)3所有与终边相同的角连同在内可以构成一个集合S|k 3 6 0,k Z即：任何一个与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和4例一（P5 略）五、小结：1 角的概念的推广用“旋转”定义角角的范围的扩大2“象限角”与“终边相同的角”六、作业：P7练习 1、2、3、4习题 1.41第三教时第三教时教材：教材：弧度制目的：目的：要求学生掌握弧度制的定义，学会弧度制与角度制互化，并进而建立角的集合与实数集R一一对应关系的概念。

过程：过程：一、回忆（复习）度量角的大小第一种单位制角度制的定义二、提出课题：弧度制另一种度量角的单位制它的单位是 rad 读作弧度BCro1radAol=2r2radrA定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为 1 弧度的角如图：AOB=1radAOC=2rad周角=2rad1正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是 0l2角的弧度数的绝对值（l为弧长，r为半径）r3用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是 0）2用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同三、角度制与弧度制的换算抓住：360=2rad180=radrad 0.01745rad 1=1801801rad 57.30 57 18例一把6730化成弧度131rad 67rad解：解：67 30 6767301802823例二把rad化成度533解：解：rad 18010855注意几点：1度数与弧度数的换算也可借助“计算器”中学数学用表进行；2今后在具体运算时，“弧度”二字和单位符号“rad”可以省略如：3 表示 3rad sin表示rad 角的正弦 3一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住（见课本P9表）4应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系。

正角零角负角正实数零负实数任意角的集合实数集 R四、练习（P11练习 12）例三用弧度制表示：1终边在x轴上的角的集合2终边在y轴上的角的集合3终边在坐标轴上的角的集合解：1终边在x轴上的角的集合S1|k,k Z2终边在y轴上的角的集合 S2|k,k Z2k3终边在坐标轴上的角的集合 S3|,k Z23例四老精编P118-1194、5、6、7五、小结：1弧度制定义2与弧度制的互化六、作业：课本 P11练习 3、4P12 习题 4.22、3第四教时第四教时教材：教材：弧度制（续）目的：目的：加深学生对弧度制的理解，逐步习惯在具体应用中运用弧度制解决具体的问题过程：过程：一、复习：弧度制的定义，它与角度制互化的方法口答 教学与测试 P101-102 练习题 15并注意紧扣，巩固弧度制的概念，然后再讲 P101 例二nrl二、由公式：l r比相应的公式l 简单180r弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积例一（课本 P10 例三）利用弧度制证明扇形面积公式S 形弧长，R是圆的半径证：证：如图：圆心角为 1rad 的扇形面积为：R弧长为l的扇形圆心角为oSl1lR其中l是扇21R22lradRS l11R2lRR 22nR2比较这与扇形面积公式S扇要简单360例二教学与测试P101 例一直径为 20cm 的圆中，求下列各圆心所对4的弧长165 344010(cm)解：解：r 10cm：l r 3311165(r a)d r a d：165180121155l 10(cm)126例三如图，已知扇形AOB的周长是 6cm，该扇形的中心角是 1 弧度，求该扇形的面积。

解：解：设扇形的半径为 r，弧长为l，则有ABor l 6r 212l 扇形的面积S rl 2(cm)212l 2r4例四计算sin解：解：1.5t an4 45 sin44 sin45221.5rad 57.301.5 85.95 8557tan1.5 tan855714.12例五将下列各角化成 0 到2的角加上2k(k Z)的形式解：解：19315319 633 24例六求图中公路弯道处弧 AB 的长l（精确到 1m）315 4536060R=45图中长度单位为：m解：解：603l R 45 3.1415 47(m)3三、练习：P116、7 教学与测试P102练习 6四、作业：课本 P11-12练习 8、9、10P12-13习题 4.2514教学与测试P1027、8 及思考题第五教时第五教时教材：教材：任意角的三角函数（定义）目的：目的：要求学生掌握任意角的三角函数的定义，继而理解 角与=2k+(kZ)的同名三角函数值相等的道理过程：过程：一、提出课题：讲解定义：1设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点 P（x,y）则 P 与原点的距离r 2比值x yx2 y2 0（图示见 P13 略）22yy叫做的正弦记作：s i nrrx比值叫做的余弦记作：co sry比值叫做的正切记作：t anxxryx比值xxt 叫做的余切记作：c oyy5比值rr叫做的正割记作：s ecxx比值rr叫做的余割记作：c sc yy注意突出几个问题：角是“任意角”，当=2k+(kZ)时，与的同名三角函数值应该是相等的，即凡是终边相同的角的三角函数值相等。

实际上，如果终边在坐标轴上，上述定义同样适用下面有例子说明）三角函数是以“比值”为函数值的函数r 0，而 x,y 的正负是随象限的变化而不同，故三角函数的符号应由象限确定（今后将专题研究）定义域：Ry s i ny coty c oy secsRy t any csc k(k Z)2 k(k Z)k(k Z)2 k(k Z)二、例一 已知的终边经过点 P(2,3)，求的六个三角函数值y解：解：x 2,y 3,r 22(3)213sin=ox tan=P(2,-3)sec=3 132 13 cos=131332 cot=231313 csc=23例二求下列各角的六个三角函数值3 0 22解：解：的解答见 P16-17 当=2 sec2sin时x 0,y r2=1 cos=0 tan不存在 cot=0222不存在 csc=126例三教学与测试P103 例一 求函数y cosxcosxtanx的值域tanx解：解：定义域：cosx0 x 的终边不在 x 轴上又tanx0 x 的终边不在 y 轴上当 x 是第象限角时，x 0,y 0 cosx=|cosx|tanx=|tanx|y=2 ,x 0,y 0|cosx|=cosx|tanx|=tanx y=2x 0,y 0,x|cosx|=cosx|tanx|=tanx y=0 0,y 0例四教学与测试P103 例二 已知角的终边经过 P(4,3),求 2sin+cos的值已知角的终边经过 P(4a,3a),(a0)求 2sin+cos的值342解：解：由定义：r 5sin=cos=2sin+cos=555342若a 0r 5a则 sin=cos=2sin+cos=555342若a 0 r 5a则 sin=cos=2sin+cos=555三、小结：定义及有关注意内容四、作业：课本 P19 练习 1P20 习题 4.33教学与测试P1044、5、6、7第六教时第六教时教材：教材：三角函数线目的：目的：要求学生掌握用单位圆中的线段表示三角函数值，从而使学生对三角函数的定义域、值域有更深的理解。

过程：过程：一、复习三角函数的定义，指出：“定义”从代数的角度揭示了三角函数是一个“比值”二、提出课题：从几何的观点来揭示三角函数的定义：用单位圆中的线段表示三角函数值三、新授：2介绍（定义）“单位圆”圆心在原点 O，半径等于单位长度的圆3作图：（课本 P14 图 4-12）此处略设任意角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，角的终边也与单位圆交于 P，坐标轴正半轴分别与单位圆交于 A、B两点过 P(x,y)作 PMx 轴于 M，过点 A(1,0)作单位圆切线，与角的终边或其反向延长线交于 T，过点 B(0,1)作单位圆的切线，与角的终边或其反向延长线交于 S4简单介绍“向量”（带有“方向”的量用正负号表示）7“有向线段”（带有方向的线段）方向可取与坐标轴方向相同，长度用绝对值表示例：有向线段 OM，OP长度分别为x,y当 OM=x 时若x 0OM 看作与 x 轴同向OM 具有正值 x若x 0OM 看作与 x 轴反向OM 具有负值 xyy5sin y MPr1xxcos x OM有向线段r1MP,OM,AT,BS分别称作yMPAT AT角的正弦线,余弦线,正tanxOMOA切线,余切线cotxOMBS BSyMPOB四、例一利用三角函数线比较下列各组数的大小：242421s i n与sin2 tan与 tan3 cot与353534cot5B1解：解：S2S如图可知：PP21Ao24sinsin35T2T1tan24tan3524cot35例二利用单位圆寻找适合下列条件的 0到 360的角cot1 siny132 tan23yP130To210Ax解：解：1 2P2ox830150 3090或 210270例三求证：若0 12时，则 sin1sin22y证明：证明：分别作1,2的正弦线 x 的终边不在 x 轴上P2P1o M2M1xsin1=M1P1sin2=M2P20 122M1P1M2P2即 sin1sin2五、小结：单位圆，有向线段，三角函数线六、作业：课本 P15练习P20 习题 4.32补充：解不等式：(x0,2)1sinx3sin2x1232tanx 12第七教时第七教时教材：教材：三角函数的值在各象限的符号目的：目的：通过启发让学生根据三角函数的定义，确定三角函数的值在各象限的符号，并由此熟练地处理一些问题。

过程：过程：一、复习三角函数的定义；用单位圆中的线段表示三角函数值二、提出课题然后师生共同操作：1第一象限：.x 0,y 0sin0,cos0,tan0,cot0,sec0,c。