§2.2 函数的单调性与最值最新考纲考情考向分析1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义．2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.以基本初等函数为载体，考查函数的单调性、单调区间及函数最值的确定与应用；强化对函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想的考查，题型既有选择、填空题，又有解答题.1．函数单调性的定义增函数减函数定义设函数y＝f(x)的定义域为A，区间M⊆A，如果取区间M中任意两个值x1，x2，改变量Δx＝x2－x1>0，则当Δy＝f(x2)－f(x1)>0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是增函数Δy＝f(x2)－f(x1)<0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是减函数图象自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的2.单调性与单调区间如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M上具有单调性，区间M称为单调区间．3．函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M(3)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M结论M为最大值M为最小值概念方法微思考1．在判断函数的单调性时，你还知道哪些等价结论？提示 对∀x1，x2∈D，>0⇔f(x)在D上是增函数，减函数类似．2．写出对勾函数y＝x＋(a>0)的增区间．提示 (－∞，－]和[，＋∞)．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若定义在R上的函数f(x)，有f(－1)0，得函数的定义域为∪(1，＋∞)．令t＝2x2－3x＋1，x∈∪(1，＋∞)．则y＝，∵t＝2x2－3x＋1＝22－，∴t＝2x2－3x＋1的单调递增区间为(1，＋∞)．又y＝在(1，＋∞)上是减函数，∴函数y＝的单调递减区间为(1，＋∞)．(2)(2018·沈阳检测)设函数f(x)＝g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的单调递减区间是__________．答案 [0,1)解析 由题意知g(x)＝该函数图象如图所示，其单调递减区间是[0,1)．命题点2 讨论函数的单调性例2 判断并证明函数f(x)＝ax2＋(其中10,20，从而f(x2)－f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)，故当a∈(1,3)时，f(x)在[1,2]上单调递增．引申探究如何用导数法求解本例？解 f′(x)＝2ax－＝，因为1≤x≤2，所以1≤x3≤8，又10，所以f′(x)>0，所以函数f(x)＝ax2＋(其中10，即a>1，因此g(x)的单调递减区间就是y＝|x－2|的单调递减区间(－∞，2]．(3)函数f(x)＝|x－2|x的单调递减区间是________．答案 [1,2]解析 f(x)＝画出f(x)图象，由图知f(x)的单调递减区间是[1,2]．题型二 函数的最值1．函数y＝的值域为____________．答案 [－1,1)解析 由y＝，可得x2＝.由x2≥0，知≥0，解得－1≤y<1，故所求函数的值域为[－1,1)．2．函数y＝x＋的最大值为________．答案 解析 由1－x2≥0，可得－1≤x≤1.可令x＝cos θ，θ∈[0，π]，则y＝cos θ＋sin θ＝sin，θ∈[0，π]，所以－1≤y≤，故原函数的最大值为.3．函数y＝|x＋1|＋|x－2|的值域为________．答案 [3，＋∞)解析 函数y＝作出函数的图象如图所示．根据图象可知，函数y＝|x＋1|＋|x－2|的值域为[3，＋∞)．4．当－3≤x≤－1时，函数y＝的最小值为________．答案 解析 由y＝，可得y＝－.∵－3≤x≤－1，∴≤－≤，∴≤y≤3.∴所求函数的最小值为.5．函数f(x)＝x－log2(x＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________．答案 3解析 由于y＝x在[－1,1]上单调递减，y＝log2(x＋2)在[－1，1]上单调递增，所以f(x)在[－1,1]上单调递减，故f(x)在[－1,1]上的最大值为f(－1)＝3.6．若函数f(x)＝x2＋ax＋b在区间[0,1]上的最大值是M，最小值是m，则M－m( )A．与a有关，且与b有关B．与a有关，但与b无关C．与a无关，且与b无关D．与a无关，但与b有关答案 B解析 方法一 设x1，x2分别是函数f(x)在[0,1]上的最小值点与最大值点，则m＝x＋ax1＋b，M＝x＋ax2＋b.∴M－m＝x－x＋a(x2－x1)，显然此值与a有关，与b无关．故选B.方法二 由题意可知，函数f(x)的二次项系数为固定值，则二次函数图象的形状一定．随着b的变动，相当于图象上下移动，若b增大k个单位，则最大值与最小值分别变为M＋k，m＋k，而(M＋k)－(m＋k)＝M－m，故与b无关．随着a的变动，相当于图象左右移动，则M－m的值在变化，故与a有关，故选B.思维升华 求函数最值的五种常用方法及其思路(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值．(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．(4)分离常数法：形如求y＝(ac≠0)的函数的值域或最值常用分离常数法求解．(5)均值不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用均值不等式求出最值．题型三 函数单调性的应用命题点1 比较函数值的大小例3 已知函数f(x)的图象向左平移1个单位后关于y轴对称，当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)<0恒成立，设a＝f，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为( )A．c>a>b B．c>b>a C．a>c>b D．b>a>c答案 D解析 根据已知可得函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，且在(1，＋∞)上是减函数，因为a＝f＝f，且2<<3，所以b>a>c.命题点2 解函数不等式例4 已知函数f(x)＝ln x＋2x，若f(x2－4)<2，则实数x的取值范围是______________．答案 (－，－2)∪(2，)解析 因为函数f(x)＝ln x＋2x在定义域上单调递增，且f(1)＝ln 1＋2＝2，所以由f(x2－4)<2得f(x2－4)1)是增函数，故a>1，所以a的取值范围为10恒成立．当a＝0时，g(x)＝x在(0,1)上单调递增且g(x)>0，符合题意；当a>0时，g(x)图象。
