【2019年整理】(黄倩霞)大学生数学竞《解析几何》培训讲义.pdf

欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！【2019 年整理】(黄倩霞)大学生数学竞解析几何培训讲义-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！2 大学生数学竞赛解析几何培训讲义第三章 平面与空间直线 一、本章知识脉络框图 方程 平面的方位置关度量关直线的方平面束的方平面与点的位置关两平面的位置关直线与平面的位置关两直线的位置关系 点与直线的位置关点与平面间的距空间直线与平面间的两平面的交角 点位式方点法式方截距式方一般式方法线式方对称式方参数式方一般式方射影式方欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！3 二、本章重点及难点 解析几何最显着的特点就是用代数方法来研究几何.因此学习解析几何不仅要有良好空间图形的认知能力，而且更要有一些必要的代数知识，特别是向量代数知识.作为最简单的曲面与曲线平面与空间直线来说，图形的认知应该是比较容易的，关键是要学会灵活运用有关它们的一些数量、向量以及向量形式的方程，比如平面上或直线上的点的坐标、平面的法向量、直线的方向向量、平面的向量式方程以及直线的向量式参数方程等来解决有关几何问题.本章的重点是：平面的各种形式的方程及其相互转换；直线的各种形式的方程及其相互转换；点、平面及直线的关系.本章的难点是：点与平面的离差，平面划分空间问题；向量式方程的运用；灵活运用某些点、平面的法向量、直线的方向向量，平面束等来解决一些几何问题.三、本章的基本知识要点 1.平面的方程 在中学的立体几何中，读者知道了一个公理：空间中不在一条直线上的三个点可以确定唯一的平面，还知道两个定理：空间的两条相交直线可以确定空间两直线的夹角 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！4 准一的平面，垂直于平面的直线同时垂直平面内的一切直线通过上述的知识和利用矢量运算，可以得到以下平面的方程(1)向量式方程：bvaurro (3.1)其中 u,v 为参数 在仿射坐标系下，oooozyxr,，zyxr,，222111,ZYXbZYXa 将它们代人式(31)，可得到下述参数式方程(2)参数式方程 vZuZzzvYuYyyvXuXxxOOo212121 (3.2)由于向量barro,共面，可以得到下述混合积方程(3)混合积方程：0),(barro （3.3）将对应的向量的坐标代入式(3.3)中，可得到下述点位式方程(4)点位式(或行列式)方程 0222111ZYXZYXzzyyxxooo (3.4)将式(34)中的行列式按第一行展开，可得到下述一般方程(5)一般方程(或称为普遍式方程)0DCzByAx (3.5)这是一个三元一次方程当D不等于零时，可以得到下述截距式方程 (6)裁距式方程 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！5 1czbyax （3.6）为了便于讨论点到平面的距离和点与平面的位量关系，将平面方程的讨论限制在直角坐标系下在空间直角坐标系下设平面上点 Mo的径矢00000,zyxrOM，平面上任意一点 M 的径矢zyxrOM,以及平面的法向量CBAn,，由于nMM0，所以通过 0)(0rrn (37)可以得到平面的点法式方程(7)点法式方程 0)()()(000zzCyyBxxA （3.8)格式(3.8)展开整理后，仍可以得到与式(35)类似的三元一次方程.为了计算点到平面距离和讨论点与平面的相对位置，需要指定平面的法矢将取自原点 O出发，垂直于平面的矢量指定为平面的法矢，有了指定法矢的平面常被称为有向平面此时平面上任意点 M 的径矢zyxrOM,与平面的单位法矢cos,cos,cos0n有下面的关系：prn0 (3 9)其中 p 是非负的是原点 O到平面的距离将式(3 9)中各矢量的坐标代入，可得到下述的法式方程(8)法式方程 0coscoscospzyx （3.10）将一般方程0DCzByAx 转化为法式方程时，需要在方程两边同时乘上法化因子22211CBAn 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！6 其中的正负号选取应满足0pD，即0D时，取与 D 异号，当D=0时，取与第一个变量的系数同号例如，0A取0A (9)三点式方程 0131313121212111zzyyxxzzyyxxzzyyxx （3.11）这个方程可以看做与式(34)为同一类 2平面与点的相关位置(1)点0M与平面间的离差prn0 （3.12）其中0n为原点指平面的单位法矢矢,00rOMp 为原点 O到平面的距离式(312)也可以写成代数表达式 pzyxcoscoscos000 (313)原点)0,0,0(O与平面间的离差为p，反映出原点 O、平面、及其单位法矢0n之间的关系点与平面间的离差是一个代数值，它的正负号反映出点在平面的侧向在平面同侧的点，的符号相同；对于在平面异仍的点，的符号相反；平面上的点，等于零点与平面向的离差公式(3.13)可以将空间不在平面上的点分成两部分同理，两个相交的平面将空间的点分成四部分(2)点),(0000zyxM与平面0DCzByAx间的距离为 222000CBADCzByAxd （3.14）3.两平面的相关位置 空间两平面 0:11111DzCyBxA 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！7 0:22222DzCyBxA 有以下的关系：（1）1与2相交222111:CBACBA(2)1与2平行21212112DDCCBBAA(3)1与2重合21212112DDCCBBAA 在空间直角坐标系下，两平面1与2间的交角是用两平面二面角的平面角1(，2)来表示，并且常取其中的锐角来表示根据平面与其法矢垂直的关系，记),(21nn，可以得到 222222212121212121212121cos),(cosCBACBACCBBAAnnnn (3.15)同时，两平面1与2垂直的充要条件是 0212121CCBBAA 4空间直线的方程 在中学的立体几何课程中有一个公理：空间不重合的两点可以确定唯一的直线读者容易知道直线上任意两个不重合的点可以确定一个直线的方向向量因此，在空间取定坐标系，并设直线l上一定点 Mo的径矢00000,zyxrOM，直线 l上任意点 M 的径矢为zyxr,，直线l的方向向量v，可以得到直线l的向量式方程“（1）向量式方程 v trro (3.16)其中 t 为参数（2）参数方程 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！8 ZtzzYtyyXtxxOOo (3.17)由式(3.17)梢去参数t，可以得到直线l的对称式方程 (3)对称式方程(或称直线l的标准方程)ZzzYyyXxx000 (3.18)在式(318)中，方向效ZYX,是一组不全为零的数如果其中有一个为零，例 如0X此时，可以设 ZzzYyyxx000 如果其中有两个数为零，例如0,0YX，此时可以设 00yyxx 这样可以得到相对应的直线方程 通过空间两点),(1111zyxM和),(2222zyxM，可以得到直线的两点式方程 (4)两点式方程 121121121zzzzyyyyxxxx （3.19）空间直线可以看做是两个相交平面的交线，所以可以得到直线一般方程(5)直线的一般方程 0022221111DzCyBxADzCyBxA (3.20)欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！9 其中系数222111:CBACBA。

可以通过式(3.20)求出直线l的方向向量的三个方向数，即221122112211:BABAACACCBCBZYX 虽然直线l上点无穷多，但我们只需求出一个点),(0000zyxM，当其中两个变量的系数所构造的二阶行列式不为零时，例如02211BABA那么第三个变量就可以任意取定数值0zz(特别地可取0z)这样做可以保证得到的二元一次方程组有唯一解，可以解出0 xx，0yy，这时就解出直线l上一个点),(0000zyxM有了直线l上的点0M和方向矢量v，就可以得到直线l的向量式和参数式方程.直线的标淮方程也可以转化为直线的一般方程，由式(3.18)可以得到直线的射彤式方程(6)射影式方程 ZzzYyyYyyXxx0000 （3.21）式(321)中的两个方程表示了两个过直线l的特殊平面，它们分别平行于坐标轴 y 轴和 x 轴 5平面束(1)有轴平面束 若两个平面 0:11111DzCyBxA 0:22222DzCyBxA 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！10 相交于一直线l，那么过直线l的所有平面的方程可以表示为 0)(22221111DzCyBxADzCyBxA (3.22)为避免出现无穷的情况，也可以取nm，方程(322)可以写成 n(0)()22221111DzCyBxAmDzCyBxA (3 23)这是一个单参数的平面族，称为有轴平面束，直线l为平面束的轴(中心轴)只要一个定解条件就可以求出的值，或 m：n 的值(2)平行平面束 空间中平行于同一个平面的所有平面的集合称为平行平面束，它们的方程可以表示为 0CzByAx (324)其中 A 是实参数，系数A，B，C 是已知的(324)式也是一个单参数平面族 6直线与平面的相关位置 设直线l与平面的方程分别为 l：ZzzYyyXxx000 ：0DCzByAx(1)直线l与平面有以下的关系：01 l 与 相交0CZBYAX 02 l 与 平行00000DCzByAxCZBYAX 03 l 在 上00000DCzByAxCZBYAX (2)直线l与平面相交时，将直线l的方程改写为参数式 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！11 ZtzzYtyyXtxxOOo 并将其代人平面的方程中解参数t 的值：CZBYAXDCzByAxt000 上式中分母0CZBYAX将 t 值代回直线 l 的参数方程中就可以得到交点坐标(3)在直角坐标系下直线 l 与平面间的夹角可以由 l 的方向矢量v和平面的法矢n间的夹角来决定，即 222222cossinZYXCBACZBYAXvnvn 直线l与平面垂直ZCYBXA 7空间两直线的相关位置 设两直线1l与2l的方程分别为 1111111:ZzzYyyXxxl 2222222:ZzzYyyXxxl(1)空间两直线1l与2l有以下的位置关系：01 1l 与2l 异面0222111121212ZYXZYXzzyyxx 02 1l 与2l相交 222111:0ZYXZYX 03 1l 与2l平行)(:)(:)(:0121212222111zzyyxxZYXZYX 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！12 04 1l 与2l重合)(:)(:)(:0121212222111zzyyxxZYXZYX (2)空间两直线的夹角空间两直线的夹角与它们的方向矢量之间的夹角有以下的关系：),(),(2121vvll 或 ),(),(2121vvll 通常取),(21ll为锐角 在直角坐标系下，空间两直线1l与2l的夹角余弦为 222222212121212121212121),(cosZYXZYXZZYYXXvvvvll 直线1l与2l垂直0212121ZZYYXX（3）两异面直线间的距离与公垂线方程在直角坐标系下，两异面直线1l与2l之间 的距离为 21vvd 两异面直线1l与2l的公垂线0l的方程为 0022222211。