2022届一轮复习数学新高考版第四章三角函数、解三角形.pdf

第 四 章 三 角 函 数、解三角形第 一 节 任 意 角 和 弧 度 制 及 任 意 角 的 三 角 函 数核心素养立意下的命题导向1.将象限角及终边相同的角综合考查，凸显数学抽象、直观想象和数学运算的核心素养.2.结合方程、基本不等式、二次函数的最值及弧度制的应用考查弧长公式、面积公式及最值问题，凸显直观想象、数学运算的核心素养.3.将三角函数的定义、三角函数符号的判断综合考查，凸显直观想象、数学运算的核心素养.基础 在微点清障中全面落实 理清主干知识1.角的定义角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图娶一2.角的分类角的分类，按旋转方向不同分类 正角:,负角:.零角:按逆时针方向旋转形成的角按 顺 甦t方向旋转形成的角射线没有旋转按终边位置不 同 分 类,象限角：角的终边在第几象限，这个角就是第几象限角.轴线角：角的终边落在坐标轴上3.终边相同的角所 有 与 角a终边相同的角，连 同 角a在 内，可构成一个集合：S=/W=a+&360kGZ或“W=a+2A7t,&GZ.4.弧度制5.任意角的三角函数定义把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧 度 记 作r ad角a的弧度数公式|a|=:（弧 长 用/表 示）角度与弧度的换算 180好山 1 r a d-(n)弧长公式弧 长Z=alr扇形面积公式S=lr=ai2三角函数正弦余弦正切定义设 a 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点尸（x,y）,那么J叫做a 的正弦，记作 sin a工叫做a 的余弦，记作 cos a（叫做a 的正切，记作 t an a各象限符号I+n4-m一+IV+角函数线市有 向 线段皿为正弦线有向线段也为余弦线有向线段位为正切线 澄清盲点误点一、关键点练明1.（多选任意角的三角函数）下列说法中正确的是（）A.-7 5。

是第四象限角B.475是第二象限角C.若 sin a 0,则 a 是第一、二象限的角D.若 a 是第二象限的角，且 P（x,y）是其终边上一点，贝 h o saXyjx2+y2解析：选 AB A 选项，-9 00,则角a 的终边落在第一、二象限及y 轴正半轴上，所以C 错误.xD 选项,CS”飞 存所以D 错 误.故 选 A、B.2.（象限角）已知a 是第二象限角，则 180一是第 象限角.答案：-3.（弧长公式）已知扇形的圆心角就，面积为半则扇形的弧长等于答案44.（三角函数的定义）已知角a 的终边过点P（-1,2）,贝！）si na=.答 案:噜二、易错点练清1.（易忽视扇形公式中的a 是弧度制）已知60的圆心角所对的弧长为2,则该弧所在圆的半径为（）A.而B：v60兀答案：B2.（忽视对参数的讨论）已知角a 的终边过点P（8叫6m）（,”工0）,则 sin a=.解析：由题意得x=-j=6/w,所以?*=10|训.八 .6m 3当 /（）时，sm=二；10m 5当 /71 0,则实数a 的 取 值 范 围 是.解析：cos a WO,sin a 0,.角a 的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上.3 a-9 0,-a+2 0,答案：（一 2,3考点一象限角及终边相同的角的表示 典例 （2020全国图U）若 a 为第四象限角，贝！）（）A.cos 2a0 B.cos 2a0 D.sin 2a0（2）与一2 020。

终 边 相 同 的 最 小 正 角 是.解析（I）：”是第四象限角，:.2kna2kn,kGZ,；-7r+4%TV2aV4A7r,kGZ.角2 a 的终边在第三、四象限或y 轴非正半轴上，Asin 2a0,cos 2a可正、可负、可为零.（2）因为一2 0206）乂360所 以 140与一2 020终边相同，又终边相同的两:.-2VaW3.能力 在题点全析中补齐短板个角相差360的整数倍，所以在0中只有140与一2 020终边相同，故与一2 020终边相同的最小正角是140.答案（1）D（2）140 方法技巧1.利用终边相同的角的集合求适合某些条件的角先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需的角.2.确定Aa,3AGN*）的终边位置的方法先用终边相同角的形式表示出角a 的范围，再写出Aa或3的范围，然后根据左的可能K.取值讨论确定ka或差的终边所在位置.针对训练1.设集合/=*仅=与180Jt eZ,=xk=T 180o+45,k G Z ,那么（）A.M=N B.MGNC.NJM D.MC1N=解析：选 B 由 于 知=*仅=180Jt GZ=，-45,45,135,225,N=x|x=，180+45,*eZ=-45,0,45,90,135,180,2 2 5,显然有故选B.2.已知角。

在第二象限，且卜in 4=sin，则角与在（）A.第一象限或第三象限C.第三象限解析：选 c 角是第二象限角,2&兀+加），kW Z,.*（&兀+,AGZ,B.第二象限或第四象限D.第四象限.角3在第一或第三象限.s i n，一20 0=sin T,AsinT=于*上的角有两个：鼻，*r;2 5在-2%0)内，满足条件的角有两个：一铲，一铲.故满足条件的角a 构成的集合为 一 久|n,表.答 案:一表,一 会,不 表 考点二弧度制及其应用 典例 已知扇形的圆心角是a,半径为R,弧长为/.(1)若 a=$R=1 0 cm,求扇形的弧长/.(2)若扇形的周长是20 c m,当扇形的圆心角a 为多少弧度时，这个扇形的面积最大?(3)若 a=?K=2 c m,求扇形的弧所在的弓形的面积.解(1)因为 a=W，/?=10cm,所以/=|a|R=qX 1 0=(cm).(2)由已知得，Z+2/?=20,所以 S=；/R=；(20-2R)R=10R-R 2=-(R-5)2+25.所以当R=5 时，S 取得最大值，此时/=10,a=2.(3)设弓形面积为S 彳 彩，由 题 意 知/=弩 cm,所以 S?=X X 21 x 22X sin=(V3cm2.方法技巧应用弧度制解决问题的策略(1)利用扇形的强长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度.(2)求扇形面积最大值问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决.(3)在解决瓠长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.针对训练1.已知扇形的周长是6,面积是2,则扇形的圆心角的弧度数是()A.1B.4C.1 或 4 D.2 或 42r+/=6,解析：选 C设扇形的半径为r,弧长为/,则H=2,解得1=4r=l,从而 a=-=J=4 或”=;=5=12.若扇形的圆心角是a=120。

弦长A b=1 2 cm,则弧长/等于(A 4 s n 8 scm B.C.4*73 cm D.8y i cm解析：选 B设扇形的半径为r e m,如图.由 sin 60=p 得 r=43 cm,=|T=X 4巾=4 37t cm.)考点三 任意角的三角函数的定义及应用考法(一)三角函数的定义 例 1 (1)函数y=k)g，-3)+2m0且#1)的图象过定点P,且角的终边过点P,则 sin a+cos a的值为()喈D.(2)我国古代数学家僧一行应用“九服辱(gui)影算法”在 大衍历中建立了遇影长I与太阳天顶距仇0W，W80)的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表.根据三角学知识可知，辱影长度I等于表高h与太阳天顶距0正切值的乘积，即/=M an/已知天顶距时，辱影长C 0.14.现测得午中暑影长度/0.4 2,则天顶距0为()(参考数据：t an 10.017 5,t an 20.034 9,t an 30.052 4,t an 22.80.420 4)A.2B.3C.11D.22.8 解析(1)因为函数7=18，*-3)+2 的图象过定点尸(4,2),且角的终边过点P,所以 x=4,j=2,r=2 59 所以 sin=坐,“唔 所 以 sina+cosa邛+挈=唔(2)由题意，可得暮影长/=M anO,且顶距0=1。

时，暮影长/=0.14.“、1 014 0所以，/=t an 0=0.0175=8当春影长度 7 0.42,则 t an%=0.0524,S所以，=3.答案(DD(2)B 方法技巧三角函数定义应用策略(1)已知角a 终边上一点尸的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r,然后用三角函数的定义求解.(2)已知角a 的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义求解.(3)巳知角a 的某三角函数值，可求角a中的两个量列方程求参数值.(4)已知角a的终边所在的直线方程或角上某特定点的坐标.考法(二)三角函数值符号的判断C O S(J.例 2 (1)若 sin at an a 0,且高下0,idn u.A.第一象限角C.第三象限角(2)sin 2cos 3*t an 4 的值()A.小于0C.等于0终边上一点尸的坐标中的参数值，可根据定义a 的大小，根据三角函数的定义可求角终边则角a 是()B.第二象限角D.第四象限角B.大于0D.不存在 解析(1)由 sin at an a0可知sin a,t an a异号，则 a 为第二象限角或第三象限角.由户义0,3孤度大于壬 小于n 在第二象限，.cos 30,Asin 2*cos 3*t an 40.答案(1)C(2)A 方法技巧1.三角函数值符号及角的位置判断已知一角的三角函数值(sin a,cos a,t an a)中任意两个的符号，可分别确定出角终边所在的可能位置，二者的交集即为该角的终边位置，注意终边在坐标轴上的特殊情况.2.三角函数值的符号规律三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正，二正弦，三正切，四余弦.针对训练1.已知点P(t ana,cos a)在第三象限，则角a 的 终 边 在()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限解析：选 B 由题意知t ana0,cosa 0,所以x=g 噌，3由三角函数的定义可得：sin a=g.3（2）由 sinQ=?Q是锐角，可得cos a4-54 4因为锐角夕的终边与单位圆相交于。

点，且纵坐标为吊 将代入2+7 2=1,因为“是锐角，x 0,可得x=5，3，4 3所以 sin 0=三,cos所 以 cos（z+/?）=cos acos y?sin asin p4 3 3 4=gxg gxg=o因为 O v a/,0/?0,t an V0.所以 y=-l +l-l =-l.6.（多选）下列结论中正确的是（）4A.若角 a 的终边过点 P（3A,4A）（AW0）,贝!j sin a=gB.若 a 是第一象限角，贝吟为第一或第三象限角C.若扇形的周长为6,半径为2,则其中心角的大小为1 弧度D.若 0 a?,贝!J sin at an a解析：选 BCD 当人=-1 时，P（-3,-4）,则 sin a=一故 A 错误；:2EvaV2AT T+5,kZ,*.knkn+9 A Z,*为第一或第三象限角，故 B 正确；|“|=；=与=1,故 C 正确；,:0a?,：sin at an asin acos a s in e 贝!（）A.a f l B.a cosp D.t an at an fi解析：选 D 因为“，夕是第一象限角，所以sinl0,sin/?0,又 sin Qsin少，所以sin2asin2/?0,所以 1-cos2a1 c o s?所以 cos2cos2/9 所以t an2at an2)?,因为 t an a0,t an/?(),所以 t an at an 夕故选 I).9.若“=1 560。

角与终边相同，且一360解析：因为 a=l 5600=4X3600+120所以与G终边相同的角为3604+120kG Z,令女=-1 或 4=0 可得一 240或0=1 20.答案：120或一 24。