2019年（理科数学）（新课标Ⅰ）试卷真题+参考答案+详细解析.docx

2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）已知集合，，则　　A． B． C． D．2．（5分）设复数满足，在复平面内对应的点为，则　　A． B． C． D．3．（5分）已知，，，则　　A． B． C． D．4．（5分）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为，头顶至脖子下端的长度为，则其身高可能是　　A． B． C． D．5．（5分）函数在的图象大致为　　A． B． C． D．6．（5分）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是　　A． B． C． D．7．（5分）已知非零向量，满足，且，则与的夹角为　　A． B． C． D．8．（5分）如图是求的程序框图，图中空白框中应填入　　A． B． C． D．9．（5分）记为等差数列的前项和．已知，，则　　A． B． C． D．10．（5分）已知椭圆的焦点为，，过点的直线与椭圆交于，两点．若，，则的方程为　　A． B． C． D．11．（5分）关于函数有下述四个结论：①是偶函数②在区间单调递增③在有4个零点④的最大值为2其中所有正确结论的编号是　　A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③12．（5分）已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，是边长为2的正三角形，，分别是，的中点，，则球的体积为　　A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．（5分）曲线在点处的切线方程为　　．14．（5分）记为等比数列的前项和．若，，则　　．15．（5分）甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以获胜的概率是　　．16．（5分）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与的两条渐近线分别交于，两点．若，，则的离心率为　　．三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答一）必考题：共60分17．（12分）的内角，，的对边分别为，，．设．（1）求；（2）若，求．18．（12分）如图，直四棱柱的底面是菱形，，，，，，分别是，，的中点．（1）证明：平面；（2）求二面角的正弦值．19．（12分）已知抛物线的焦点为，斜率为的直线与的交点为，，与轴的交点为．（1）若，求的方程；（2）若，求．20．（12分）已知函数，为的导数．证明：（1）在区间存在唯一极大值点；（2）有且仅有2个零点．21．（12分）为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为和，一轮试验中甲药的得分记为．（1）求的分布列；（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，，1，，表示“甲药的累计得分为时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则，，，2，，，其中，，．假设，．证明：，1，2，，为等比数列；求，并根据的值解释这种试验方案的合理性．（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（10分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．（1）求和的直角坐标方程；（2）求上的点到距离的最小值．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知，，为正数，且满足．证明：（1）；（2）．2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）已知集合，，则　　A． B． C． D．【解答】解：，，．故选：．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法和交集的运算，属基础题．2．（5分）设复数满足，在复平面内对应的点为，则　　A． B． C． D．【解答】解：在复平面内对应的点为，，，，，故选：．【点评】本题考查复数的模、复数的几何意义，正确理解复数的几何意义是解题关键，属基础题．3．（5分）已知，，，则　　A． B． C． D．【解答】解：，，，，，故选：．【点评】本题考查了指数函数和对数函数的单调性，增函数和减函数的定义，属基础题．4．（5分）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为，头顶至脖子下端的长度为，则其身高可能是　　A． B． C． D．【解答】解：法一：头顶至脖子下端的长度为，说明头顶到咽喉的长度小于，由头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比是，可得咽喉至肚脐的长度小于，由头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是，可得肚脐至足底的长度小于，即有该人的身高小于，又肚脐至足底的长度大于，可得头顶至肚脐的长度大于，即该人的身高大于，故选：．法二：（神估算+排除法+玄学）：从生物学角度看出维纳斯是女性，，排除；维纳斯是外国的（罗马神话中美的女神，罗马十二主神之一），排除，故选．【点评】本题考查简单的推理和估算，考查运算能力和推理能力，属于中档题．5．（5分）函数在的图象大致为　　A． B． C． D．【解答】解：，，，为上的奇函数，因此排除；又，因此排除，；故选：．【点评】本题考查了函数的图象与性质，解题关键是奇偶性和特殊值，属基础题．6．（5分）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是　　A． B． C． D．【解答】解：在所有重卦中随机取一重卦，基本事件总数，该重卦恰有3个阳爻包含的基本个数，则该重卦恰有3个阳爻的概率．故选：．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7．（5分）已知非零向量，满足，且，则与的夹角为　　A． B． C． D．【解答】解：，，，，．故选：．【点评】本题考查了平面向量的数量积和向量的夹角，属基础题．8．（5分）如图是求的程序框图，图中空白框中应填入　　A． B． C． D．【解答】解：模拟程序的运行，可得：，；满足条件，执行循环体，，；满足条件，执行循环体，，；此时，不满足条件，退出循环，输出的值为，观察的取值规律可知图中空白框中应填入．故选：．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．9．（5分）记为等差数列的前项和．已知，，则　　A． B． C． D．【解答】解：设等差数列的公差为，由，，得，，，，故选：．【点评】本题考查等差数列的通项公式以及前项和公式，关键是求出等差数列的公差以及首项，属于基础题．10．（5分）已知椭圆的焦点为，，过点的直线与椭圆交于，两点．若，，则的方程为　　A． B． C． D．【解析】法一：，，又，，又，，，，，，，在轴上．在△中，，在△中，由余弦定理可得，根据，可得，解得，．．所以椭圆的方程为：．故选：．法二：，，又，，又，，，可得，由得，又点在椭圆上，代入椭圆方程可得，解得，，所以椭圆的方程为：．故选．【点评】本题考查了椭圆的性质，余弦定理的应用，属中档题．11．（5分）关于函数有下述四个结论：①是偶函数②在区间单调递增③在有4个零点④的最大值为2其中所有正确结论的编号是　　A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③【解答】解：则函数是偶函数，故①正确，当时，，，则为减函数，故②错误，当时，，由得得或，由是偶函数，得在上还有一个零点，即函数在有3个零点，故③错误，当，时，取得最大值2，故④正确，故正确是①④，故选：．【点评】本题主要考查与三角函数有关的命题的真假判断，结合绝对值的应用以及利用三角函数的性质是解决本题的关键．12．（5分）已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，是边长为2的正三角形，，分别是，的中点，，则球的体积为　　A． B． C． D．【解析】法一：如法一图所示，由，是边长为2的正三角形，可知三棱锥为正三棱锥，则顶点在底面的射影为底面三角形的中心，连接并延长，交于，则，又，，可得平面，则，，分别是，的中点，，又，即，，得平面，正三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，把三棱锥补形为正方体，则正方体外接球即为三棱锥的外接球，其直径为．半径为，则球的体积为．故选：．法二：如法二图所示，根据题意，三棱锥为正三棱锥，于是，又，，分别是，的中点，，于是，又，因此平面，故，由可知，也即，故，，两两互相垂直且相等，即三棱锥可以放入边长为的立方体中，易求得，因此，故选． 法一图 法二、法三共用图 法三图 法三评注图法三：如法三图所示，设，则，在中，，，由勾股定理可得，在和中，由余弦定理和诱导公式，得，即，也即，解得，所以，又，所以，，，易知三棱锥与棱长为的正方体有相同的外接球，易求得，因此，故选．【点评】本题考查多面体外接球体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查计算能力，是中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．（5分）曲线在点处的切线方程为　　．【解答】解：，，当时，，。