2021年哈尔滨工业大学工科数学分析期末考试试卷5.doc

遵 守 考 试 纪 律注 意 行 为 规 范2021年工科数学分析试题卷（A班）考试形式（开、闭卷）：闭答题时间：150 （分钟）本卷面成绩占课程成绩80 %题 号一二三四五六七八卷面总分平时成绩课程 总成绩分、皿 数一、填空题(每题4分，共40分) 得分1. 集合X = (x:O

r F(x) —F(0) r F (0) = lim = limxtO x xtO 工3= lim也祟5 3x=|r(o)（2分）（2分）（1分）3. 求不定积分：xx(xlnx +x + l)dx=J xd(xx ) + ^xxdx=xx+x - j xxdx + j xxdx= xx+i+Cn __4. 求极限：lim£(4〃2—声)"k=l"Too.n 1 7i（1分）（2分）（1分）（1分）（1分）（3分）（1分）=arc sin—=— o 6三、试解答下列各题（每题4分，共20分）1.设 /（x）eC（［«,Z?］）,且 /（%） > 0 -证明：方程 得分（*x rx 1\ f（t）dt+ ［——dt = 0在开区间（a,内有且仅有一Jfl 扑 f（t）根证:设 F(x)=dt,Vx g [a,b\,则 F(x) e C\a,b\,由 F'(x) = /(x) + >0,Vxe(a,b),知 F(x)在[a，]上严格单增(2 分)f(x) '「a 1 pb又F(a) = [ 0,故由零点定理知:此 f(t)dt JaF（x） = 0在（a, b）内有且仅有一根o（2分）_ . x2ex -ln(l + x2) - arcsin x32.求极限：hmxtOxsinx-x2,X4 ,解：xsinx = x2 — + o(x4), xsinx-x2 3!X4 / 4、—+ O(X)（1分）4 4X2ex =尤2 + 尤3 + +。

工4), 血(1 + x2) - x2 _ +尤4 )（1分）arcsin x3 = %3 +c>(x4)（1分）（1分）盾十 r %4 +o(x4) a 原式=lim = —6x->0 1 4 4-—X + o(^x )3. 设 gvivZ?,证明：b]na> €zlnZ?In y证：设f(x)=— x>e 贝ij (1 分)xf'(x)= ~ < 0, x>e (2 分)%故/(x)在(e,心)内严格单调下降，特别有f(a) - 了 (b)> 0ab{f(d) - /(/?)) = Z?ln a-a]nb>0 (1 分)z24. 求旋转椭球体V = {(x,y,z)：工2 + y2 + 3 V 1}的体积A 普 z2（2分）解： V = f 厂勿(1 )dzJ—J2 2（1分）（1分）4a/2^-35. 设函数了3）在[0,1] ±二阶可导,且 max /(%) = , |/rf(x)| < 1,试证:证：设工=0<"<1）是f（x）的最大点，则ff（a） = 0由 /(0) = ^ + ^^«2, 0<旨<与 |/ff(x)|0,3^)>0:J a VT :/(T) < ",片 T、(g, D~J\<£教研室主任签字:。