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高考数学一轮复习 第十二章 概率、随机变量及其概率分布 12.3 几何概型 理.ppt

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    • 第十二章概率、随机变量及其概率分布12.3几何概型几何概型内容索引基础知识基础知识 自主学习自主学习题型分类题型分类 深度剖析深度剖析易错警示系列易错警示系列思想方法思想方法 感悟提高感悟提高练出高分练出高分基础知识基础知识自主学习自主学习1.几何概型的概念设D是一个可度量的区域(例如 、等),每个基本事件可以视为从区域D内随机地取一点,区域D内的每一点被取到的机会 ;随机事件A的发生可以视为恰好取到区域D内的 .这时,事件A发生的概率与d的测度(、等)成正比,与d的形状和位置无关.我们把满足这样条件的概率模型称为几何概型.线段平面图形立体图形都一样某个指定区域d中的点长度面积体积知识梳理知识梳理1 1答案2.几何概型的概率计算公式一般地,在几何区域D中随机地取一点,记事件“该点落在其内部一个区域d内”为事件A,则事件A发生的概率P(A).3.要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点(1)无限性:在一次试验中,可能出现的结果有 ;(2)等可能性:每个结果的发生具有.无限多个等可能性答案4.随机模拟方法(1)使用计算机或者其他方式进行的模拟试验,以便通过这个试验求出随机事件的概率的近似值的方法就是模拟方法.(2)用计算机或计算器模拟试验的方法为随机模拟方法.这个方法的基本步骤是用计算器或计算机产生某个范围内的随机数,并赋予每个随机数一定的意义;统计代表某意义的随机数的个数M和总的随机数个数N;计算频率fn(A)作为所求概率的近似值.判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零.()(2)几何概型中,每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点,该区域中的每一点被取到的机会相等.()(3)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形.()(4)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率.()(5)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关.()(6)从区间1,10内任取一个数,取到1的概率是P .()思考辨析答案1.(教材改编)段0,3上任投一点,则此点坐标小于1的概率为_.解析解析坐标小于1的区间为0,1,长度为1,0,3区间长度为3,考点自测考点自测2 2解析答案123452.(2015山东改编)在区间0,2上随机地取一个数x,则事件“1 1”发生的概率为_.由几何概型的概率计算公式得所求概率解析答案123453.(2014辽宁改编)若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中,其中AB2,BC1,则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是_.解析解析设质点落在以AB为直径的半圆内为事件A,解析答案123454.(2014福建)如图,在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子,有180粒落到阴影部分,据此估计阴影部分的面积为_.解析解析由题意知,这是个几何概型问题,S正1,S阴0.18.0.18解析答案123455.(教材改编)如图,圆中有一内接等腰三角形.假设你在图中随机撒一把黄豆,则它落在阴影部分的概率为_.解析解析设圆的半径为R,由题意知圆内接三角形为等腰直角三角形,12345解析答案返回题型分类题型分类深度剖析深度剖析例例1(1)(2015重庆)在区间0,5上随机地选择一个数p,则方程x22px3p20有两个负根的概率为_.解析解析方程x22px3p20有两个负根,题型一题型一与长度、角度有关的几何概型与长度、角度有关的几何概型解析答案解析答案(3)如图所示,在ABC中,B60,C45,高AD ,在BAC内作射线AM交BC于点M,求BM1的概率.解解因为B60,C45,所以BAC75.记事件N为“在BAC内作射线AM交BC于点M,使BM1”,则可得BAMBAD时事件N发生.解析答案引申探究解析答案2.若本例(3)中“在BAC内作射线AM交BC于点M”改为“段BC上找一点M”,求BM1的概率.解析答案思维升华(1)如图,在直角坐标系内,射线OT落在30角的终边上,任作一条射线OA,则射线OA落在yOT内的概率为_.解析解析如题图,因为射线OA在坐标系内是等可能分布的,跟踪训练1解析答案解析解析由题意得Ax|1x5,Bx|2x3,故ABx|2x3.由几何概型知,在集合A中任取一个元素x,解析答案命题点命题点1与平面图形面积有关的问题与平面图形面积有关的问题题型二题型二与面积有关的几何概型与面积有关的几何概型解析答案命题点命题点2与线性规划知识交汇命题的问题与线性规划知识交汇命题的问题例例3(2014重庆)某校早上8:00开始上课,假设该校学生小张与小王在早上7:307:50之间到校,且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的,则小张比小王至少早5分钟到校的概率为_.解析答案思维升华(1)在区间,内随机取出两个数分别记为a,b,则函数f(x)x22axb22有零点的概率为_.解析解析由函数f(x)x22axb22有零点,可得(2a)24(b22)0,整理得a2b22,如图所示,(a,b)可看成坐标平面上的点,试验的全部结果构成的区域为(a,b)|a,b,其面积S(2)242.事件A表示函数f(x)有零点,所构成的区域为M(a,b)|a2b22,即图中阴影部分,其面积为SM423,跟踪训练2解析答案解析答案例例4在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中,点O为底面ABCD的中心,在正方体ABCDA1B1C1D1 内随机取一点P,则点P到点O的距离大于1的概率为_.题型三题型三与体积有关的几何概型与体积有关的几何概型解析答案思维升华如图,在长方体ABCDA1B1C1D1中,有一动点在此长方体内随机运动,则此动点在三棱锥AA1BD内的概率为_.跟踪训练3解析答案返回易错警示系列易错警示系列典典例例(14分)在长度为1的线段上任取两点,将线段分成三段,试求这三条线段能构成三角形的概率.易错分析易错分析不能正确理解题意,无法找出准确的几何度量来计算概率.易错警示系列 16.混淆长度型与面积型几何概型致误混淆长度型与面积型几何概型致误温馨提醒解析答案返回易错分析思想方法思想方法感悟提高感悟提高1.区分古典概型和几何概型最重要的是看基本事件的个数是有限个还是无限个.2.转化思想的应用对一个具体问题,可以将其几何化,如建立坐标系将试验结果和点对应,然后利用几何概型概率公式.(1)一般地,一个连续变量可建立与长度有关的几何概型,只需把这个变量放在坐标轴上即可;方法与技巧(2)若一个随机事件需要用两个变量来描述,则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件,然后利用平面直角坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型;(3)若一个随机事件需要用三个连续变量来描述,则可用这三个变量组成的有序数组来表示基本事件,利用空间直角坐标系建立与体积有关的几何概型.方法与技巧1.准确把握几何概型的“测度”是解题关键;2.几何概型中,线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果.失误与防范返回练出高分练出高分1234567891011121314151.(2014湖南改编)在区间2,3上随机选取一个数X,则X1的概率为_.解析解析在区间2,3上随机选取一个数X,解析答案123456789101112131415解析答案3.已知ABC中,ABC60,AB2,BC6,在BC上任取一点D,则使ABD为钝角三角形的概率为_.解析解析如图,当BE1时,AEB为直角,则点D段BE(不包含B、E点)上时,ABD为钝角三角形;当BF4时,BAF为直角,则点D段CF(不包含C、F点)上时,ABD为钝角三角形.123456789101112131415解析答案解析解析如图所示,正方形OABC及其内部为不等式组表示的区域D,且区域D的面积为4,而阴影部分表示的是区域D内到坐标原点的距离大于2的区域.易知该阴影部分的面积为4.123456789101112131415解析答案5.已知一只蚂蚁在边长分别为5,12,13的三角形的边上随机爬行,则其恰在离三个顶点的距离都大于1的地方的概率为_.解析解析由题意可知,三角形的三条边长的和为5121330,而蚂蚁要在离三个顶点的距离都大于1的地方爬行,则它爬行的区域长度为3101124,123456789101112131415解析答案6.有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱,点O为这个圆柱底面圆的圆心,在这个圆柱内随机取一点P,则点P到点O的距离大于1的概率为_.123456789101112131415解析答案如图,由题意知,在矩形ABCD内任取一点Q(m,n),点Q落在阴影部分的概率即为所求的概率,易知直线mn恰好将矩形平分,123456789101112131415解析答案解析解析半圆域如图所示:123456789101112131415解析答案9.随机向边长为5,5,6的三角形中投一点P,则点P到三个顶点的距离都不小于1的概率是_.解析解析由题意作图,如图123456789101112131415解析答案10.已知向量a(2,1),b(x,y).(1)若x,y分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数,求满足ab1的概率;解解将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次,所包含的基本事件总数为6636(个);由ab1有2xy1,所以满足ab1的基本事件为(1,1),(2,3),(3,5),共3个;123456789101112131415解析答案(2)若x,y在连续区间1,6上取值,求满足ab0的概率.解解若x,y在连续区间1,6上取值,则全部基本事件的结果为(x,y)|1x6,1y6;满足ab0的基本事件的结果为A(x,y)|1x6,1y6且2xy0;画出图形如图,矩形的面积为S矩形25,123456789101112131415解析答案11.一个长方体空屋子,长,宽,高分别为5米,4米,3米,地面三个角上各装有一个捕蝇器(大小忽略不计),可捕捉距其一米空间内的苍蝇,若一只苍蝇从位于另外一角处的门口飞入,并在房间内盘旋,则苍蝇被捕捉的概率是_.解析解析屋子的体积为54360立方米,123456789101112131415解析答案p1p2p3 p2p3p1p3p1p2 p3p2p1123456789101112131415解析答案123456789101112131415解析答案14.已知集合A2,2,B1,1,设M(x,y)|xA,yB,在集合M内随机取出一个元素(x,y).(1)求以(x,y)为坐标的点落在圆x2y21内的概率;解解集合M内的点形成的区域面积S8.因圆x2y21的面积S1,123456789101112131415解析答案形成的区域如图中阴影部分,阴影部分面积S24,123456789101112131415解析答案15.甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头,它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的.如果甲船停泊时间为1 h,乙船停泊时间为2 h,求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率.123456789101112131415解析答案返回。

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