2022-2023学年湖南省张家界市市武陵源第一中学高二数学理联考试题含解析.docx
11页2022-2023学年湖南省张家界市市武陵源第一中学高二数学理联考试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 下列求导运算正确的是（ ）A．(x+ B．(log2x)′= C．(3x)′=3xlog3e D． (x2cosx)′=-2xsinx 参考答案：B2. 已知等差数列中，，则（ ） A．5 B．10 C．15 D．20参考答案：B略3. 已知数列{an}中，，若{an}为递增数列，则的取值范围是（ ）A. (－∞,3) B. (－∞,3]C. (－∞,2) D. (－∞,2]参考答案：A【分析】由已知得，根据为递增数列，所以有，建立关于的不等式，解之可得的取值范围.【详解】由已知得，因为为递增数列，所以有，即恒成立，所以，所以只需，即，所以，故选A.【点睛】本题考查数列的函数性质：递增性，根据已知得出是解决此类问题的关键，属于基础题.4. 对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x－1) f′(x)≥0，则必有A. f(0)+ f(2)<2 f(1) B. f(0)+ f(2)≤2 f(1) C. f(0)+ f(2)≥2 f(1) D. f(0)+ f(2)>2 f(1) 参考答案：C5. 设随机变量服从正态分布，若，则实数的值是( )A．－4 B． C．2 D．参考答案：C6. 在一张纸上画一个圆，圆心O，并在圆外设一点F，折叠纸圆上某点落于F点，设该点为M，抹平纸片，折痕AB，连接MO（或者OM）并延长交于AB于P，则P点轨迹为（ ）A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．直线参考答案：B【考点】轨迹方程．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据ABC是线段MF的垂直平分线．可推断出|MP|=|PF|，进而可知|PO|﹣|PF|=|PO|﹣|PM|=|MO|结果为定值，进而根据双曲线的定义推断出点P的轨迹．【解答】解：由题意知，AB是线段MF的垂直平分线．∴|MP|=|PF|，∴|PO|﹣|PF|=|PO|﹣|PM|=|MO|（定值），又显然|MO|＜|FO|，∴根据双曲线的定义可推断出点P轨迹是以F、O两点为焦点的双曲线．故选：B．【点评】本题主要考查了双曲线的定义的应用．考查了学生对双曲线基础知识的理解和应用．7. 函数的一个对称中心是 （ ） 参考答案：B略8. 已知为第二象限角，，则 （ ） A． B. C. D.参考答案：A略9. 已知集合，i为虚数单位，，则下列选项正确的是（ ）A. B. C. D. 参考答案：A【分析】利用复数模的计算公式可得 ，即可判断出结论．【详解】，又集合，．故选：A．【点睛】本题考查了复数模的计算公式、元素与集合之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10. 已知集合，，则为（ ）A．[0,3) B．(1,3) C．(0,1) D．参考答案：C二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 函数y=loga（x+3）﹣1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中mn＞0，则+的最小值为 ．参考答案：3+2【考点】基本不等式在最值问题中的应用；对数函数的单调性与特殊点．【分析】根据对数函数的性质先求出A的坐标，代入直线方程可得m、n的关系，再利用1的代换结合均值不等式求解即可．【解答】解：∵x=﹣2时，y=loga1﹣1=﹣1，∴函数y=loga（x+3）﹣1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点（﹣2，﹣1）即A（﹣2，﹣1），∵点A在直线mx+ny+1=0上，∴﹣2m﹣n+1=0，即2m+n=1，∵mn＞0，∴m＞0，n＞0， +=（+）（2m+n）=3++≥3+2，当且仅当=时取等号， +的最小值为3+2．故答案为：3+2．【点评】本题考查了对数函数的性质和均值不等式等知识点，运用了整体代换思想，是高考考查的重点内容．12. 如果直线和互相垂直，则实数的值为_____________.参考答案：13. 根据如图所示的算法流程图，可知输出的结果i为________． 参考答案：714. 若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围为__________.参考答案：略15. 已知，，且对任意的恒成立，则的最小值为__________．参考答案：3【分析】先令，用导数的方法求出其最大值，结合题中条件，得到，进而有，用导数方法求出的最大值，即可得出结果.【详解】因为，，且，令，则，令得，显然，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减；因此；因为对任意的恒成立，所以；即，所以，因此，令，则，当时，，单调递增；当时，，单调递减；所以，故最小值为3，所以故答案为3【点睛】本题主要考查导数的应用，掌握导数的方法判断函数单调性，求函数最值即可，属于常考题型.16. 已知，且，则c的值为________． 参考答案：17. 若，则的最小值为 ；参考答案：4三、 解答题：本大题共5小题，共72分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 某班甲、乙、丙三名同学竞选班委，三人间是否当选相互独立，甲当选的概率为，乙当选的概率为，丙当选的概率为，求：（1）恰有一名同学当选的概率；（2）至多有两人当选的概率．参考答案：【考点】C9：相互独立事件的概率乘法公式；C5：互斥事件的概率加法公式．【分析】（1）利用相互独立事件的概率乘法公式，所求的事件的概率与它的对立事件的概率之间的关系，求得恰有一名同学当选的慨率．（2）解法一：求出没有人当选的概率，恰有2人当选的概率，结合恰有一名同学当选的慨率的值，把这3个值相加，即得所求．解法二：先求出三个人都当选的概率，再用1减去此概率，即得所求．【解答】解：（1）恰有一名同学当选的慨率为?（1﹣）?（1﹣）+（1﹣）??（1﹣）+（1﹣）?（1﹣）?=++=．（2）∵没有人当选的概率为（1﹣）?（1﹣）?（1﹣）=，恰有2人当选的概率为?（1﹣）+?（1﹣）+（1﹣）?=++=，故至多有两人当选的概率为++==．解法二：由于三个人都当选的概率为==，故至多有两人当选的概率为 1﹣=．【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，互斥事件的概率加法公式，所求的事件的概率与它的对立事件的概率之间的关系，属于基础题．19. 设圆满足：(Ⅰ)截y轴所得弦长为2；(Ⅱ)被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1．在满足条件(Ⅰ)、(Ⅱ)的所有圆中，求圆心到直线l:x-2y=0的距离最小的圆的方程.参考答案：解法一 设圆的圆心为P(a，b)，半径为r，则点P到x轴，y轴的距离分别为|b|，|a|。
由题设知圆P截x轴所得劣弧所对的圆心角为90°，∴圆P截x轴所得的弦长为r，故r2=2b2 又圆P截y轴所得的的弦长为2，所以有r2=a2+1从而得2b2-a2=1又点P(a，b)到直线x-2y=0的距离为d=，所以5d2=|a-2b|2=a2+4b2-4ab≥a2+4b2 -2(a2+b2)=2b2-a2=1，当且仅当a=b时，上式等号成立，从而要使d取得最小值，则应有，解此方程组得或又由r2=2b2知r=于是，所求圆的方程是(x-1)2+(y-1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=210分解法二 同解法一得d=，∴a-2b=±d，得a2=4b2±bd+5d2 ①将a2=2b2-1代入①式，整理得2b2±4bd+5d2+1=0 ② 把它看作b的二次方程，由于方程有实根，故判别式非负，即△=8(5d2-1)≥0，得5d2≥1所以5d2有最小值1，从而d有最小值将其代入②式得2b2±4b+2=0，解得b=±1将b=±1代入r2=2b2得r2=2，由r2=a2+1得a=±1综上a=±1，b=±1，r2=2由|a-2b|=1知a，b同号于是，所求圆的方程是(x-1)2+(y-1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=2。
10分ks5u20. （本小题10分） 已知圆C：内有一点P（2，2），过点P作直线l交圆C于A、B两点.（1）当弦AB被点P平分时，写出直线l的方程；(2) 当直线l的倾斜角为45o时，求弦AB的长.参考答案：1）当弦AB被点P平分时，l⊥PC, 直线l的方程为, 即 x+2y-6=0 -----5分（2）当直线l的倾斜角为45o时，斜率为1，直线l的方程为y-2=x-2 ,即 x-y=0圆心C到直线l的距离为，圆的半径为3，弦AB的长为. -----10分21. （本小题共12分）已知双曲线与圆相切，过的左焦点且斜率为的直线也与圆相切．（1）求双曲线的方程； （2）是圆上在第一象限内的点，过且与圆相切的直线与的右支交于、两点，的面积为，求直线的方程．ks5u参考答案：（1）∵双曲线与圆相切，∴ ， ………………2分由过的左焦点且斜率为的直线也与圆相切，得，进而故双曲线的方程为 ………………………………4分（2）设直线：，，，圆心到直线的距离，由得………6分ks5u由 得 则， ……………8分又的面积，∴ …………10分由， 得，，此时式∴直线的方程为. …………………12分22. 某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定（平面图形如图所示），如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/米2，水池所有墙的厚度忽略不计，试设计污水处理池的长与宽，使总造价最低，并求出最低总造价。
