清北学堂物理竞赛考前练习题第三套.pdf

20102010 年北京清北学堂竞赛模拟题三年北京清北学堂竞赛模拟题三1、均质半圆形金属拱架 ACB，圆心在 O 点，质量M=1000kg，A 端与地面的铰链相连，B端搁在滚珠上现有一质量 m=500kg 的物体从顶点 C 无摩擦滑下，当它滑到 D 点时（已知COD=30），试求 A、B两处对拱架的作用力2、质量为 m 的小球随着质量也为 m 的甲车一起以速度 v0做匀速运动而后与质量同为m 的乙车发生完全非弹性碰撞不计车内轨道及水平地面的摩擦，试求：（1）求小球能上升的最大高度；（2）小球再回到轨道最低点时对轨道的压力（已知轨道为圆弧，且半径为 r）3、如图 2-4-15 所示，框架是用同种金属丝制成的，单位长度的电阻为，一连串内接等边三角形的数目可认为趋向无穷，取 AB 边长为 a，以下每个三角形的边长依次减小一半，则框架上 A、B 两点间的电阻为多大？AB图 2-4-150，04、有一空气平行板电容器，极板面积为S，与电池连接，极板上充有电荷和断开电源后，保持两板间距离不变，在极板中部占极板间的一半 Q0体积的空间填满（相对）介电常数为的电介质，如图 1-3-4 所示求：（1）图中极板间 a 点的电场强度（2）图中极板间 b 点的电场强度EaEb？ba Q0图 1-3-4（3）图中与电介质接触的那部分正极板上的电荷Q1？（4）图中与空气接触的那部分正极板上的电荷Q2？（5）图中与正极板相接触的那部分介质界面上的极化电荷Q1？5、新发 现一行星，其星球半径为6400km，且由通常的水形成的海洋覆盖着它的所有表面，海 洋的深度为10km。

学 者们对该行星进行探查时发现当把试验用的样品浸 入行星海洋的 不同深度时，各处的自由 落体加速度以 相当高的精 确度保持不变，试 求 这 个 行 星 表 面 处 的 自 由 落 体 加 速 度已 知 万 有 引 力 常 数 为G 6.671011N m2kg26、一台四冲程内燃机的压缩比 r=9.5，热机抽出的空气和气体燃料的温度为27，在 larm=爆，压强加倍；从 34 活塞外推，气体绝热膨胀至体积；这是排气阀门打开，压强回到初始值 larm(压缩比是气缸最大与最小体积比，是比热容比)1)确定状态 1、2、3、4 的压强和温度；(2)求此循环的热效率5032410V00rV0图 2-2-27 普通光纤是一种可传输光的圆柱形细丝，由具有圆形截面的纤芯A和包层B组成，B的折射率小于A的折射率，光纤的端面与圆柱体的轴垂直，由一端面射入的光在很长的光纤中传播时，在纤芯A和包层B的分界面上发生多次全反射现在利用普通光纤测量流体F的折射率实验方法如下：让光纤的一端（出射端）浸在流体F中令与光纤轴平行的单色平行光束经凸透镜折射后会聚在光纤入射端面的中心O经端面折射进入光纤，在光纤中传播由于O点出发的光束为圆锥形，已知其边缘光线和轴的夹角为端面103KPa压强下的体积为V0，如图 2-2-2 所示，从 12 是绝热压缩过程；23 混合气体燃9.5V0a0，如图 1-2-18 所示。

最后光从另一端面出射进入流体F在距出射h1处放置一垂直于光纤轴的毛玻璃屏D，在D上出现一圆形光斑，测出其直径为d1，d如图 1-2-19 所示h然后移动光屏D至距光纤出射端面2处，再测出圆形光斑的直径2，nA与nB求被测流体F的折射率nF的表达式annn（2）若A、B和0均为未知量，如何通过进一步的实验以测出F的值？（1）若已知A和B的折射率分别为图1-2-18空气B0OAh2h1Bd1d2FD1-2-19DA图参考答案：参考答案：1、CD 过程能量守恒1mv2=mgR（1cos30）D2v2在 D 位置动力学方程 mg cos30ND=mDR从这两式可以解得：ND=3 3 4mg2对拱架，以 A 为转轴 M=0（注意 B处只能提供竖直向上的作用力），即NB2R=MgR+NDRcos cos30，这样 NB就解决了解 NA还得对拱架用 Fx=0 和 Fy=0，即NAx=NDx=NDsin30=1495NNAy=Mg+NDyNB=6295N最后 NA=2N2Ax NAy，NA和竖直方向夹角 =arctgNAxNAy答案：A 处的作用力大小大小约 6470N，方向竖直偏右 13.4斜向上；B 处作用力大小约 6295N，方向竖直向上。

2、提示：常规题1）甲、乙作用后 v=12v0，球滚到最高点后 v=v02311122mv0+2mv =2mv2+mgh222考查球与两车整体作用的过程，机械能守恒（2）对“滚上回来”的全过程直接用弹性碰撞的结论（因始末状态系统动量、动能均守恒），见第 2 题的结论可得 v球=相对速度（v121v0，v3甲乙=5v0，再求小球末态对两车整体的6相=v0），最后对小球用圆周运动动力学关系（注意：在末态，两车的系统是惯性系）即可22v0v0答案：（1）；（2）m（g+）4r12g3、从对称性考虑原电路可以用如图 2-4-16 所路来代替，同时我们用电阻为示 的 等 效 电RAB/2的电阻器来R/2Rx/2R/2RR/2R/2B代 替 由 无 数这 样 的，层“格子”所构成的“内”三角，并且电阻是RABARAB Rx，R a因此RRx/2 RRx/2 Rx RR R R R Rx/2 R Rx/2解此方程得到图 2-4-16RAB Rx7 11R 337 1a4 4、解：、解：设未插入电介质时平行板电容器的电容为C0，则Q0U1 Q1EaCCddCd 0022（1）2Q02Q04kd24kQ01 dC1dS1S0（2）Ea EbQ1CaU C0E0dQ021（3）11Q2 CbU C0E0dQ021（4）（5）因Ea Eb故Q1Q1Q 4k2SS224k解得 Q1Q2 Q11Q105、解：如图 3-6-2 以 R 表示此星球（包括水层）的半径，M 表示其质量，h 表示其表层海洋的深度，r 表示海洋内任一点 A 到星球中心 O 的距离，半径。

则有总质量为R0表示除表层海洋外星球内层的R r R0，且R0 h R0，以水表示水的密度，则此星球表层海洋中水的4 4m R3R03水334水(3R2h 3Rh2 h3)3m 4水R2h由于R h，故式可略去其中 h 的高次项面是近似写为根据均匀球体表面处重力加速度的公式，可得此星球表层海洋的底面和表面处的重力加速度分别为g表g底依题述有GMR2G(M m)2R0g表 g底hrOR0AR,即MM mM mR2R02(R h)2整理上式可解得R2mM 2Rh h2图 3-6-2由于R h，故近似取 2Rh-h 2Rh,则式可写为2M 由和式得此星球表面的重力加速度为Rm2hGM 2G水R02R11226水1.0103kg m36.6710N mkgR 6.410 m代入式，以 G=、g表得g表 2.7m s26、分析：本题为实际热机的等容加热循环奥托循环其热效率取决于压缩比r1pV TV解：对于绝热过程，有恒量，结合状态方程，有恒量1)状态 1，p11atm，T1 300KT1(rV0)1得T2 3002.461 738.3K，p2 23.38atmT2V0在状态 3，1Vp3 2p2 46.76atm，T3 2T21476.6K1用绝热过程计算状态 4，由T4(V0)1 T3V0得T4 600K,p4 2atm。

2)热效率公式中商的分母是 23 过程中的吸热，这热量是在这一过程中燃烧燃料所获得的因为在这一过程中体积不变，不做功，所以吸收的热量等于气体内能的增加，即CVm(T3T2)，转化为功的有用能量是 23 过程吸热与 41 过程放热之差：3V热效率为：C m(T T1)CVm(T4T1)CVm(T1T3T2T4)T T141CVm(T3T2)T3T2绝热过程有：因为T4V41T3V31,T1V11 T2V21V4V1,V2V3,而故T4T3T11T1T2T2T1V1(2)1()1 r1T2V1r1 r1因此热效率只依赖于压缩比，=59.34%，实际效率只是上述结果的一半稍大些，因为大量的热量耗散了，没有参与循环7 7分析分析光线在光纤中传播时，只有在纤芯A与包层B的分界面上发生全反射的光线才能射出光纤的端面，据此我们可以作出相应的光路图，根据光的折射定律及几何关系，最后可求出nF解解:（1）由于光纤内所有光线都从轴上的O点出发，在光纤中传播的光线都与轴相交，位于通过轴的纵剖面内，图 1-2-20 为纵面内的光路图设由O点发出的与轴的夹角为 的光线，射至A、B分界面的入射角为i，反射角也为 i，该光线在光纤中多次反射时的入射角均为 i，射至出射端面时的入射角为。

若该光线折射后的折射角为，则由几何关系和折射定可得i a 90nAsina nFsin当i大于全反射临界角c时将发生全反射，没有光能损失，相应的光线将以不变的光强C的光线则因在发生反射时有部分光线通过折射进入B，反射光强随射向出射端面而着反射次数的增大而越来越弱，以致在未到达出射端面之前就已经衰减为零了因而能射向出射端面的光线的i的数值一定大于或等于Bii iic，ic的值由下式决定：与nAsiniC nBoAiFiiC对应的 值为当C 900iCa0 aC，即图1-2-20sina0 sinaC cosiC1sin2iC1(O发出的光束中，只有处 的最大值为nB2)nA22n sina n nA0AB时，或时，由a aC的光线才满足i iC的条件下，才能射向端面，此时出射端面amax ac 900iC若，即时，则由O发出的光线都能满足因而都能射向端面，此时出射端面处 的最大值为a0 ac22nAsina0nA nBi iC的条件，amax a0端面处入射角 最大时，折射角也达最大值，设为max，由式可知nFsinmax nAsinamaxa0 aC由、式可得，当时，nFnAsina0sinmax时，由至式可得，当a0 aC22nA nBnAcosiCnFsinmaxsinmaxh2h1B的数值可由图 1-2-21 上的几何关系求得为maxsinmaxd2d12(d2d1)/22(h2h1)2O0AOmaxFOmaxd1O1d2O2DD图1-2-21于是nF的表达式应为(d d1)d d12nF nAsin20C (h2 h1)/222（11）222nFnAnB d2d12(h2h1)20C(d2d1)2（12）2（2）可将输出端介质改为空气，光源保持不变，按同样手续再做一次测量，可测得h1、，这里打撇的量与前面未打撇的量意义相同。

已知空气的折射率等于1，故有、d1、d2h2当0C时，1 nAsin0(d2 d1)/22(h2 h1)2 d1)/2(d2（13）当0C时221nA nB(d2 d1)/22(h2 h1)2(d d)/2（14）21将（11）（12）两式分别与（13）（14）相除，均得。