高中数学中的好题汇.pdf

高 中 数 学（读书笔记）一、集合x =+y 6h,a G Q.b e解法一：；6,V6 已知集合 A =x|(x -2)x -(3 a 4-1)o ,B=xx-2a1一(2 +1)2 t z 当1时，B=（t）,符合题意;当 a w 1 时，B=2Q x v c J +1 又 A=x|(x -2)x -(3 a+1)；,A =(x|2 x 3 +1 2 2a由有 +1Q +1 即 ,/.1 6 Z 30 3若3 a +l 2,则a,3A =x 3 a+1 x 2)3由 B qA,有 22+1,6Z2+12a 即Q W 1-l t z 0)，方程fx)-x =0的两个根玉,%满足1 x2 0a当了(0,王)时，证明：X/(X)X;设函数/的图象关于直线x =/对称，证明：x0 Y证明：令/(工)=/(X)-X,因为玉,工2 是方程/(%)-X=的根，所以，/(工)=(工一七/工一元2)当X(0,X1 州寸，由于王 0，又0，得/(1)=(X-X1)(工 一 工 2)0，即 X /(X)玉 _ /(x)=-x 4-F(x)=七 一 x +a(xl-x x-x2)=(%j -x)l +a(x-x2),1%)x2 0 ,1 +a(x-x2)=I +a x -a x2 1 -a x2 0得马-/(%)0,所以 f(x)X,因此得卜依题意知xo=-，因为X,%2 是方程/(x)-X=0的根，即 X1,冗 2 是方程QX2+伍-l)x +C=02。

的根b-1 b a(x,+x2)-l a x,+a x7-1 .a x,x,X|+=-,XQ=-=-=-,CI X 2 1 ,Xg 0,所以解得x =2,x x 2由/#)=2a,得 x)的值域为上行,+0 0)当a0时，2 x 是增函数，是增函数，所以/(x)也是增函数，不合题意，舍去；X当0时，/(x)=2 x 是增函数，舍去；当a0时，同/(x)是一个对勾函数，单调性由勾底决定:在第一象限，勾底左边是递减的，要在(0,1 上递减，则这个区间要位于勾底左边勾底由2 x =-g求得，x =F，所以由户21,得 a-2,所以的取值范围为(-8,2 要在(0,1 上取得最大最小值，则对勾函数就不行了，因为对勾函数在0那是趋向于正无穷的即a 0 不可取；0时，-巴这个反比例函数在x 趋 于 0时;是趋向于负无穷的；也不可取X所以，a =Q ,/(x)-2x ,/(x)m a x =/(1)=2 ,/(x)m i n =/(设集合A=0,1B=,函数/(x)=I G AL2-I 2(1-x)x e B/e A 且/(x()e A则%的取值范围是(注:本题画图象解)若关于X 的不等式(2 x-1)2 0,x*0X对任意x e 1,2 ,都有/(x)g(x)恒成立，求实数a的取值范围;对任意X”限2 ,Z w 2,4 都有/(x j g(x 2)恒成立，求实数a的取值范围。

x2+1 2ax+a/xa(2x+1/x)x2+1a(x2+1)/(2x+1/x)x在 1,2)区间内以上函数递熠，则取x=1时，上式右式等于1,则 a0,则Ovag(x2)恒成立就是先求f(x府 1,2上的最小值和g(x府 2,41上的最大值，显然就是最大值为g(2)=a/2而f(x)最小值就要讨论啦,f(x)=(x-a)2+1-a2当 0aa/2解得a4/5于是 0a2.于是最小值就是f(2)=5-4a要满足5-4aa/2.解得aa/2解 得(-14艮号17)/4a(-1+根号1 7)/4于是 1va(-1+根号 17)/4综上所述就是a的范围是0a4/5Q1a(-1+根号17)M已知函数/(x)=l o g 2 1 1 f l的图象是一个中心对称图形，则/Q)图像的对称中心坐标为当为何值时，二次函数)=2/+5以+2 a的图象的顶点位置最高函数/的定义域为D,若 满 足 在D内是单调函数，存在卜力仁使/(x)在 上司上的值域为-b,-a,那么y =/(x)叫做对称函数，现有=7-A是对称函数，那么女的取值范围是考点：函数单调性的判断与证明；函数的定义域及其求法；函数的值域.专 题:新定义.分 析:函 数f(x)=V 2-x -k在 定 义 域(-8,2 上是减函数，由 可 得f (a)=-a,f (b)=-b,由 此 推 出a和b是方程J 2-x-k=-x在(-8,2 上的两个根.利用换元法，转化为，k=-t/t+2=-(t-1/2 )49/4在 0,的)有两个不同实根，解此不等式求得k的范围即为所求.解 答:解：由于f(x)=/2-x-k在(。

2 上是减函数，故满足，又f (x)在a,b 上的值域为二-b,-a,所以/2-a-k=-aJ 2-b-k=-b=a和b是关于x的方程A/2-x-k=-x在(-2_上有两个不同实根.令 t=J 2-x,则 x=2-t t0,/.k=-ts+t+2=-(t-1/2)：+9/4,二.k的取值范围是k 2,9/4),故答案为：2,9/4).点评:本题考查函数的单调性的应用，求函数的值域，体现了转化的数学思想,得到a和b是方程/2-x-k=-x在(-8,2 上的两个根，是解题的难点，属中档题.已知定义在(0,+8)上的函数/(X)为单调函数，且/(X)/(幻+l=1,则/(1)=L x_设 f(1 尸1则 f阳1 )+1/1=1 即)=1,f(t+1)=1/t又隼+i)F f(t+i)+”(t+i)=i,gpi/t*qi/t+i/(t+i)=igPHi/t+i/(t+i)=t又f(1)=t知f(1)=p/t+1/(t+1)，由f(x堤定义在(0,玩穷)上的单调函数知1/t+1/(t+1)=1gptA2-t-1=0解得:t=(1土 根 号5)/2(经检脸，当t=(1讨 艮 号5)寸，f(X)单减，当t=(14艮 号5)/2时，f(X谭增)已知函数/(x)在定义域(0,+8)上为单调函数，且对任意xe(O,+8),都有/=2,则X,T _ V 0的取值范围为a 0 ;周期函数；g(x)的圉像的折点的坐标均为整数;f(X)=x o g (x)=x+a(斜率为1;且其与 轴的交点的坐标为a)等价于以a为参敌的直线族1(a):y=x+a与g(x)的圉像交于两点，移动直线，可以断定箭足要求的a取值范围为上面所述；已知函数/(x)=/+ax+,若存在/(sin6)=/(cos。

)，则实数的取值范围为f(x)=xA2+a x+1,对称轴为*=旬2：t属于(TT/4,TT/2)s i n t/c o s t要满足f(s i n t尸f(c o s t),则s i n t,8 s t关 于 对 称s i n t+c o s t=-a a=s i n t+c o s t=2*s i n t*(2/2)+c o s t*(、2 2)=2,s i n t*c o s(i r/4)+c o s t*s i n(n/4)=M 2 s i n(t+T T/4)t属于(TT/4,TT/2)t+T T/4(T T/2,3 1 T/4)/.s i n(t+n/4)(2/2,1)-a=M 2 s i n(t+n/4)(1,2)/.a (-2,-1)已 知 定 义 在R上 的 函 数/(x)满 足 1)=1 ,/(l-x)=l-/(x),2/(x)=/(4 x),且当Ox,x2 J-1 /(x,)/(x2),则/(5)=f(O)+f(1)=得 f(0)=0f(1 /2)+f(1/2)=1,f(1/2)=1/2,f(1 /8)=1/4,f(1/3 2)=1/8f(1/4)=f(4*1/4)/2=1/2,f(1/1 6)=1/4,f(1/6 4)=1/8由 f(1/6 4)=f(1/3 3)=f(1/3 2)得 f(1/3 3)=1/8已知 实 数 分 别 满 足，3q2+5a=l,b3-3b2+5 b =5,则a+b的 值 为2解：由于已知的两个等式结构相似，因此可考虑构造函数将已知等式变形为(a +2(a 1)=2,仅J +2(b 1)=2构造函数f(x)=x3+2x/(一无)=一/)，/是 奇函数./)=31+20,/(x)单调递增，/(x)是一个单调递增的奇函数，因为/(a l)=_ 2,f(b-l)=2所 以，f(a-1)=-f(b-i)=f(l-b)从而有a-l=h-l t a +h =2已 知 关 于x的 一 元 二 次 方 程5 x 2-2 j px +5 q=0有 两 个 相 等 的 实 数 根，求 证：方程5 x2-2y 6px +5q =0的两实数根是X,X2,若|距|则-=关于X的一元二次方程x2+t x +a +2 +a-=0对任意aeR无实根，则实数t的取值范围是解：.x 2+tx+|a+2 1+|a-l 1=0对任意aW R无实根，/.A=t2-4 (|a+2|+|a-l|)0 t2|a+2+l-a|=3t2122 4 3 如 果 二 次 函 数 x)=x 2-(a-l)x +5在 区 间 上 是 增 函 数，求”2)的取值范围.、2 J 已知 x e0,l,则函数 y =J 7 T 5 J 1二 嚏 的 值 域 是 (V 2-1,V 3)利用函数的单调性求函数y =x +J l +2 x的值域。

求函数y =x-J l-2 x的值域已知关于x的一元二次方程5/-2后px +5 q=0有两个相等的实数根，求证：设方程/+px +q=0 两实根是的,乙，若 同 -2%的解集是(1,3)，若/(x)+6 o=0有两个相等的根，求/(尤)的解析式；若/(x)的最大值为正数，求的取值范围解：(D i S f(x)-a x2+b x +c不等式/(x)-l x 即为 ax?+b x +c -2x即 a x2+0+2)x +c 0 的解集为(1,3)，-a 0 a+6 +2 +c=0 (1)9a+3 0 +2)+c=O(2)又/(x)+6 a=0,即为a/+%c+c+6 a=0有两相等实根A =0 ,即从-4 a(c+6 a)=0 (3)-得c=3 a力=-4 a 2代入得(-4 a 2)2 4 a x 9a=0,即(4 a+2)2=(6 a)2a=1 (舍 去)或一,5b -,c -/(x)=-x2-X-5 5 5 5 5(2)由(1),y(x)=a x2+(-4 a-2)x +3 a -a x 一+3 a GD a )a又 一(x)的最大值为正数，即3 3+1)0,缶 3,(，(”0)3-2 a 0 ,或 a -3-2 已知函数/(x)=a/+6 x(。

/0)满足/=0且方程/()=有两个相等的实根求/J)的解析式；是 否 存 在 (加 )，使/(x)的定义域为 加 同 且值域为 2加,2?若存在，找出所有m.n；若不存在,请说明理由分 析 与 解：此 题 属 于“轴 定 区 间 动”型，常 规 思 路 是 根 据 对 称 轴 与 区 间 的 位 置 关 系，分三种情 况 讨 论，挖 掘 隐 含 条 件：函 数/(X)在 如 同 上的值域为 2 m,2 是函数/(X)在R上的值域的子集,可以避免分类讨论，/(x)=-i(x-l)2+l；由函数/(x)在R上的值域为(一8,；知 2 ,，n 0 时/(x)在 x=a 处取得极大值,因此，当a 0时如果0 a3,那么f(x)在区间 0,3 内有极大值/(a)=4/所以其在区间 0,3 内的最大值为f(0)=0,/=27(1-洲，/1)=4/三者中的最大值由于/(x)W 4恒成立，所以27(1-a)2 44/4 a =3,那 么 f(x)在区间 0,3 内的最大值为0 与 27(1-与 中的较大值,就是27(1-那 2,所以有27(1-a)A2=27*(3-1)A2=108 4,所以是不可能的，舍弃。

当 a0时,3 a 27(1-0)八 2=2 7 4,所以也是是不可能的，舍弃综上所述，a 的取值范围为1-2 3 W19h若函数/(x)=al n x +2a ,对任意的a e(1,。