(完整版)高一数学不等式解题技巧精析及针对练习题(含答案).pdf

基本不等式知识点：1.(1)若a,bR，则a2b2 2ab(2)若a,bR，则ab a2b22（当且仅当a b时取“=”）2.(1)若a,b R*，则a b2ab(2)若a,b R*，则a b 2 ab（当 且仅当a b时取“=”）(3)若a,b R*2，则ab a b (当且仅当a b时取“=”）23.若x 0，则x1x 2(当且仅当x 1时取“=”）若x 0，则x1x 2(当且仅当x 1时取“=”）若x 0，则x1x 2即x1x 2或x1x-2 (当且仅当a b时取“=”）4.若ab 0，则abba 2(当 且 仅 当a b时 取“=”）若ab 0，则abba 2即abba 2或abba-2 (当且仅当a b时取“=”）5.若a,bR，则(a b222a b2)2（当且仅当a b时取“=”）注意：(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”(2)求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用应用一：求最值应用一：求最值例：求下列函数的值域（1）y3x 2112x 2（2）yxx解：(1)y3x 212x 223x 212x 26值域为6，+）(2)当 x0 时，yx1x2x1x2；当 x0 时，yx11x=（xx）2x1x=2值域为（，22，+）解题技巧技巧一：凑项例已知x 5，求函数y 4x2144x5的最大值。

解：因4x5 0，所以首先要“调整”符号，又(4x2)14x5不是常数，所以对4x2要进行拆、凑项，x 54,54x 0，y 4x2114x5 54x54x3 231当且仅当54x 154x，即x 1时，上式等号成立，故当x 1时，ymax1技巧二：凑系数例：当时，求y x(82x)的最大值解析：由知，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值注意到2x(82x)8为定值，故只需将y x(82x)凑上一个系数即可当，即 x2 时取等号当 x2 时，y x(82x)的最大值为 8变式：设0 x 32，求函数y 4x(3 2x)的最大值解：0 x 323 2x 02y 4x(3 2x)22x(3 2x)22x 3 2x922当且仅当2x 3 2x,即x 340,32时等号成立技巧三：分离技巧四：换元例：求y x27x10 x1(x 1)的值域解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x1）的项，再将其分离当,即时,y 2（x1)4x15 9（当且仅当 x1 时取“”号）解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令 t=x1，化简原式在分离求最值。

y(t 1)27(t 1）+10t25t 44t=t t t5当,即 t=时,y 2 t4t5 9（当 t=2 即 x1 时取“”号）技巧五：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，结合函数f(x)xax的单调性2例：求函数y x 5的值域x24解：令x24 t(t 2)，则2y x 5x24 1xx24 t 1t(t 2)24因t 0,t11，但t 1tt解得t 1不在区间2,，故等号不成立，考虑单调性因为y t 1t在区间1,单调递增，所以在其子区间2,为单调递增函数，故y 52所以，所求函数的值域为5,2技巧六：整体代换多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错例：已知x 0,y 0，且1x9y1，求x y的最小值错解：x 0,y 0，且19y1，x y 1x9 xyx y 29xy2 xy 12故x ymin12错因：解法中两次连用均值不等式，在x y 2 xy等号成立条件是x y，在199等号成立条件是1xy 2xyx9y即y 9x,取等号的条件的不一致，产生错误因此，在利用均值不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。

正解：x 0,y 0,1x9y1，x y x y19 y9xxyxy10 61016当且仅当yx9xy时，上式等号成立，又1x9y1，可得x 4,y 12时，x ymin16技巧七例：已知x，y为正实数，且x 2y 2221，求x1y的最大值.分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式aba 2b 22同时还应化简1y2中y2前面的系数为112，x1y2x2y 222x1y 222下面将x，12y 22分别看成两个因式：1y 2x 2(1y 2x 2y 21x22 )222222234即x1y22 x1y 232242技巧八：已知a，b为正实数，2baba30，求函数y1ab的最小值.分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行302b302b2 b2法一：ab1，ab30bb1bb1由a0 得，0b15令tb+1，1t16，ab2t234t31t2（t16t）34t16t216t8t例：已知 a、b、cR，且abc 1。

求证：1 1 1 11118abcab18y当且仅当t4，即b3，a6 时，等号成立182 ab 30ab分析：不等式右边数字 8，使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个“2”连乘，又111abc2 bc，可由此变形入手aaaa解：a、b、cR，abc 1法二：由已知得：30aba2ba2b222 ab令uab则u222u300，52 u3218111abc2 bc同理1aaaaab32，ab18，y点评：本题考查不等式a b的应用、不等式的解法及运算ab（a,b R）212 ac12 ab，1上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得1bbcc（a,b R）能力；如何由已知不等式ab a2b30出发求得ab的范围，关键是寻找到a b与ab之间的关系，由此想到不等式1 1 1 12 bc 2 ac 2 ab当且仅当时取等a b c 111 83abcabc号a b，ab（a,b R）2这样将已知条件转换为含ab的不等式，进而解得ab的范围.技巧九、取平方例:求函数y 2x 152x(1 x 5)的最大值解析：注意到2x1与52x的和为定值22应用三：均值不等式与恒成立问题应用三：均值不等式与恒成立问题例：已知x 0,y 0且191，求使不等式x y m恒成立的实数m的取值xyy (2x152x)4 2(2x1)(52x)4(2x1)(52x)8又y 0，所以0 y 2 2当且仅当2x1=52x，即x 22范围。

解：令x y k,x 0,y 0,191xy，3时取等号故ymax 2 22应用二：利用均值不等式证明不等式应用二：利用均值不等式证明不等式x y9x9y10y9x1.1kxkykkxky1103 2k 16，m,16kk利用重要不等式放缩利用重要不等式放缩例例 设设S12 23 n(n1).求证求证n(n 1)(n 1)2n2 Sn2.解析解析此数列的通项为此数列的通项为akk(k 1),k 1,2,n.k k(k 1)k k 11，nnk S1n(k)，2 k 2k1k12即即n(n1)n(n1)22 Sn2n2(n12.注：注：应注意把握放缩的“度”应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式：上述不等式右边放缩用的是均值不等式ab a b，若放成若放成2k(k 1)k 1则得则得nS(n1)(n3)(n1)2n(k 1)，就就k122放过“度”了！放过“度”了！根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里na a211nana21 an1an1nna1an其中，其中，n 2,3等的各式及其变式公式均可供选用。

等的各式及其变式公式均可供选用应用四：均值定理在比较大小中的应用应用四：均值定理在比较大小中的应用例：若a b 1,P lgalgb,Q 12(lga lgb),R lg(a b2)，则P,Q,R的大小关系是.分析：a b 1lga 0,lgb 0Q 12（lga lgb)lgalgb pR lg(a b2)lgab 12lgab QRQP练习题练习题一、选择题一、选择题1、函数y log1x21的定义域是（）.2A、2,1 1,2B、2,1 1,2C、2,1 1,2D、2,1 1,22、若关于 x 的不等式|x+2|+|x1|a 的解集为,则 a 的取值范围是().A、(3,+)B、3,+C、(,3)D、(,3)3、不等式1x 11x21的解集为().A、(1，+)B、1，+)C、0，1(1，+)D、(1，0)(1，+)4、若关于x的不等式2x28x 4 a 0在1 x 4内有解，则实数a的取值范围是（）.A、a 4B、a 4C、a 12D、a 125、已知函数fx lg2xb（b 为常数），若x1,时，fx 0恒成立，则（）.A、b 1B、bb,则 ac2bc2;若 ab0,则ab+ba2;若a|b|,nN*,则anbn;若ab0,则acbcab;若 logab0,则a、b中至少有一个大于1.其中正确命题的个数为().A、2B、3C、4D、17、函数y 2(9x9x)12(3x3x)4的最小值为（）.A18B16C12D08、定义在R上的函数满足f(x)f(x 2)，当x3,5时，f(x)2 x4，则().Af(sin6)f(cos6)Bf(sin1)f(cos1)Cf(cos23)f(sin23)Df(cos2)f(sin2)9、函数y sin x22sin x的值域是().A(,22,)B(,11,)C(,5522,)DR10、已知f(x)log223x 2(x1,9),，则函数y f(x)f(x)的最大值是().A 13B 20C 18D 1611、已 知f(x)是 周 期 为 2 的 奇 函 数，当0 x1时，f(x)lgx.设a f(65),b f(32),c f(52),则().（A）a bc（B）b a c（C）c b a（D）c a b12、若关于的方程 x2(a2+b26b)x+a2+b2+2a4b+1=0 的两个实数根 x1，x2满足x10 x21，则 a2+b2+4a 的最大值和最小值分别为().A12和 5+4 5B.72和 5+4 5C.72和 12D.12和 154 5二、填空题二、填空题xay 1 013、已知实数x,y满足约束条件2x y 0aR，目标函数z x2y只有x 1当x 1时取得最大值，则 a 的取值范围是y 014、若x2y30，则x12y22的最小值是15、记 mina,b为 a、b 两数的最小值,当正数 x、y 变化时,t=minx,yx2 y2也在变化,则 t 的最大值为_.16、一批货物随17 列货车从 A 市以 v km/h 的速度匀速直达 B 市。

已知两地铁路线长 400 km，为了安全，两列货车的间距不得小于(v220)km（货车长度忽略不计），那么这批货物全部运到B 市最快需要小时？三、解答题三、解答题17、解关于x的不等式ax23x 1 018、某工厂去年的某产品的年产量为 100 万只，每只产品的销售价为 10 元，固定成本为 8 元今年，工厂第一次投入 100 万元（科技成本），并计划以后每年比上一年多投入 100 万元（科技成本），预计产量年递增 10 万只，第 n 次投入后，每只产品的固定成本为g(n)kn1（k0，k 为常数，nZ Z且 n0），若产品销售价保持不变，第n 次投入后的年利润为f(n)万元（1）求 k 的值，并求出f(n)的表达式；（2）问从今年算起第几年利润最高?最高利润为多少万元?19、已知不等式x23x t。