2021年高考数学真题和模拟题分类汇编专题18坐标系与参数方程【含答案】.docx

专题18 坐标系与参数方程解答题1.(2021•高考全国甲卷•理T22)在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．（1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点A的直角坐标为，M为C上的动点，点P满足，写出Р的轨迹的参数方程，并判断C与是否有公共点．（1）由曲线C的极坐标方程可得，将代入可得，即，即曲线C的直角坐标方程为；（2）设，设，，则，即，故P的轨迹的参数方程为（为参数）曲线C的圆心为，半径为，曲线的圆心为，半径为2，则圆心距为，，两圆内含，故曲线C与没有公共点.2.(2021•高考全国乙卷•文T22)在直角坐标系中，的圆心为，半径为1．（1）写出的一个参数方程;（2）过点作的两条切线．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程．（1）由题意，的普通方程为，所以的参数方程为，（为参数）（2）由题意，切线的斜率一定存在，设切线方程为，即，由圆心到直线的距离等于1可得，解得，所以切线方程为或，将，代入化简得或.3.(2021•河南郑州三模•理T22) 在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为ρcos（）＝，曲线C的极坐标方程为ρ2（1+3sin2θ）＝4．（Ⅰ）写出直线l和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）已知点A（1，0），若直线l与曲C线交于P，Q两点，PQ中点为M，求的值．（1）直线的极坐标方程为ρcos（）＝，整理得ρcosθ﹣ρsinθ﹣1＝0，根据，转换为直角坐标方程为x﹣y﹣1＝0．曲线C的极坐标方程为ρ2（1+3sin2θ）＝4．根据，转换为直角坐标方程为．（2）把直线方程x﹣y﹣1＝0转换为参数方程为（t为参数），代入直角坐标方程为．得到，点P和Q对应的参数为t1和t2，所以，，点M对应的参数为故＝．4.(2021•河南开封三模•文理T22)已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设点P（0，2），若直线l与曲线C交于不同的两点A，B，求|PA|+|PB|的取值范围．（1）曲线C的极坐标方程为，整理得ρ2+2ρ2sin2θ＝3，根据，整理得x2+3y2＝3，化简得曲线C的直角坐标方程为．（2）联立直线l的参数方程与曲线C的直角坐标方程得：（tcosα）2+3（2+tsinα）2＝3，化简得（1+2sin2α）t2+12tsinα+9＝0，则，，且△＝144sin2α﹣36（1+2sin2α）＞0，2sin2α﹣1＞0，则有，则，令，有，所以|PA|+|PB|的取值范围为．5.(2021•河南焦作三模•理T22)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（φ为参数），直线l的参数方程为（t为参数，0≤α＜π）．（Ⅰ）若曲线C与y轴负半轴的交点在直线l上，求α；（Ⅱ）若tanα＝，求曲线C上与直线l距离最大的点的坐标．（Ⅰ）曲线C的参数方程为（φ为参数），转换为直角坐标方程为．曲线C与y轴的负半轴交于点（0，﹣1），由于直线l的参数方程为（t为参数，0≤α＜π），所以直线l恒过点（1，0）．所以直线的斜率k＝1，即tanα＝1，整理得．（Ⅱ）若tanα＝，所以直线的l的普通方程为，即，曲线C上的点到直线l的距离d＝＝，当（k∈Z），所以，即，，故P（）．6.(2021•四川内江三模•理T22．)在直角坐标系xOy中，直线的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，曲线C的极坐标方程为．（1）求曲线C的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；（2）设直线l与曲线C交于A，B两点，若点P的直角坐标为（1，0）时，|PA|+|PB|的值．（1）曲线C2：，可以化为，ρ7＝2ρcosθ﹣2ρsinθ，因此，曲线C的直角坐标方程为x3+y2﹣2x+2y＝0…它表示以（7，﹣1）为圆心、．（2）当时，直线的参数方程为点P（1，0）在直线上，把代入x2+y2﹣2x+2y＝6中得…设两个实数根为t8，t2，则A，B两点所对应的参数为t1，t8，则，t1t2＝﹣5…∴…7.(2021•安徽蚌埠三模•文T22．)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为，（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2asinθ（a＞0），曲线C与l有且只有一个公共点．（1）求实数a的值；（2）若A，B为曲线C上的两点，且∠AOB＝，求|OA|•|OB|的最大值．（1）直线l的参数方程为，（t为参数），转换为普通方程为．曲线C的极坐标方程为ρ＝2asinθ（a＞0），根据，转换为直角坐标方程为x2+（y﹣a）2＝a2，因为曲线C与l有且只有一个公共点所以圆心（0，a）到直线的距离d＝．解得a＝1，故a＝1．（2）设A（ρ1，θ），B（），所以|OA||OB|＝＝|1+2sin（2）|≤3，当时，|OA|•|OB|的最大值为3．8.(2021•贵州毕节三模•文T22．)如图，在极坐标系Ox中，，弧，弧，弧所在圆的圆心分别是，曲线C1是弧，曲线C2是弧，曲线C3是弧，曲线C：f（ρ，θ）＝0（0≤θ＜2π）由C1，C2，C3构成．（Ⅰ）写出曲线C的极坐标方程，并求曲线C与直线所围成图形的面积；（Ⅱ）若点M在曲线C上，且，求点M的极坐标．（1）在极坐标系Ox中，，弧，弧，弧所在圆的圆心分别是，曲线C的极坐标方程为．所围成的图形即为两个四分之一圆、一个半圆和一个矩形所组成，所以面积为：．（2）设曲线C上一点P（ρ，θ），由题设若，由，得，；若或，由，得，或；若，由，得，；∴点M的极坐标为：．9.(2021•河南济源平顶山许昌三模•文T22．)已知在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数）．以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos（θ+）＝1．（1）求曲线C和直线l的直角坐标方程；（2）若直线l交曲线C于A，B两点，交x轴于点P，求的值．（1）曲线C的参数方程为（t为参数）．转换为直角坐标方程为x2﹣4y2＝1（x≠﹣1），直线l的极坐标方程为ρcos（θ+）＝1．根据，转换为直角坐标方程为．（2）直线l交交x轴于点P，所以P（2，0），所以直线的参数方程为（t为参数），把直线我的参数方程代入x2﹣4y2＝1，得到，故，t1t2＝﹣12，所以＝．10.(2021•四川泸州三模•理T22．)在平面直角坐标系中，圆C1的参数方程为（φ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ，记圆C1与圆C2异于原点的交点为A．（Ⅰ）求点A的极坐标；（Ⅱ）若过点A的直线l分别交圆C1和C2于M、N两点，求|MN|的最大值．（Ⅰ），圆C1的参数方程为（φ为参数），转换为普通方程为；根据，转换为极坐标方程为，圆C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ，由，解得，所以，，故A（）（k∈Z）．设直线的倾斜角为α，则直线的参数方程为（t为参数），代入圆C1的普通方程为；故，所以，将直线的参数方程为（t为参数），代入圆C2的普通方程x2+y2﹣2y＝0，得到，所以，建立方程组，解得，，所以|MN|＝|tM﹣tN|＝，当时，|MN|的最大值为4．11.(2021•宁夏中卫三模•理T22．)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（φ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcosθ+2＝0．（1）求曲线C1的极坐标方程并判断C1，C2的位置关系；（2）设直线θ＝α（，ρ∈R）分别与曲线C1交于A，B两点，与C2交于点P，若|AB|＝3|OA|，求|OP|的值．（1）由曲线C1得：，平方相加得（x﹣3）2+y2＝5，即x2+y2﹣6x+4＝0，又ρ2＝x2+y2，x＝ρcosθ，得曲线C1的极坐标方程为ρ2﹣6ρcosθ+4＝0．联立，得ρ2+16＝0，此方程无解，∴C1，C2相离；（2）由，得ρ2﹣6ρcosα+4＝0．∵直线θ＝α与曲线C1有两个交点A，B，∴△＝36cos2α﹣16＞0，即．设方程的两根分别为ρ1，ρ2，则，①∵|AB|＝3|OA|，∴|OB|＝4|OA|，即ρ2＝4ρ1，联立①式解得ρ1＝1，ρ2＝4，，满足△＞0，联立，∴．12.(2021•江西南昌三模•理T22．)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为：（α为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为：θ＝θ0（θ0∈[0，π），ρ∈R）．（Ⅰ）求曲线C1的极坐标方程；（Ⅱ）设A，B是曲线C1、C2的公共点，若，求曲线C2的直角坐标方程．（Ⅰ）曲线C1的参数方程为：（α为参数），整理得曲线C1的直角坐标方程为x2+y2﹣2x﹣3＝0，根据，曲线C1的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ﹣3＝0．（Ⅱ）因为曲线C2的极坐标方程为θ＝θ0，由，得到ρ2﹣2ρcosθ0﹣3＝0，设|OA|＝|ρA|，|OB|＝|ρB|，则ρA+ρB＝2cosθ0，ρA⋅ρB＝﹣3，则ρA，ρB异号，不妨设ρA＞0，ρB＜0，则，所以，则cosθ0＝±1，因为θ0∈[0，π），所以θ0＝0，所以曲线C2的直角坐标方程为y＝0．13.(2021•江西上饶三模•理T22．)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1是过点P（3，0）且倾斜角为α的直线，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ﹣2sinθ．（1）求曲线C1的参数方程及曲线C2的直角坐标方程；（2）设曲线C1、C2交于A，B两点，求当最大时，曲线C的直角坐标方程．（1）曲线C1是过点P（3，0）且倾斜角为α的直线，转换为参数方程为（α为参数）．曲线C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ﹣2sinθ．根据，转换为直角坐标方程为（x﹣2）2+（y+1）2＝5．（2）把直线的参数方程代入（x﹣2）2+（y+1）2＝5，得到t2+2（cosα+sinα）t﹣3＝0，故t1+t2＝﹣2（sinα+cosα），t1t2＝﹣3，所以＝，当时，．14.(2021•安徽宿州三模•文理T22．)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为：（α为参数），已知直线l1：x﹣y＝0，直线l2：x+y＝0，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C以及直线l1，l2的极坐标方程；（Ⅱ）若直线l1与曲线C分别交于O、A两点，直线l2与曲线C分别交于O、B两点，求△AOB的面积．（Ⅰ）依题意，由曲线C的参数方程（α为参数）消参得（x﹣2）2+y2＝4，故曲线C的普通方程为x2+y2﹣4x＝0．根据，∴曲线C的极坐标方程为：ρ＝4cosθ．直线l1的极坐标方程分别为（ρ∈R），直线l2和的极坐标方程为．（Ⅱ）把代入ρ＝4cosθ，得，所以A（2），把代入ρ＝4cosθ，得ρ2＝﹣2，所以B（2，）．所以．15.(2021•安徽马鞍山三模•文理T22．)平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）以坐标原点O为极点，x轴的正半轴。