新高考数学二轮复习解析几何专题讲与练第7讲弦长与面积最值问题(教师版).doc

第7讲 弦长与面积问题一、问题综述：在直线与二次曲线相交的模型中，弦长和面积是最基本的几何量，也是考察几何图形分析和代数运算最常建立起来的运算式考察方向比较复杂多变知识要点：弦长问题：在直线与椭圆相交，以及直线与双曲线相交，求弦长问题研究过程中，可通过直线与已知二次曲线联立，借助韦达定理得到两根关系，从而进行研究.设直线，上两点，则 设直线，上两点，则①特殊地：在直线与圆问题中：弦长公式经常用：②特殊地：椭圆中焦点三角形面积：（其中）证明：由于且故故因为，所以.③特殊地：双曲线中焦点三角形面积：（其中）③特殊地：在直线与抛物线问题中：设抛物线方程：，过焦点的直线（斜率存在且），对应倾斜角为，与抛物线交于联立方程：，整理可得：（1）， （2）（几何法亦可证明） （3）二、典例分析类型一：圆中的弦长问题模型1：特殊三角形、特殊位置【例1-1-1】（2012天津）在平面直角坐标系中，直线与圆相交于两点，则弦的长等于（ ）A． B． C． D．1解析：圆的圆心到直线的距离，由内角为30°，60°，90°的三角形边长比为知：弦长．【解后反思】圆中三类特殊三角形：等腰直角、等边、含30°角的直角三角形可以帮助简化运算，熟练记忆掌握，会让运算效率高很多。

例1-1-2】（2012湖北）过点的直线，将圆形区域分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为（ ）A． B． C． D．解析：要使直线将圆形区域分成两部分的面积之差最大，必须使过点的圆的弦长达到最小，所以需该直线与直线垂直即可.又已知点，则,故所求直线的斜率为1.又所求直线过点，故由点斜式得，所求直线的方程为，即．故选A．【解后反思】圆中的动态问题，可考虑找特殊位置、极限位置，先定位置再分析，可以事半功倍.【例1-1-3】设,若直线与轴相交于点,与轴相交于,且与圆相交所得弦的长为2,为坐标原点,则面积的最小值为_________.解析：直线与两坐标轴的交点坐标为,直线与圆相交所得的弦长为2,圆心到直线的距离满足,所以,即圆心到直线的距离,所以.三角形的面积为,又,当且仅当时取等号,所以最小值为.【解后反思】双参数问题的研究过程中，除了定量运算外，也可以考虑极限和特殊位置进行分析求解 模型2：几何法（）【例1-2-1】若直线过点，且被圆截得的弦长为2，求直线的方程解答：①当直线斜率不存在时，，联立方程：弦长为2，符合题意.②当直线斜率存在时，设由弦长为2和可得：，解得：综上所述：的方程为和【解后反思】在设直线方程求解时，一定要考虑先特殊后一般防止漏解。

例1-2-2】已知圆，直线经过点，若对任意的实数，直线被圆截得的弦长都是定值，则直线的方程为________解答：圆标准方程：，圆心为，半径为，可知在直线点到直线的距离，所以过且与平行的直线与圆相交，因为圆的半径，所以截得的弦长为定值所以，即【解后反思】解析几何的含参问题，在动态变化过程中，要考虑有不变量本题圆心横纵坐标有线性相等关系，所以圆的圆心轨迹为直线，而圆半径为定值，固可求解本题亦可特殊化处理，令，进行求解.【例1-2-3】在平面直角坐标系中，已知圆，点是轴上的一个动点，分别切圆于两点，则弦长的取值范围是（ ）A. B. C. D. 解答：如图设交于，则有，只需确认的范围即可，由圆方程可得，设，所以，在中，可得：，所以，下面确定的范围设，因为，所以，从而解得则类型二：椭圆和双曲线中的弦长问题【例2-1】过椭圆的右焦点作两条相互垂直的直线分别交椭圆于四点，则的值为（ ）A. B. C. D. 解析：①若分别与坐标轴平行，不妨设轴，则 因为 为长轴长，即 ②当斜率均存在时，设斜率为，由可得斜率为 设，联立 得：，整理后为： 设，，同理只需用替换中的即可 综上所述：【解题反思】反设直线和特殊化解决小题会更加轻松.【例2-2】已知长轴为12，短轴长为6，焦点在轴上的椭圆，过它对的左焦点作倾斜解为的直线交椭圆于两点，求弦的长．解：【解析法】．因为，，所以．因为焦点在轴上，所以椭圆方程为，左焦点，从而直线方程为．由直线方程与椭圆方程联立得：．设，为方程两根，所以，，， 从而【定义法】由题意可知椭圆方程为，设，，则，．在中，，即；所以．同理在中，用余弦定理得，所以【解题反思】多考虑题目中未知参量所满足的等量关系，进行求解.不要局限于一题一解。

类型三：抛物线中的弦长问题【例3-1】（2015浙江）如图，设抛物线的焦点为，不经过焦点的直线上有三个不同的点，其中点在抛物线上，点在轴上，则与的面积之比是（ ）A． B． C． D． 解析：如图，，故选A．【解题反思】抛物线中，焦半径的长度受横坐标影响解题时，首先想定义例3-2】（2017新课标1）已知为抛物线的焦点，过作两条互相垂直的直线，直线与交于，直线与交于、，则最小值为（ ）A．16 B．14 C．12 D．10解析：【方法一】由已知垂直于轴是不符合题意，所以的斜率存在设为，的斜率为，由题意有，设，，，此时直线方程为，取方程，得，∴同理得 由抛物线定义可知当且仅当（或）时，取得等号．【方法二】设倾斜角为．作垂直准线，垂直轴，易知，，同理，，，又与垂直，即的倾斜角为，，而，即．，当且仅当取等号，即最小值为，故选A；【方法三】依题意知：，，由柯西不等式知：，当且仅当取等号.【解题反思】抛物线中研究弦长，可采取正设直线、反设直线、定义转化、角度参数、巧记结论等方法.【例3-3】已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．（1）若，求l的方程；（2）若，求．解析：设直线．（1）由题设得，故，由题设可得．由，可得，则．从而，得．所以的方程为．（2）由可得．由，可得．所以．从而，故．代入的方程得．故．类型四：圆中的面积最值问题【例4-1】(2018全国卷Ⅲ)直线分别与轴，轴交于两点，点在圆上，则面积的取值范围是（ ）A． B． C． D．解析：圆心到直线的距离，所以点到直线的距离．据直线的方程可知，两点的坐标分别为，，所以，所以的面积．因为，所以，即面积的取值范围是．故选A．【例4-2】（2014江西）在平面直角坐标系中，分别是轴和轴上的动点，若以为直径的圆与直线相切，则圆面积的最小值为A． B． C． D．解析：由题意可知以线段为直径的圆C过原点，要使圆的面积最小，只需圆的半径或直径最小．又圆与直线相切，所以由平面几何知识，知圆的直径的最小值为点到直线的距离，此时，得，圆的面积的最小值为．类型五：椭圆和双曲线中的面积最值问题【例5-1】以椭圆的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线，其左右焦点分别为，已知点的坐标为，双曲线上点满足，则等于（ ）A. B. C. D. 解析：可先利用椭圆确定双曲线方程及其焦点坐标，的顶点为，即为的坐标，椭圆的焦点为，所以双曲线中，进而观察可联想到投影，即在的投影与在的投影相等，由几何关系可得为的角平分线。

由可得，即平分，从而为的内心，且内切圆半径从而【例5-2】已知点为双曲线右支上一点，分别是双曲线的左右焦点，且，为三角形的内心，若成立，则的值为（ ）A. B. C. D. 解析：由三角形内心的性质可得到三边的距离相等，所以的高均为，从而，即，所以只需利用确定的关系即可解析：为三角形的内心 在双曲线上，且是焦点 即为离心率由可得：，两边同时除以得：，解得 即【例5-3】已知椭圆的左、右焦点分别为、， 为椭圆上一点，且，若的面积为9，则__________．解析：方法一：根据椭圆定义，则 ，又根据勾股定理： ，有，则.方法二：由椭圆的焦点三角形面积公式知：，故【例5-4】双曲线C：=1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若，则△PFO的面积为（ ）A． B． C． D．解析：由，又P在C的一条渐近线上，不妨设为在上，则，，故选A．【例5-5】(2014新课标1) 已知点，椭圆：的离心率为，是椭圆的右焦点，直线的斜率为，为坐标原点．（1)求的方程；（2）设过点的动直线与相交于两点，当的面积最大时，求的方程．解析：(1) 设，由条件知，得，又，所以， ,故的方程.（2）依题意当轴不合题意，故设直线l：，设 将代入，得，当，即时，，从而，= +又点到直线的距离，故 ，设，则，，当且仅当，等号成立，且满足，所以当的面积最大时，的方程为： 或. 【例5-6】（2015山东）平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率为，左、右焦点分别是、．以为圆心以3为半径的圆与以为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆：，为椭圆上任意一点，过点的直线 交椭圆于两点，射线交椭圆于点．( i )求的值；（ii）求△面积的最大值．解析：（1）由题意知，则，又，，可得，所以椭圆的方程为．（2）由（I）知椭圆的方程为．（i）设，由题意知，因为，又，即，所以，即．（ii）设，将代入椭圆的方程，可得，由，可得 ，则有，所以．因为直线与轴交点的坐标为，所以的面积令，将代入椭圆的方程，可得 ，由，可得 ，由①②可知 ，因此，故 ，当且仅当时，即时取得最大值，由（i）知，面积为，所以面积的最大值为．【5-7】已知椭圆的离心率为，过右焦点的直线与相交于两点，当的斜率为时，坐标原点到的距离为（1）求椭圆的方程（2）若是椭圆上的四点，已知与共线，与共线，且，求四边形面积的最小值解：（1），设，则（2）由（1）可得：，因为设，，联立方程可得：，消去可得：整理后可得： ①设，以替换①中的可得： 设，可得时，【5-9】（2019全国卷2理）已知点A(−2，0)，B(2，0)，动点M(x，y)满足直线AM与BM的斜率之积为−.记M的轨迹为曲线C.（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G.（i）证明：是直角三角形；（ii）求面积的最大值.解析：（1）由题设得，化简得，所以C为中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆，不含左右顶点．（2）（i）设直线PQ的斜率为k，则其方程为．由得．记，则．于是直线的斜率为，方程为．由得．①设，则和是方程①的解，故，由此得．从而直线的斜率为．所以，即是直角三角形．（ii）由（i）得，，所以△PQG的面积．设t=k+，则由k>0得t。