第5章第3节函数的升降、凸性与极值课件.ppt

5.3.函数的升降、凸性与极值函数的升降、凸性与极值数形结合数形结合 本节内容本节内容 本节综合运用导数研究函数性态本节综合运用导数研究函数性态 1.函数的单调性函数的单调性(升降性升降性.增减性增减性)2.函数的极大值函数的极大值.极小值极小值(极值极值)3.函数的最大值函数的最大值.最小值最小值(最值最值)4.函数的凹凸性及拐点函数的凹凸性及拐点(凸性凸性)10/3/202215.3.函数的升降、凸性与极值函数的升降、凸性与极值数形结合数形结合一、函数的上升与下降（单调性）一、函数的上升与下降（单调性）ooabab 从导数的几何意义考察函数的单调性：观察在从导数的几何意义考察函数的单调性：观察在(a,b)区间内导数的符号正负与函数的单调性变化关系区间内导数的符号正负与函数的单调性变化关系情况情况10/3/202225.3.函数的升降、凸性与极值函数的升降、凸性与极值数形结合数形结合Th.Th.1 1 （导数的正负与函数升降的关系导数的正负与函数升降的关系）证明：(必要性)由导数定义和极限保号性、(略)(充分性)任取 由中值定理可证.推论：推论：推论：推论：（严格单调的充分条件严格单调的充分条件严格单调的充分条件严格单调的充分条件）若f(x)在a,b连续，在(a,b)可导，且 不变号，则10/3/202235.3.函数的升降、凸性与极值函数的升降、凸性与极值数形结合数形结合注1.Th.1 表明，讨论可导函数的单调性，只须判别表明，讨论可导函数的单调性，只须判别 其导数的符号即可，其步骤是其导数的符号即可，其步骤是:确定 的定义域定义域；求 ，令 求出分界点分界点；用分界点将定义域分成若干个开区间；判别 在每个开区间内的符号符号，即可 确定 的严格单调性单调性（严格单调区间）.10/3/202245.3.函数的升降、凸性与极值函数的升降、凸性与极值数形结合数形结合例1.讨论 的上升、下降情况.解：解：该函数的定义域是 R.由它们将 R 分成三个区间：xy+y加题加题10/3/202255.3.函数的升降、凸性与极值函数的升降、凸性与极值数形结合数形结合例2.解：定义域是 R.由现列表讨论如下：xy+y讨论讨论的单调性的单调性.加题加题10/3/202265.3.函数的升降、凸性与极值函数的升降、凸性与极值数形结合数形结合Th.2（不等式定理不等式定理不等式定理不等式定理）若 f(x)与 g(x)满足条件：(1)在a,b上可导;注注2.利用函数的升降性及其导数之间的关系来证明不等式利用函数的升降性及其导数之间的关系来证明不等式yxMoax b扩展扩展10/3/202275.3.函数的升降、凸性与极值函数的升降、凸性与极值数形结合数形结合Th.2 若F(x)满足证明：证明：10/3/202285.3.函数的升降、凸性与极值函数的升降、凸性与极值数形结合数形结合例3.证明证明：证明：从而得证.单调增加单调增加单调减少单调减少加题加题10/3/202295.3.函数的升降、凸性与极值函数的升降、凸性与极值数形结合数形结合例例4.证明：证明：10/3/2022105.3.函数的升降、凸性与极值函数的升降、凸性与极值数形结合数形结合证毕证毕证毕证毕10/3/2022115.3.函数的升降、凸性与极值函数的升降、凸性与极值数形结合数形结合例5.证明方程证明：证明：10/3/2022125.3.函数的升降、凸性与极值函数的升降、凸性与极值数形结合数形结合二、函数的极值二、函数的极值1.DefDef（局部极值局部极值）10/3/2022135.3.函数的升降、凸性与极值函数的升降、凸性与极值数形结合数形结合o abxy注注3.函数的极值的局部性.定义中可以有10/3/2022145.3.函数的升降、凸性与极值函数的升降、凸性与极值数形结合数形结合直觉直觉:函数的极值可能在驻点或导数不存在的点处取得函数的极值可能在驻点或导数不存在的点处取得.驻点或导数不存在的点统称为驻点或导数不存在的点统称为临界点临界点（极值可疑点极值可疑点）.10/3/2022155.3.函数的升降、凸性与极值函数的升降、凸性与极值数形结合数形结合结论结论:oxyy=2xy=x1.2.10/3/2022165.3.函数的升降、凸性与极值函数的升降、凸性与极值数形结合数形结合Th.3 （极值的必要条件）极值的必要条件）由此求出可能使由此求出可能使 f(x)取极值的点之后，如何取极值的点之后，如何判定它是取极大值还是极小值呢？判定它是取极大值还是极小值呢？图示可见图示可见,由导数符号由导数符号可判定极大极小值可判定极大极小值点点.xyoyxo极值可疑点极值可疑点10/3/2022175.3.函数的升降、凸性与极值函数的升降、凸性与极值数形结合数形结合Th.4 （极值判别法之一）充分条件极值判别法之一）充分条件10/3/2022185.3.函数的升降、凸性与极值函数的升降、凸性与极值数形结合数形结合x 取局部极小值取局部极小值 取局部极大值取局部极大值 不取局部极值不取局部极值 不取局部极值不取局部极值证明：证明：由函数的升降性及极值定义得到由函数的升降性及极值定义得到.列表如下：列表如下：10/3/2022195.3.函数的升降、凸性与极值函数的升降、凸性与极值数形结合数形结合注注4.10/3/2022205.3.函数的升降、凸性与极值函数的升降、凸性与极值数形结合数形结合Th.5（极值判别法之二）充分条件极值判别法之二）充分条件证明：证明：由二阶导数定义及极限保号性、由二阶导数定义及极限保号性、Th4得证得证.10/3/2022215.3.函数的升降、凸性与极值函数的升降、凸性与极值数形结合数形结合Th.5(1)(2)定理定理5是定理是定理5的特殊情形的特殊情形.扩充内容扩充内容10/3/2022225.3.函数的升降、凸性与极值函数的升降、凸性与极值数形结合数形结合证明：证明：根据根据Taylor公式公式,有有证毕证毕10/3/2022235.3.函数的升降、凸性与极值函数的升降、凸性与极值数形结合数形结合例例6.解：解：现列表讨论如下：现列表讨论如下：(以这两个点划分以这两个点划分R)即驻点和不可导点分别为即驻点和不可导点分别为:yxo10/3/2022245.3.函数的升降、凸性与极值函数的升降、凸性与极值数形结合数形结合x0y+不存在0+y 10/3/2022255.3.函数的升降、凸性与极值函数的升降、凸性与极值数形结合数形结合例7.解：解：加题加题10/3/2022265.3.函数的升降、凸性与极值函数的升降、凸性与极值数形结合数形结合例8.解：解：加题加题10/3/2022275.3.函数的升降、凸性与极值函数的升降、凸性与极值数形结合数形结合三、函数的最大值和最小值三、函数的最大值和最小值最大、最小、最省的问题最大、最小、最省的问题如何求出函数在某区间上的最大值和最小值？如何求出函数在某区间上的最大值和最小值？最大值、最小值问题最大值、最小值问题yxaOb10/3/2022285.3.函数的升降、凸性与极值函数的升降、凸性与极值数形结合数形结合注注1：函数在某一区间上的最大值和最小值函数在某一区间上的最大值和最小值,也叫也叫全局极值全局极值.可导函数在可导函数在a,b上的最大、最小值的求解步骤：上的最大、最小值的求解步骤：注注2：10/3/2022295.3.函数的升降、凸性与极值函数的升降、凸性与极值数形结合数形结合例9.解：解：所以函数的最大值是0,最小值是2.例10.某生产队要建造一个体积为某生产队要建造一个体积为 50 立方米立方米的有盖圆柱形氨水池的有盖圆柱形氨水池.问这个氨水池的高和问这个氨水池的高和底半径取多大时，用料最省？底半径取多大时，用料最省？解：解：用料最省就是要求氨水池的表面积最小表面积最小.设氨水池的底半径是 r,高是 h,它 的表面积hrO10/3/2022305.3.函数的升降、凸性与极值函数的升降、凸性与极值数形结合数形结合目标函数目标函数10/3/2022315.3.函数的升降、凸性与极值函数的升降、凸性与极值数形结合数形结合用V50立方米代入，得到 答：当圆柱形氨水池的高和直径相等时，用料最省。

答：当圆柱形氨水池的高和直径相等时，用料最省这时相应的高为这时相应的高为10/3/2022325.3.函数的升降、凸性与极值函数的升降、凸性与极值数形结合数形结合弧度弧度弧长弧长10/3/2022335.3.函数的升降、凸性与极值函数的升降、凸性与极值数形结合数形结合目标函数目标函数常常数数10/3/2022345.3.函数的升降、凸性与极值函数的升降、凸性与极值数形结合数形结合四、函数的凸性四、函数的凸性是描述函数性状（是描述函数性状（弯曲方向弯曲方向）的一个更深入的概念）的一个更深入的概念.例如：例如：yxo10/3/2022355.3.函数的升降、凸性与极值函数的升降、凸性与极值数形结合数形结合上凸上凸(下凹下凹)下凸下凸(上凹上凹)几何角度：几何角度：几何角度：几何角度：xyoxyo10/3/2022365.3.函数的升降、凸性与极值函数的升降、凸性与极值数形结合数形结合1.1.Def（函数的凸性）（函数的凸性）10/3/2022375.3.函数的升降、凸性与极值函数的升降、凸性与极值数形结合数形结合注：函数的凹凸性，下凸即是上凹注：函数的凹凸性，下凸即是上凹.10/3/2022385.3.函数的升降、凸性与极值函数的升降、凸性与极值数形结合数形结合2.2.函数的凸性与其导数的关系函数的凸性与其导数的关系Th.6证明证明：由由Lagrange公式，得：公式，得：事实上事实上10/3/2022395.3.函数的升降、凸性与极值函数的升降、凸性与极值数形结合数形结合其中，由得 上凸，故 下凸.10/3/2022405.3.函数的升降、凸性与极值函数的升降、凸性与极值数形结合数形结合DefDef:若曲线若曲线 在其上一点在其上一点 的的一侧为上凸，另一侧为下凸，则称此点为曲线一侧为上凸，另一侧为下凸，则称此点为曲线 的的拐点拐点.(曲线上使凸凹性改变的点曲线上使凸凹性改变的点)xyoy=f(x)10/3/2022415.3.函数的升降、凸性与极值函数的升降、凸性与极值数形结合数形结合注注：yxo10/3/2022425.3.函数的升降、凸性与极值函数的升降、凸性与极值数形结合数形结合 求求 ；令令 ，求解，并划分，求解，并划分f(x)的定义域为若干的定义域为若干 个开区间个开区间.判别判别 在每个开区间的符号在每个开区间的符号.设设 ,列表讨论如下：列表讨论如下：3.3.讨论讨论 f(x)的凸性及拐点的步骤的凸性及拐点的步骤x（上凸）0（下凸）是拐点是拐点（下凸）0（上凸）是拐点是拐点（下凸）0（下凸）不不 是是（上凸）0（上凸）拐拐 点点注：对注：对 不存在的点亦可类似讨论不存在的点亦可类似讨论.10/3/2022435.3.函数的升降、凸性与极值函数的升降、凸性与极值数形结合数形结合例1.讨论 的凸性及拐点.解：解：xyo1x00不存在y上凸上凸拐点拐点下凸下凸非拐点非拐点下凸下凸10/3/2022445.3.函数的升降、凸性与极值函数的升降、凸性与极值数形结合数形结合例2.解：解：其定义域是 R.由xyo11-1-1x100y极小值极小值1极大值极大值 1驻点驻点升降性与极值性升降性与极值性10/3/2022455.3.函数的升降、凸性与极值函数的升降、凸性与极值数形结合数形结合又列表如下：x0000 上凸上凸拐点拐点下凸下凸拐点拐点上凸拐点拐点下凸下凸注意注意:拐点是曲线上使曲线弯曲方向发生改变的点拐点是曲线上使曲线弯曲方向发生改变的点凹凸性与拐点凹凸性与拐点10/3/2022465.3.函数的升降、凸性与极值函数的升降、凸性与极值数形结合数形结合x0100000上上凸凸拐拐点点下下凸凸极极小小下下凸凸拐拐点点上上凸凸极极大大上上凸凸拐拐点点下下凸凸统一列表如下统一列表如下:合二为一合二为一10/3/202。