2022版人教A版数学选择性必修第一册全册分课时教学案（共30课时）.pdf

第一章空间向量与立体几何1.1 空间向量及其运算1.1.1 空间向量及其线性运算素养目标定方向课程标准学法解读1.了解空间向量的概念.2.掌握空间向量的线性运算.1.了解空间向量的概念.（数学抽象）2.经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程.（逻辑推理）3.掌握空间向量线性运算的法则和运算律.（数学运算）4.掌握共线向量定理和共面向量定理，会证明空间三点共线、四点共面.（数学抽象）必备知识探新知hI,知识点1空间向量的概念1.定义：在空间，具有和的量叫做空间向量.2.长度或模：向量的一大小3.表示方法：（1）几何表示法：空间向量用一有向线段一表示;（2）字母表示法：用字母a,b,c,表示；若向量a 的起点是A,终点是2,也可记作荏,其模记为或而I.4.几类特殊的空间向量名称定义及表示零向量长度为0一的向量叫做零向量.记为0单位向量模 为 1的向量叫做单位向量相反向量与向量a 长 度 _ 相等一而 方 向 _ 相反一的向量，叫做的相反向量，记为一a共线向量（平行向量）如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或思 考 1:单位向量都相等吗？提示：不一定.单位向量的模虽然都为1,但是方向各异.重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量.规定：对于任意向量a，都有0a相等向量方 向 相 同 且 模 相 等 的向量叫做相等向量I .知识点2 空间向量的线性运算空间向量的线性运算加法a+b O A+A B=O B减法a-b O A O C=C A0 a_A数乘当 20 时，X a=k O A=P Q；当 2Vo 时，X a=A O A=M N；当 2=0 时,Aa=0运算律交换律：a+b=b+a；结合律：+S+c)=(a+b)+c,/tQa)=(W)a；分配律：(2+)a=ia+0,A(a+b)=Aa+Xb思考2：怎样作图表示三个向量的和，作出的和向量是否与相加的顺序有关？提示：可以利用三角形法则和平行四边形法则作出三个向量的和.加法运算是对有限个向量求和，交换相加向量的顺序，其和不变.思考3：由数乘痴=0,可否得出2=0?提示：不 能.痴=04=0 或 a=0.知识点3共线向量1.空间两个向量共线的充要条件对于空间任意两个向量a，e/0）,的充要条件是存在实数九使得。

劝.2.直线的方向向量在直线I上取非零向量a,我们在 与向量a 平行的非零向量 称为直线I的方向向量.思考4：对于空间向量a,b,c,若 a 力且力c,是否可以得到c?提示：不能.若=0,则对任意向量a,c 都有且 c.思考5：怎样利用向量共线证明A,B,C 三点共线？提示：只需证明向量赢，胫（不唯一）共线即可.I .知识点4 共面向量1.共面向量如图，如果表示向量a 的有向线段近所在的直线4 与直线/平行或重合，那么称向量a平行于直线/.如果直线0A平行于平面a或在平面a内，那么称向量平行于平面a.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量.0 42.向量共面的充要条件如果两个向量a，8不共线，那么向量p与向量m 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使.思考6：空间中的两个向量是不是共面向量？提示：是.空间中的任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量.关键能力攻重难题型探究题型一空间向量及相关概念的理解典 例 1 给出下列命题：在同一条直线上的单位向量都相等；只有零向量的模等于0;在正方体A B C4 B1GA中，茄 1 与 的 1 是相等向量；在空间四边形A B C。

中，赢 与 乃 是相反向量；在三棱柱A B C 中，与筋的模一定相等的向量一共有4个.其中正确命题的序号为 .解析 错误，在同一条直线上的单位向量，方向可能相同，也可能相反，故它们不一定相等；正确，零向量的模等于0,模等于0的向量只有零向量；正确，启 1 与 病的模相等，方向相同；错误，空间四边形ABCD中，油与田的模不一定相等，方向也不一定相反；错误，在三棱柱A 8 C 4 B1G中，与筋的模一定相等的向量是启，BB,励，C Ct,G C,一共有5 个.规律方法 空间向量概念的辨析(1)向量的两个要素是大小与方向，两者缺一不可；(2)单位向量的方向虽然不一定相同，但长度一定为1;（3）两个向量的模相等，即它们的长度相等，但方向不确定，即两个向量（非零向量）的模相等是两个向量相等的必要不充分条件：（4）由于方向不能比较大小，因 此“大于”“小于”对向量来说是没有意义的，但向量的模是可以比较大小的.【对点训练】给出下列命题：两个空间向量相等，则它们起点相同，终点也相同；若空间向量a，b 满足|a|=|例,则 a=b；在正方体A8CO-4BiCiOi中，必 有 启=庆 1；若空间向量m，“，p 满足，n=p,则 i=p；空间中任意两个单位向量必相等.其中不正确的命题的个数是（C）A.1B.2C.3D.4 解析 当两向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等；但当两个向量相等时,它们的起点和终点均不一定相同，故错；根据向量相等的定义知不仅需要模相等，而且需要方向相同，故错；根据正方体A B C O AiBiG。

中，向量病与的方向相同，模也相等，必有启故正确；命题显然正确；空间中任意两个单位向量的模均为1,但方向不一定相同，故不一定相等，故错.题型二空间向量的线性运算典例2 如图所示，在平行六面体中，设浦I=a,嬴=屐）=c,M,N,P 分别是A4,BC,G A 的中点，试用a,c 表示以下各向量:/1；亦；MN.分析 根据数乘向量及三角形法则，平行四边形法则求解.解析 启 产 赢+防 1+瓦3=M+A b=a+Z +c.AP=AAI+A|)I+)IP=A 4I+A O+/B=0+C+TAiNAtA+AB+BN=AA+AB+AD a+b-c.【规律方法 空间向量线性运算的技巧和思路(1)空间向量加法、减法运算的两个技巧巧用相反向量：向量加减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法运算的关键，灵活应用相反向量可使有关向量首尾相接，从而便于运算.巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法、减法运算时，务必要注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果.(2)化简空间向量的常用思路分组：合理分组，以便灵活运用三角形法则、平行四边形法则进行化简.多边形法则：在空间向量的加法运算中，若是多个向量求和，还可利用多边形法则，若干个向量的和可以将其转化为首尾相接的向量求和.走边路：灵活运用空间向量的加法、减法法则，尽量走边路(即沿几何体的边选择途径).【对点训练】(2020山东潍坊学年高二期末)已知四棱锥PA5CQ的底面ABCO是平行四边形，设函=a,PB=b,P C=c,则 防=(B)A.a+b+cC.a+6 c 解析 如图所示,B.a-b-cD.Q+5+C四棱锥P-A B CO 的底面A8CD是平行四边形，前=Q,PBb,P C=c,则 访=访+俞 P AJt-B C P A+(P C-P B)P A-P B+P C=a-b+c.故选 B.题型三空间共线向量定理及其应用典例3如图所示，在正方体48c4BiGi中，点 E 在 4。

上，且与力=2说 1,点 F 在对角线A C 上，且 前=Q危.求证：E,F,B 三点共线.分析 可通过证明球与无共线来证明E,F,B 三点共线.证 明 设4 8=AD=b,AA=c.2-*因为4E=2Ei,A iF F C,-*2-2-所以4 石=养11,AF=AC9所以/AF=(ACAA)=,(A 8+A I)-A 4 D=,a+,b，-*2 2又 E8=E4+A A+A 8=bcddbc.：.E F E B,又：祥与丽有公共点E,：.E,F,B 三点共线.规律方法 1.判断向量共线的策略(1)熟记共线向量充要条件：b#0,则存在唯一实数7 使劝；若存在唯一实数人 使”=M，6 W 0,则a%.(2)判断向量共线的关键是找到实数人2.证明空间三点共线的三种思路对于空间三点P、4、8 可通过证明下列结论来证明三点共线.(1)存在实数九使萩=义而成立.(2)对空间任一点0,有3 =殖+同 QER).(3)对空间任一点 0,有3=x5A+y3h(x+y=l).【对点训练】如图所示，ABCD-ABEF都是平行四边形，且不共面，M、N 分别是AC、B尸的中点，判断无 与 访/是否共线？|解析|M、N 分别是AC、B F的中点，而四边形ABC。

ABEF都是平行四边形,1 1 ：.MN=MA+AF+FN=2CA+AF+FB.又,/MN=MC+CE+EB+BN1 *1 -A=-CA+CE-AFFB,：.jcA+AF+FB=-1CA+CEAF-FB.：.CECA+2AF+FB 2(MA+AF+FN).：.CE=2MN,S.CE/M N,即 无 与 疝 共线.题型四空间向量共面定理及其应用典例4已知A,8,C三点不共线，平面ABC外的一点M满 足 而=；心十+ioc.O(1)判 断 总，M B,而 三个向量是否共面；(2)判断点M是否在平面ABC内.I分析 要证明三个向量近1,MB,证 共面，只需证明存在实数x,y,)i.MA=xMB+yMC,证明了三个向量共面，即可说明点M就在平面内.解析(1)因 为 痂=药%+；油+3沆，所以 6OM=3OA+2OB+OC,所以 3OA-3dM=(,2dM-2OB)+(dM-OC),因此 3MA=2BM+CM-2MB-MC.故向量防1,M B,而 共面.(2)由(1)知向量而，M B,而 共面，三个向量又有公共点M,故M,A,B,C共面，即点M在平面ABC内.规律方法1.证明点P在平面4BC内，可 以 用 崩=缶+)仄2,也可以用5=温+品+yA C,若用而=x a+)无+z 3 3,则必须满足x+y+z=l.2.判定三个向量共面一般用p=xa+.yb,证明三 线 共 面 常 用 力=晶+次，证明四点共面常用37=x后+)，协+z衣(其中x+y+z=).【对点训练】正方体ABC。

一AiBiCQi中，M、N、P、Q分别为AiA G、AAi、CCi的中点，用向量方法证明M、N、P、四点共面.解析 令 屈h=a,LhCi=b,W D=c,N、P、均为棱的中点，.M N=ha,MP=MA+A P=a+c,MQ=M D -D C C Q=一 j a+O+c.令 质=力 而+幺 加，则一呼+)+/c=/(/z A)a+2b+2 c,r i 八 1汹 4)=一.c=e（c）是错误的.a”=/=|aF运算律（痴）0=2（/）,AeRab=ba（交换律）以分配律）思考3：对于向量”，6,若 a b=k,能否写成片/或力=0？提示：不能，向量没有除法.知识点3向量a 的投影1.如图（1）,在空间，向量a 向向量b 投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面a 内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量力共线的向量c,c=|a|cos a,b）由，向量c 称为向量a 在向量分上的投影向量.类似地，可以将向量a 向直线/投影（如图）.2.如图（3）,向量“向平面夕投影，就是分别由向量a 的起点A 和终点B 作平面0 的垂线,垂足分别为A,B,得到A 2，向量A i 称为向量a 在平面夕上的投影向量.这时，向量a,A B 的夹角就是向量a 所在直线与平面所成的角.(1)(3)关键能力攻重难题型探究题型一求空间向量的数量积典 例 1已知三棱锥。

一ABC的各个侧面都是等边三角形，且棱长为2,点 M,N,P 分别为AB,BC,C 4的中点.试求:0(l)(9A d s；前5.赢；(3)OB AC；(4)0C-MP.I分析 求出每个向量的模及它们的夹角，然后按照数量积的定义求解，必要时，对向量进行分解.解析 方i 励=|d|5 h|co s=|a|b|cos a,b并结合运算律进行计算.(2)利用图形，计算两个向量的数量积，可先将各向量移到同一顶点，利用图形寻找夹角，再代入数量积公式进行运算.(3)利用向量分解，在几何体中进行向量的数量。