初中数学北师大版)基本概念与定理.pdf

七九年级数学基本概念与定理（北师大版）教材目录:北师大版章节数与数论/代数平面几何/立体几何排列组合/概率论七年级上1丰富的图形世界2有理数及其运算3字母表示数4平面图形及其位置关系5一元一次方程6生活中的数据7可能性七年级下1整式的运算2平行线与相交线3生活中的数据4概率5三角形6变量之间的关系7生活中的轴对称八年级上1勾股定理2实数3图形的平移和旋转4四边形性质探索5位置的确定（坐标系）6一次函数7二元一次方程组8数据的代表八年级下1一元一次不等式2分解因式3分式4相似图形5数据的收集与处理6证明（平行线/三角形等）一年级上1证明（三角形/角平分线等）2一元二次方程3证明（四边形等）4视图与投影5反比例函数6频率与概率九年级下1直角三角形的边角关系（三角函数）2二次函数3圆4统计与概率章节总数 3 8 18 16 4占比 4 7.4%42.1%10.5%第一部分:七年级上学期:一、生活中的立体图形1、常见立体图形：英文圆柱Circular cylinder圆锥Circular cone正方体Cube长方体Cuboid棱柱Prism球Sphere2、点：point 线：line 面：plane图形是由点、线、面构成的.面与面相交得到线;线与线相交得到点.3、棱柱；在棱柱中，任何相邻两个面的交线都叫做“棱（edge）,相邻两个侧面的交线叫侧棱，棱柱的所有侧棱长相等.棱柱的上下底面的形状相同，侧面的形状都是长方形.根据底面图形的边数将棱柱分为:三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱他们底面图形的形状分别为三边形、四边形、五边形、六边形长方体和正方体都是四棱柱.4、用一个平面去截一个立方体，截出的面叫做截面(section).5、从不同方向看一个立方体，从正面看到的图叫“主视图”，从左面看到的图叫”左视图”;从上面看到的图叫“俯视图”.6、三角形，四边形、五边形、六边形等都是多边形(polygon).它们都是由一些不在同条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭平面图形.边长与角都分别相等的多边形叫做正多边形.形状、大小完全相同的正多边形围成,并且从每个顶点除法的棱数都相等的多面体叫正多面体.正多面体只有5 种，分别是：正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正十四面体、正二十面体.7、圆 上 A,B 两点之间的部分叫做“弧(arc);由一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做“扇形”(sector).8、平面上的欧拉公式是适用于一个封闭的平面图形，记这个图形的顶点数是V,这个平面图形内的区域数为F,图形的边数为E,则有：平面上的欧拉公式：V-E+F=1是计算图形切分平面所成的区域数的方法.9、正多面体的面数(F)、棱数(E)、顶点(V)的关系：(参见优等生数学)空间中的欧拉公式：V-E+F=2名称各面形状面数f棱数e顶点数VV-E+F正四面体三角形4642正六面体正方形61282正八面体正三角形81262正十二面体正五边形1230202正十四面体正三角形1430122二、有理数及其运算正数Positive number负数Negative number整数Integer包括:正整数,0,负整数分数Fraction包括:正分数，负分数有理数Rational number包括:整数与分数加法Addition加法交换律Commutative law加法结合律Associative law加法分配律Distributive law1、画一条水平直线,在直线上取一点表示0(叫做原点,。

rigin),选取某一长度(unit length)作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向(positivedirection),就得到数轴(number axis).2、任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示.3、如果两个数只有符号不同，则称其中一个数为另一个数的相反数(opposenumber),也称这两个数互为相反数.特别的,0的相反数为0.4、在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，且与原点的距离相等.5、在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值.正数的绝对值是它本身.负数的绝对值是它的相反数.0 的绝对值是0.6、两个负数比较大小,绝对值大的反而小.7、有理数加法、减法原则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.一个数同0 相加,仍得这个数.减去一个数,等于加上这个数的相反数.两数相乘，同号得正，异号得负,绝对值相乘.任何数与0 相乘,积仍为0.0 除以任何非0 的数都得0；0 不能作除数.乘积为1 的两个有理数互为倒数.(reciprocal).8、n 个相同的因数a 相乘，记作an.这 种 求 n 个相同因数a 的乘积的运算叫做乘方(power),乘方的结果叫做幕(power),a叫做底数(base number),n 叫做指数(exponent),a”读 作 a 的 n次第,或 者 a 的 n 次方.三、字母表示数1、代数式 algebraic expression代数式中，字母前的数字叫它的系数(coefficient),比如:1.5V 的系数是1.52、像 8n与 5 n 或 者 2a2b与 2a2b这样所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项(I i ke te rms).把同类项合并成一项叫做合并同类项(u n itelike terms).在合并同类项时,把同类项的系数相加，字母及字母的指数不变.如：8n+5n=13n-7a2b+2a2b=-5a2b3、去括号后符号的变化：括号前是十号，把括号和它前面的十号去掉后，原括号里各项的符号不改变；括号前是一号，把括号和它前面的一号去掉后，原括号里各项的符号都要改变；四、平面图形及其位置关系定 义线段Segment绷紧的琴弦/人行横道线可近似看做线段，线段有两个端点射线Ray/half line将线段向一个方向无限延伸就形成了射线，射线有一个端点直线line将线段向两个方向无限延伸就形成了直线，直线没有端点1、经过两点有且只有一条直线.2、两点之间，线段最短.3、两点之间线段的长度，叫这两点的距离(distance).4、点M把线段A B分成相等的两条线段A M与BM,那么点M叫做线段AB的中点(midpoint),这时，AM=BM=1AB5、角(angle)由两条具有公共端点的射线组成,两条射线的公共端点是这个角的顶点(vertex).角通常用三个字母及符号 N”来表示,比如NABC.也可以用一个数字或字母来表示一个角,比如Na.6、角可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的.当一条射线绕着它的端点旋转，当始边和终边成一条直线时,所成的角叫平(straight angle),终边继续旋转，当它又和始边重合时，所成的角叫周角.(roundangle)7、ZA0B与ND0B有一个公共顶点,一条公共边，同时,0D边落在NA0B的内部，这就表明ND0B小于NA0B,记作:ZD0B n)7、a-1 (aWO)a-p=二 (a#0,p是正整数)8、单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的事分别相乘,其余字母连同它的指数不变，作为积的因式.比如：(2xy2)X(3xy)=6x2y39、单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.比如:2ab*(5ab2+3a2b)=10a2b3+6a3b210、多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项,再把所得的积相加.比如：(2x+y)*(x-y)=2x*(x-y)+y*(x-y)=2x2-2xy+xy-y2=2x2-xy-y211、平方差公式：两数和与这两数差的乘积，等于这两个数平方的差.(a+b)*(a-b)=a2 b212、完全平方公式：两数和的平方，等于这两数各自的平方和，加上2倍的两数的积.(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b213、单项式与单项式相除，把系数,同底数累分别相除后，作为商的因式;对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式.14、多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式,再把所得的商相加.二、平行线与相交线1、如果两个角的和是直角，那么这两个角互为余角(complementary angle);如果两个角的和是平角，那么这两个角互为补角(supplementary angle).2、同角或等角的余角相等；同角或等角的补角也相等；3、对顶角：如图，直线AB与 CD相交于点O,ZBOD与NCOA有公共顶点0,它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角(vertical angles).对顶角一定相等.4、同位角：如下图，具有N1与N2这样位置关系的角称为同位角(c or r e s p o n d i n g a n g l e s).5、同位角相等，则两直线平行.上图中，如果N 1=N 2,则A B C D.6、内错角/同旁角如下图，具有N1与N 2 这样位置关系的角称内错角(a l t e r n a t e i n t e r i o r a n g l e s).具有N1与N3这样位置关系的角称同旁角(i n t e r i o r a n g l e s o n t h e s a m e s i d e).AB7、内错角相等,两直线平行；同旁内角互补，两直线平行.8、两直线平行，同位角相等两直线平行,内错角相等；两直线平行，同旁内角互补.三、生活中的数据无.四、概率1、人们常用1 （或 100%）来表示必然事件发生的可能性，用 0 来表示不可能事件发生的可能性.2、必然事件发生的概率为1,记 作 P（必然事件）=1;不可能事件发生的概率为0,记作：P（不可能事件）=0；如果A 为不确定事件，那么：0 P（A）0时,y的值随x值的增大而增大；当k“(或 2)连接的式子叫做不等式(i ne qu a l i t y).2、不等式的基本性质：与等式的基本性质类似.不等式的基本性质1不等式的两边都加上或减去同一个整式,不等号的方向不变.2不等式的两边都乘以或除以同一个正数,不等号的方向不变.3不等式的两边都乘以或除以同一个负数,不等号的方向改变.3、能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解.一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集(solution set).求不等式解集的过程叫解不等式.4、不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1,像这样的不等式，叫做一元一次不等式(linear inequality with oneunknown).5、解方程的移项变形对于解不等式同样适用.6、关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起,就组成一个一元一次不等式组(system of linear inequalities with one unknown).7、一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分,叫做这个一元一次不等式组的解集.求一元一次不等式组解集的过程叫做解一元一次不等式组.二、分解因式1、把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式(factorization).2、我们把多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式(common factor).比如:多项式ab+bc的各项都含有相同的因式b,可见,b就是多项式ab+bc各项的公因式.3、如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化为两个因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法.4、运用公式法:如果把整式的乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法.运用公式法1a2-b2=(a+b)(a-b)2a2+2ab+b2=(a+b)23a2-2ab+b2=(a-b)2三、分式A1、整 式A除以整式B,可以表示成刍的形式.如果除式B中含有。