第二章第五节-第六节(上)

第二章(第五,六节)第五节 连续型随机变量及其概率密度函数随机变量,简记为,分布函数.定义4 设随机变量的分布函数为,如果存在一个定义在上非负可积函数，使得对任何实数，恒有,则称为连续型随机变量,称函数为随机变量的概率密度函数(或分布密度函数),简称概率密度.概率密度函数的性质：由定义可以知道，概率密度函数具有下列基本性质：（1），对一切；（2） 。 反之，可以证明,任何一个具有性上述性质(1)和(2)的实直线上的可积函数，可以成为某个连续型随机变量的概率密度函数.连续型随机变量取区间值概率的计算.定理 设为连续型随机变量, 分布函数为,概率密度为,则有(1)是连续函数;(2);(3)或,或,或,或,或; (4)若在点连续，则在点可导,且; 如果是分段连续函数,只有有限个不连续点,则(除去有限个不连续点,在这些点上可任意给的值).例1 设随机变量的分布函数为 ,求随机变量的概率密度.解 由,得 .例2设随机变量的概率密度为 ,求(1);(2) 的分布函数 . 解(1) ;(2) ,当时,;当时, ;当时, ,当时，于是，的分布函数为 . 第六节 常用的连续型随机变量分布具有代表性的连续型随机变量分布有以下几种:一、 均匀分布称为区间（a，b）上均匀分布的随机变量，如果它是连续型随机变量，具有概率密度函数：记作, 它的分布函数为 .例1 设随机变量，试求方程 有实根的概率.解 的概率密度为 ,方程 有实根 , .二、指数分布若随机变量的概率密度为 ,(其中为常数)则称服从参数为的指数分布.它的分布函数为 . 服从指数分布的实际例子:指数分布在实际中有重要应用,它可以作为各种“寿命”的近似分布.例如,无线电元件的寿命;动物的寿命;电话的通话时间;随机服务系统中的服务时间等都可以近似地用指数分布来描述.它在可靠性理论与工程中占有特别重要的地位. 例2 设某电子元件的寿命(以小时计)服从参数的指数分布.试求该元件至少能使用1000小时的概率.解 根据题意,的概率密度为 ,记该元件至少能使用1000小时,则 .例题：设某人打一次电话所用的时间服从参数为1/10（单位：分）的指数分布，当你走近电话室需要打电话，某人恰好在你面前开始打电话。求以下几个事件的概率： （1）你需要等待10分钟以上；（2）你需要等待1020分钟； 解： 用表示某人的通话时间，也就是你的等待时间，则的分布密度 ,所以要求的概率分别为:(1) ;(2) .三、威布尔(Weibull)分布 若随机变量的概率密度为 ,其中均为正常数,则称服从参数为的威布尔分布,记作.称为尺度参数(又叫量纲参数或特征寿命),称为形状参数.不难看出,当时, 威布尔分布即为指数分布.大量的经验表明,许多产品的寿命,如滚动轴承的疲劳寿命,电子元器件的寿命等都服从威布尔分布.它在可靠性问题中有广泛的应用. 四、分布 若随机变量的概率密度为 ,其中均为常数,则称服从参数为的分布,记作. 分布在水文统计、最大风速或最大风压的概率计算中经常要用到.概率论中不少常见的重要分布只是分布的特殊情形.当时, 分布即是参数为的指数分布;当时, 分布则是统计学中十分重要的分布,其概率密度为 .函数的定义为,(),(含参变量的广义积分)函数具有以下性质:(1);(2)对任意，有（由，通过分部积分来计算证明。）(3)对自然数, .（由迭代给出。）电视墙也就是电视背景装饰墙，是居室装饰特别是大户型居室的重点之一，在装修中占据相当重要的地位，电视墙通常是为了弥补客厅中电视机背景墙面的空旷，同时起到修饰客厅的作用。因为电视墙是家人目光注视最多的地方，长年累月地看也会让人厌烦，所以其装修就尤为讲究