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第二章第五节-第六节(上)

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  • 卖家[上传人]:F****n
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  • 上传时间:2019-09-19
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    • 1、第二章(第五,六节)第五节 连续型随机变量及其概率密度函数随机变量,简记为,分布函数.定义4 设随机变量的分布函数为,如果存在一个定义在上非负可积函数,使得对任何实数,恒有,则称为连续型随机变量,称函数为随机变量的概率密度函数(或分布密度函数),简称概率密度.概率密度函数的性质:由定义可以知道,概率密度函数具有下列基本性质:(1),对一切;(2) 。 反之,可以证明,任何一个具有性上述性质(1)和(2)的实直线上的可积函数,可以成为某个连续型随机变量的概率密度函数.连续型随机变量取区间值概率的计算.定理 设为连续型随机变量, 分布函数为,概率密度为,则有(1)是连续函数;(2);(3)或,或,或,或,或; (4)若在点连续,则在点可导,且; 如果是分段连续函数,只有有限个不连续点,则(除去有限个不连续点,在这些点上可任意给的值).例1 设随机变量的分布函数为 ,求随机变量的概率密度.解 由,得 .例2设随机变量的概率密度为 ,求(1);(2) 的分布函数 . 解(1) ;(2) ,当时,;当时, ;当时, ,当时,于是,的分布函数为 . 第六节 常用的连续型随机变量分布具有代表性的连续

      2、型随机变量分布有以下几种:一、 均匀分布称为区间(a,b)上均匀分布的随机变量,如果它是连续型随机变量,具有概率密度函数:记作, 它的分布函数为 .例1 设随机变量,试求方程 有实根的概率.解 的概率密度为 ,方程 有实根 , .二、指数分布若随机变量的概率密度为 ,(其中为常数)则称服从参数为的指数分布.它的分布函数为 . 服从指数分布的实际例子:指数分布在实际中有重要应用,它可以作为各种“寿命”的近似分布.例如,无线电元件的寿命;动物的寿命;电话的通话时间;随机服务系统中的服务时间等都可以近似地用指数分布来描述.它在可靠性理论与工程中占有特别重要的地位. 例2 设某电子元件的寿命(以小时计)服从参数的指数分布.试求该元件至少能使用1000小时的概率.解 根据题意,的概率密度为 ,记该元件至少能使用1000小时,则 .例题:设某人打一次电话所用的时间服从参数为1/10(单位:分)的指数分布,当你走近电话室需要打电话,某人恰好在你面前开始打电话。求以下几个事件的概率: (1)你需要等待10分钟以上;(2)你需要等待1020分钟; 解: 用表示某人的通话时间,也就是你的等待时间,则的分布

      3、密度 ,所以要求的概率分别为:(1) ;(2) .三、威布尔(Weibull)分布 若随机变量的概率密度为 ,其中均为正常数,则称服从参数为的威布尔分布,记作.称为尺度参数(又叫量纲参数或特征寿命),称为形状参数.不难看出,当时, 威布尔分布即为指数分布.大量的经验表明,许多产品的寿命,如滚动轴承的疲劳寿命,电子元器件的寿命等都服从威布尔分布.它在可靠性问题中有广泛的应用. 四、分布 若随机变量的概率密度为 ,其中均为常数,则称服从参数为的分布,记作. 分布在水文统计、最大风速或最大风压的概率计算中经常要用到.概率论中不少常见的重要分布只是分布的特殊情形.当时, 分布即是参数为的指数分布;当时, 分布则是统计学中十分重要的分布,其概率密度为 .函数的定义为,(),(含参变量的广义积分)函数具有以下性质:(1);(2)对任意,有(由,通过分部积分来计算证明。)(3)对自然数, .(由迭代给出。)电视墙也就是电视背景装饰墙,是居室装饰特别是大户型居室的重点之一,在装修中占据相当重要的地位,电视墙通常是为了弥补客厅中电视机背景墙面的空旷,同时起到修饰客厅的作用。因为电视墙是家人目光注视最多的地方,长年累月地看也会让人厌烦,所以其装修就尤为讲究

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