第二章矩阵教案讲稿【哈工大版】

教学单元教案格式 线性代数 课程教案授课题目：第二章矩阵教学时数：10学时授课类型：理论课 实践课教学目的及要求：1 理解矩阵的概念，知道单位矩阵、对角矩阵、对称矩阵、行阶梯矩阵、行最简矩阵等矩阵的定义及性质。2 熟练掌握矩阵的线性运算，乘法运算，转置及相关运算性质。3 理解伴随阵概念及性质，理解逆矩阵的概念和性质、矩阵可逆充要条件，掌握判断矩阵是否可逆的方法，会利用逆阵解矩阵方程。4 理解矩阵的初等变换，熟练地用初等行变换将矩阵化为其行阶梯矩阵与行最简矩阵。5 理解矩阵秩的概念，知道满秩矩阵及其性质。熟练地用初等行变换求逆矩阵、求矩阵的秩、解矩阵方程。6 掌握分块矩阵的运算。教学重点：矩阵、逆矩阵、矩阵的秩及矩阵的初等变换的概念。矩阵的加法、乘法、数乘、转置及矩阵行列式的运算及运算性质。矩阵可逆的充要条件。初等矩阵与初等变换的关系性质，用初等变换求逆矩阵、求矩阵的秩、解矩阵方程的方法。教学难点：矩阵秩的概念，有关矩阵秩的性质的应用问题教学方法和手段：课程综合课堂的讲授、习题、讨论及课外资料的查询、分析等方法来传授知识。教学手段主要利用多媒体开展，课外资料查询、分析利用网络、图书馆进行。选用教材和参考书目教材：郑宝东主编. 线性代数与空间解析几何. 高等教育出版社，北京，2013。参考书目：1同济大学数学教研室编.线性代数(第六版).高等教育出版社.2014年2赵连偶，刘晓东.线性代数与几何(面向21世纪课程教材).高等教育出版社3居余马等.线性代数. 清华大学出版社4 赵树原主编，线性代数（第三版），中国人民大学出版社1998年6月；5 徐仲主编，线性代数典型题分析解集（第二版），西北工业大学出版社2000年8月；6 陈文灯，黄先开编，线性代数复习指导思路、方法、技巧，世界图书出版公司1998年10月。 线性代数 课程教案教学内容及过程旁批教学引入：前面介绍了利用行列式求解线性方程组的方法，即Cramer法则。但是Cramer法则有它的局限性：系数行列式；方程组中变量的个数等于方程的个数。接下来要学习的还是关于解线性方程组，即Cramer法则无法用上的用“矩阵”的方法解线性方程组。本节课主要学习矩阵的概念及其运算。矩阵这一具体概念是由19世纪英国数学家凯利首先提出并形成矩阵代数这一系统理论的。数学上，一个m×n矩阵就是一m行n列的矩形阵列。矩阵由数组成。在本门课程中，它是求解线性方程组的一种重要工具。教学内容与教学设计：第二章 矩阵2.1 矩阵的概念2.2 矩阵的运算2.3 可逆矩阵2.4 矩阵的初等变换和初等矩阵2.5 矩阵的秩2.6 分块矩阵2.1 矩阵的概念一、定义例题1：某种物资有3个产地,4个销地,调配量如表2.1所示。销地产地B1B2B3B4A11635A23120A34012那么，表中的数据可以构成一个矩形 数表：或定义1：由个数或代数式构成的一个行列的矩形列表或称为一个行列的矩阵。其中称为矩阵的第行列的元素。矩阵的元素属于数域，称其为数域的矩阵。若无特别说明，本书里的矩阵均指实数域上的矩阵。一般用大写的字母，表示矩阵；有时为了突出矩阵的行列规模，也对大写字母右边添加下标，如的矩阵可以表为；还有，要同时表明矩阵的规模和元素时也采用形式标记。若矩阵的所有元素为零，则称其为零矩阵，记为，不引起混淆时也可简记为。当矩阵的行列数相等时，即时称其为阶方（矩）阵或简称为方阵；一阶方阵也常作为一个数对待。对于阶方阵，由它的元素按原有排列形式构成的行列式称为方阵的行列式，记为或。定义2：如果两个矩阵，具有相同的行数、列数，即，且对应位置上的元素相等，那么称矩阵与矩阵相等，记为。例题2：设矩阵,且,试求。解：因为，故有：，联解求得：，。二、几种特殊矩阵（1）矩阵，当时，即称为n阶方阵，记为. 特别地，一阶方阵.方阵中从左上角元素到右下角元素的这条对角线称为方阵的主对角线，从右上角元素到左下角元素的这条对角线称为方阵的副对角线。（2）形如的阶方阵称为上三角矩阵.（3）形如的阶方阵称为下三角矩阵.（4）形如的阶方阵称为n阶对角矩阵，记为.（5）形如的阶方阵称为n阶数量矩阵。特别地，当时，即矩阵称为n阶单位矩阵，记为.应该注意到，单位矩阵是数量矩阵，数量矩阵是对角矩阵，而反之则未必成立. 当然零矩阵也是数量矩阵.（6）只有一行的矩阵称为行矩阵，又称行向量. 为避免元素间的混淆，行矩阵也记作（7）只有一列的矩阵称为列矩阵，又称列向量.就向量而言，称其元素为分量，分量的个数称为向量的维数. 例如，是4维行向量，是维列向量.矩阵的每一行 都是维行向量；A的每一列 都是维列向量.（8）分量都是0的向量称为零向量，记为2.2 矩阵的运算1.矩阵的加法定义2.2 设有两个矩阵和，矩阵A与B的和记为AB，规定两个同型矩阵的和即为两个矩阵对应位置元素相加得到的矩阵. 值得注意的是：只有两个矩阵是同型矩阵时，才能进行矩阵的加法运算.矩阵加法满足下列运算规律（设都是矩阵）：（1）.（2）.（3）.2.矩阵的数乘定义 2.3 设有矩阵，为任意常数，数与矩阵 A 的乘积称为矩阵的数乘，记作kA或Ak，规定为即矩阵的数乘就是用这个数乘矩阵的所有元素.设，记称为矩阵A的负矩阵. 显然有由此规定矩阵的减法为即两个同型矩阵的减法为对应位置元素相减.数与矩阵的乘法满足以下运算规律（设是矩阵，,为数）：（1）.（2）.（3）.（4），.（5）若，则或.矩阵相加与矩阵数乘结合起来，统称为矩阵的线性运算.例题3：有4名学生的某3门课的平时考查成绩矩阵为：，而课程结业考试的卷面成绩矩阵为：，规定各门课程的考核成绩由平时考查和卷面考试的成绩分别占30%和70%构成，求4名学生的考核成绩矩阵。解：考核成绩矩阵为 四、矩阵的乘法定义2.4 设是矩阵，是矩阵，规定矩阵A与B的乘积是一个矩阵，其中 即矩阵C的第行第列的元素是矩阵A的第行与矩阵B的第列对应元素相乘之和，记作注意 (1) 只有当左矩阵A的列数等于右矩阵B的行数时，A, B才能作乘法运算AB； (2) 两个矩阵的乘积AB亦是矩阵，它的行数等于左矩阵A的行数，它的列数等于右矩阵B的列数； (3) 乘积矩阵AB中的第行第j列的元素等于A的第行元素与B的第j列对应元素的乘积之和，故简称行乘列的法则.例5 设矩阵 求AB及BA.【解】 因为 A 是矩阵，B 是矩阵，A的列数等于B的行数，所以矩阵A与B可以相乘. 其乘积AB是一个矩阵：由于B的列数不等于A的行数，因此BA没有意义.例6 求矩阵 的乘积AB及BA.【解】.例题2：已知，用分块矩阵计算。解法一：，又 ， ，。所以。解法二：故。从上例可以看出,不同的分块方法使得求解过程的繁杂程度不一样,一般地尽可能把特殊的零子块和单位子块分出来，这样可以简化子块的求解。矩阵的乘法满足下列运算规律（假设运算都是可行的）：（1）乘法结合律 .（2）数乘结合律 (其中为数)（3）左乘分配律 ，右乘分配律 例8 求矩阵 的乘积AB、BA及AC.【解】 . . .由以上的例子可知：（1）矩阵的乘法不满足交换律，即在一般情况下，.（2）两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵，即由，一般不能得出或.（3）矩阵的乘法不满足消去律，即由，一般不能从等式两边消去 A，得出.若矩阵A与B满足，则称矩阵A与B可交换.单位矩阵在矩阵的乘法运算中占有特殊的地位. 任何矩阵与单位矩阵相乘（假设运算可以进行），都等于这个矩阵，即对任意的矩阵A， 单位矩阵的这条性质，使得单位矩阵在矩阵乘法运算中的地位类似于实数乘法中的数. 不过应该注意，如果矩阵A不是方阵，上面两个式子中的单位矩阵的阶数是不同的.五、矩阵的转置定义2.5 把矩阵A的行换成同序数的列得到的新矩阵，称为A的转置矩阵，记作.例如，矩阵的转置矩阵为矩阵的转置也是一种运算，满足下述运算规律（假设运算都是可行的）：（1）.（2）.（3）（其中为数）（4）.例9 已知 求.【解】 （解法一） 因为所以（解法二）定义2.6 阶方阵A满足，则称A为对称矩阵.例如， 都是对称矩阵. 对称矩阵的特点是它的元素以主对角线为对称轴对应相等. 由定义可以直接得到：对称矩阵的和、数乘仍为对称矩阵.六、方阵的行列式定义2.7 由阶方阵的元素所构成的行列式（各元素位置不变），称为方阵A的行列式，记作|A|或.方阵与行列式是不同的概念，阶方阵是个数按一定方式排成的数表，而阶行列式则是这些数按一定的运算法则所确定的一个数值.设A,B为阶方阵，是任意常数，方阵的行列式满足如下的运算规律：（1）.（2）.（3）.例10 设 求.解 （解法一） 因为所以=由公式，则.（解法二） 因为=所以.注 方阵是数表, 而行列式是数值2.3 可逆矩阵数的乘法存在着逆运算除法，当数时逆满足，这使得一元线性方程的求解可简单得到：方程两边同时乘以，得解。那么，在解矩阵方程（此处为单列矩阵）时是否也存在类似的逆使得呢？这就是要研究的可逆矩阵问题。对于任意的级方阵都有这里是级单位矩阵。因之，从乘法的角度来看，级单位矩阵在级方阵中的地位类似于1在复数中的地位。一个实数的倒数可以用等式，来刻划，相仿地，我们引入1 逆矩阵的定义定义2.8 对于阶矩阵A，如果存在一个阶矩阵B，使得则矩阵A称为可逆矩阵，而矩阵B称为A的逆矩阵. A的逆矩阵记作，即注 1.如果矩阵A是可逆的，那么A的逆矩阵是唯一的. 这是因为：设B,C都是A的逆矩阵，则有所以A的逆矩阵是唯一的.2.定义中，的地位是对等的，因此也可逆，且(就是)，即是说与是互为逆矩阵。例如，由于，所以是可逆矩阵，且的逆矩阵是。 同样，当都不为零时，由=可知对角阵是可逆矩阵，且是其逆矩阵.2.逆矩阵的求法一个矩阵在什么条件下是可逆的呢？下面的定理回答了这个问题，并以行列式为工具给出了逆矩阵的一种求法.首先介绍伴随矩阵的概念：设则称阶方阵为矩阵A的伴随矩阵，其中为元素的代数余子式.例如，则.由矩阵乘法易知定理2.1 阶方阵A可逆的充要条件是，且当时，.证明 必要性. 因为A可逆，即有，使得故所以充分性. 设，则由，得由逆矩阵的定义及唯一性可知A可逆，且.当，A称为奇异矩阵，否则称为非奇异矩阵. 由定理2.1可知可逆矩阵就是非奇异矩阵.由定理2.1可得以下推论：推论1 若阶方阵满足且，则.证明 因为，所以A可逆. 用左乘两边，得.推论2 若阶方阵满足，且，则.