第28课数列的极限

第28课 数列的极限考试目标 主词填空1.数列极限的定义可叙述为如果当项数n无限增大时，无穷数列an的项an无限地趋近于某个常数a，那么就说数列an以a为极限.2.数列极限的运算法则.设an=A，bn=B，则(an±bn)=A±B.(an·bn)=A·B.，B0.3.数列极限的常见类型.型，其中f(n)与g(n)都是关于n的多项式.可有理化型：当分子或分母含有根式时，通过有理化后求极限.qn型，(q为常数)其极限存在的充要条件是q.4.数列极限的直接应用.（1）求无穷数列的和；（2）计算数列的极限.5.两个结论：（1）单调有界的数列必有极限；（2）=e=2.题型示例 点津归纳【例1】 已知等差数列an的前n项和为Sn，且a3=5，S3=9，又设bn=anqn(nN)，其中常数q满足(1+q+q2+qn)=，试求数列bn的前n项和S*及S*.【解前点津】 由条件，先确定an的表达式及q值，再确定bn的表达式.【规范解答】 设an的公差为d，则由.an=a1+(n-1)d=2n-1，又因(1+q+q2+qn)=，知|q|<1且=，q=.bn=(2n-1)·()nS=bk=(2k-1)·()k=2k·()k-()k =-(n+)·-=1-，是单调递减数列，=0.S=(1-)=1-=1-0-0=1.【解后归纳】 凡属形如的数列，常分离为，其前n项和等于两个数列与前n项和之后的和，前者使用“错项相减”求和，后者直接应用公式求和.【例2】 计算下列各题的极限.(1)；(2)tan()；(3)；(4)；(5)(··).【解前点津】 (1)着眼于分子分母的首项；(2)原式可化为tan；(3)构造qn；(4)先求和，后计算极限；(5)运用分数指数的运算性质.【规范解答】 (1)因式分子的次数小于分的次数，故原式=0；(2)原式=tan=tan=tan0=0；(3)原式=的极限=；(4)原式=·(n-1)·n(2n-1)=；(5)原式=3=31-0=3.【解后归纳】 运用极限的运算法则的前提是：“极限存在”.故在实际应用时往往对式子进行变形，对无穷项之和的极限运算，不能直接应用法则，而必须先求和，后算极限!【例3】 利用补充的有关结论，计算下列极限.(1)；(2)；(3).【解前点津】 (1) =·.(2)=.(3)分离成三个分式之和的极限.【规范解答】 (1)原式=·=e·1=e.(2)原式=·=·=e2·1=e2.(3)原式=+=0+0+0=0.【解后归纳】 若An=A，则：A=(An)2=A2.在应用结论=e时，要注意模型1+f(n)的含义，其一是f(n)=0，其二是：f(n)与互为倒数.【例4】 已知数列xn各项如下：x1=，x2=，x3=，(a>0).求xn.【解前点津】 由条件可知xn+1=既然xn的极限存在，则必有xn=xn+1=xn+2=xn+m(且m是常数)，等式两边取极限即可求得.【规范解答】 设xn=A，则xn+1=A，又因xn+1=，故有xn+1=，A=A2=a+A，A2-A-a=0.而A>0故此一元二次方程正根A=.【解后归纳】 若数列an的极限存在，则极限值必然是惟一的，且an=an+1=a2n=.对应训练 分阶提升一、基础夯实1.的值为 ( )A.1 B.2 C.3 D.42.的值为 ( )A.1 B. C. D.3.的值为 ( )A.1 B. C. D.4.cos(-)的值为 ( )A.-1 B.1 C.0 D.±15.若a是大于1的常数，则的值为 ( )A.1 B.0 C.a D.-a6.等比数列an的公比q=-，则的值为 ( )A.1 B.-2 C.-4 D.-7.数列an和bn都是公差不为0的等差数列，且=3，则：的值为 ( )A.0 B.3 C. D.8.的值等于 ( )A.-1 B.0 C.1 D.9.若=2004，则动点M(a，b)描绘的图形是 ( )A.直线 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线10.当n充分大时，下面大小关系正确的是 ( )A.2n<n2004 B. 2n>n2004 C.2n=n2004 D.以上都不是二、思维激活11.若=0，则a= ，b= .12.数列的通项公式为an=(3-5x)n，若an存在，则x的取值范围是 .13.··= .14.若f(n)=1+2+3+n(nN*),则：= .三、能力提高15.(1)已知an=1+2+4+2n，求；(2)(a>0).16.an是首项为1，公比为sin(0<<)的等比数列，又bn=(a1·a2·a3an)，Sn=b1+b2+bn.求Sn的值.17.设首项为1，公比为q(q>0)的等比数列的前n项的和为Sn，又设Tn=(n=1，2，),求Tn.18.数列an，bn满足(2an+bn)=1，(an-2bn)=1，求(an·bn)的值.第7课 数列的极限习题解答1.C 只须观察分子、分母的首项.2.D 分子=n2.3.C 分子的首项是n3，分母的首项是n3·2=n3.4.C 因=.5.D a>1，原式=-a.6.B a1+a2+an=，a2+a4+a6+a2n=.7.D a1+a2+an=·n原式=·3=.8.C ，原式=1.9.A =2004，a-2004b=0表示一条直线.10.A 当n充分大时，2n，n2004都是递增的，且n2004比2n增的快些.11.原式=,令1-a=0，a+b=0a=1，b=-1.12.由|3-5x|<1<x<,又3-5x=1时x=,故x<.13.原式=14.f(n)=(n+1)，f(n2)=n(n+1)·(2n+1)，原式=0.15.(1)an=2n+1-1，C+C+C=2n，原式=.(2)当a>1时，原式=1；当a=1时，原式=0，当0<a<1时，原式=-1，故：=.16.bn=(1·sin·sin2sinn-1)=(sin)=()n-1Sn=.17.当0<q<1时，Sn=，Tn=，Tn=1；当q=1时，Sn=n，Tn=，Tn=1；当q>1时，Tn=，Tn=，Tn=.18.根据极限运算法则得解关于an，bn的二元一次方程组得：an=，bn=-(an·bn)=an·bn=()·(-)=-.电视墙也就是电视背景装饰墙，是居室装饰特别是大户型居室的重点之一，在装修中占据相当重要的地位，电视墙通常是为了弥补客厅中电视机背景墙面的空旷，同时起到修饰客厅的作用。因为电视墙是家人目光注视最多的地方，长年累月地看也会让人厌烦，所以其装修就尤为讲究