苏科版八年级上册第三章3.2勾股定理的逆定理（解析版）

3.2勾股定理的逆定理一、选择题1. 下列各组数是三角形的三边，能组成直角三角形的一组数是（）A. 2,3,4B. 3,4,5C. 6,8,12D. 3,4,52. 在下列四组数中，不是勾股数的一组数是（）A. a=15,b=8,c=17B. a=9,b=12,c=15C. a=7,b=24,c=25D. a=3,b=5,c=73. 三角形的三边长为a，b，c，且满足（a+b）2=c2+2ab，则这个三角形是（）A. 等边三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 锐角三角形4. 一个三角形的三条边长分别为：5，12，13，把这个三角形的三条边长同时扩大到原来的2倍，那么这个三角形的形状为（）A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 无法确定形状5. 由下列条件不能判断ABC是直角三角形的是（）A. A：B：C=3：4：5B. A：B：C=2：3：5C. A-C=BD. AB2-BC2=AC26. 如图，在ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P为边BC上一动点，PEAB于E，PFAC于F，M为EF中点，则AM的最小值为（）A. 54B. 52C. 53D. 657. 已知ABC，AB=5，BC=12，AC=13，点P是AC上一个动点，则线段BP长的最小值是（）A. 6013B. 5C. 3013D. 12二、填空题8. 三角形三边长分别为3，4，5，那么最长边上的中线长等于_9. 一个三角形的三边的比是345，它的周长是24，则它的面积是_.10. 如图，已知CD=6m，AD=8m， ADC=900，BC=24m，AB=26m，则图中阴影部分的面积是_m2 11. 12. 如图，每个小正方形边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则AB2=_，ABC=_°13. 探索勾股数的规律：观察下列各组数：（3,4,5），（5,12,13），（7,24,25），（9,40,41），可发现4=32-12，12=52-12，24=72-12，请写出第5组数：_14. 有一组勾股数，知道其中的两个数分别是17和8，则第三个数是_ 15. 如图，在ABC中，AB=5，AC=13，BC边上的中线AD=6，则ABD的面积是_三、解答题16. 如图，已知四边形ABCD中，B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积17. 如图：正方形网格中每个小方格的边长为1，且点A、B、C均为格点（1）求ABC的面积；（2）通过计算判断ABC的形状；（3）求AB边上的高18. 如图，在ABC中，AB=17cm，AC=8cm，BC=15cm，将AC沿AE折叠，使得点C与AB上的点D重合 (1)证明：ABC是直角三角形；(2)求AEB的面积19. 如图所示，在ABC中，AB=5，AC=13，BC边上的中线AD=6，求BC的长20. 如图，在ABC中，AB=30cm，BC=35cm，B=60°，有一动点M自A向B以1cm/s的速度运动，动点N自B向C以2cm/s的速度运动，若M，N同时分别从A，B出发（1）经过多少秒，BMN为等边三角形；（2）经过多少秒，BMN为直角三角形21. 如图所示，在ABC中，点D为BC边上的一点，AD=12，BD=16，AB=20，CD=9（1）试说明ADBC（2）求AC的长及ABC的面积（2）判断ABC是否是直角三角形，并说明理由答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可【解答】解：A、22+3242，故不是直角三角形，故此选项错误；B、42+32=572，故是直角三角形，故此选项正确；C、62+82122，故不是直角三角形，故此选项错误；D、（3）2+（4）2（5）2，故不是直角三角形，故此选项错误故选：B2.【答案】D【解析】解：由题意可知，在A组中，152+82=172=289，在B组中，92+122=152=225，在C组中，72+242=252=625，而在D组中，32+5272，故选：D理解勾股数的定义，即在一组（三个数）中，两个数的平方和等于第三个数的平方理解勾股数的定义，并能够熟练运用3.【答案】C【解析】解：化简（a+b）2=c2+2ab，得，a2+b2=c2所以三角形是直角三角形，故选：C对等式进行整理，再判断其形状本题考查了直角三角形的判定：可用勾股定理的逆定理判定4.【答案】A【解析】解：一个三角形的三条边长分别为：5，12，13，把这个三角形的三条边长同时扩大到原来的2倍，扩大后三角形三边长分别为：10，24，26，102+242=676，262=676，102+242=262，这个三角形的形状为直角三角形故选：A直接利用勾股定理的逆定理分析得出答案此题主要考查了勾股定理的逆定理，正确把握勾股定理的逆定理是解题关键5.【答案】A【解析】解：A、A：B：C=3：4：5，C=512×180°=75°，故不能判定ABC是直角三角形；B、A：B：C=2：3：5，A+B=C，C=90°，故能判定ABC是直角三角形；C、A-C=B，A+B=C，C=90°，故能判定ABC是直角三角形；D、AB2-BC2=AC2，AB2+AC2=BC2，故能判定ABC是直角三角形故选：A先根据所给的数据，再根据勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方或最大角是否是90°即可求出答案本题考查了勾股定理的逆定理的应用，判断三角形是否为直角三角形，可利用勾股定理的逆定理和直角三角形的定义判断，此题比较容易6.【答案】D【解析】解：在ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，AB2+AC2=BC2，即BAC=90°又PEAB于E，PFAC于F，四边形AEPF是矩形，EF=APM是EF的中点，AM=12EF=12AP因为AP的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高，即等于125，AM的最小值是65故选：D根据勾股定理的逆定理可以证明BAC=90°；根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，则AM=12EF，要求AM的最小值，即求EF的最小值；根据三个角都是直角的四边形是矩形，得四边形AEPF是矩形，根据矩形的对角线相等，得EF=AP，则EF的最小值即为AP的最小值，根据垂线段最短，知：AP的最小值即等于直角三角形ABC斜边上的高本题综合运用了勾股定理的逆定理、矩形的判定及性质、直角三角形的性质要能够把要求的线段的最小值转换为便于分析其最小值的线段7.【答案】A【解析】解：AB=5，BC=12，AC=13，AB2+BC2=169=AC2，ABC是直角三角形，当BPAC时，BP最小，线段BP长的最小值是：13BP=5×12，解得：BP=6013故选：A首先判断ABC的形状，再利用三角形面积求法得出答案本题主要考查勾股定理的逆定理以及直角三角形面积求法，关键是熟练运用勾股定理的逆定理进行分析8.【答案】2.5【解析】解：32+42=25=52，该三角形是直角三角形，12×5=2.5故答案为：2.5根据勾股定理逆定理判断出三角形是直角三角形，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理的逆定理，判断出是直角三角形是解题的关键9.【答案】24【解析】【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形.先根据三角形的三边长的比是3：4：5，它的周长是24求出三角形各边的长，再根据勾股定理的逆定理判断出其形状，由三角形的面积公式即可求解.【解答】解：三角形的三边长的比是3：4：5，它的周长是24,设此三角形的边长分别是3x，4x，5x，则3x+4x+5x=24，解得x=2,此三角形的边长分别是6，8，10,62+82=102,此三角形是直角三角形,这个三角形的面积=12×6×8=24 故答案为24.10.【答案】96【解析】【分析】本题考查的是勾股定理的运用和勾股定理的逆定理运用，解题的关键是根据勾股定理求出AC的长，再根据勾股定理的逆定理判断出ACB为直角三角形先根据勾股定理求出AC的长，再根据勾股定理的逆定理判断出ACB为直角三角形，再根据S阴影=12AC×BC-12AD×CD即可得出结论【解答】解：在RtADC中，CD=6m，AD=8m，ADC=90°，BC=24m，AB=26m，AC2=AD2+CD2=82+62=100，AC=10m，（取正值）在ABC中，AC2+BC2=102+242=676，AB2=262=676AC2+BC2=AB2，ACB为直角三角形，ACB=90°S阴影=12AC×BC-12AD×CD=12×10×24-12×8×6=96（m2）故答案为9611.【答案】10   45【解析】解：连接AC根据勾股定理可以得到：AB2=12+32=10，AC2=BC2=12+22=5，5+5=10，即AC2+BC2=AB2，ABC是等腰直角三角形，ABC=45°故答案为：10，45连接AC，根据勾股定理得到AB2，BC2，AC2的长度，证明ABC是等腰直角三角形，继而可得出ABC的度数本题考查了勾股定理及其逆定理，判断ABC是等腰直角三角形是解决本题的关键12.【答案】11，60，61【解析】【分析】先找出每组勾股数与其组数的关系，找出规律，再根据此规律进行解答本题考查的是勾股数，根据所给的每组勾股数找出各数与组数的规律是解答此题的关键【解答】解：3=2×1+1，4=2×12+2×1，5=2×12+2×1+1；5=2×2+1，12=2×22+2×2，13=2×22+2×2+1；7=2×3+1，24=2×32+2×3，25=2×32+2×3+1；9=2×4+1，40=2×42+2×4，41=2×42+2×4+1；11=2×5+1，60=2×52+2×5，61=2×52+2×5+1，故答案为11，60，6113.【答案】15【解析】解：设第三个数为x，是一组勾股数，x2+82=172，解得：x=15，172+82=x2，解得：x=353（不合题意，舍去