土的本构关系(2)
将总变形分成两部分：一是弹性变形将总变形分成两部分：一是弹性变形，即可恢复的变形即可恢复的变形， 另一是塑性变形另一是塑性变形，即不可恢复的变形：即不可恢复的变形： 二、土的弹塑性模型二、土的弹塑性模型 弹塑性模型的构造弹塑性模型的构造 e ee 弹性应变弹性应变 ep eee 虎克定律求解虎克定律求解 e ep 塑性应变塑性应变 塑性理论求解塑性理论求解 流动法则流动法则 破坏准则和屈服准则破坏准则和屈服准则 硬化规律硬化规律 建立塑性变形关系的条件建立塑性变形关系的条件 e e e e p e e 同济大学同济大学 李镜培李镜培 1/22 1.1.破坏准则破坏准则 1.1 1.1 一般破坏准则一般破坏准则 *() ij fk f () ijf fk () ijf fk () ij f f k不可能超过不可能超过 试验确定的试验确定的 常数常数 破坏函数，应力破坏函数，应力 分量的某种函数分量的某种函数 破坏破坏 不破坏不破坏 评判评判 几何空间意义：几何空间意义： 破坏面破坏面应力空间内达到破坏应力空间内达到破坏 的一系列点的轨迹。的一系列点的轨迹。 (a)开口型开口型 （b）帽子型）帽子型 2/22 1.2 1.2 常用破坏准则常用破坏准则 （1）屈雷斯卡）屈雷斯卡(Tresca)准则准则 1321311223 ()()() ()()0 22222 fffff kkkkk 破坏面：破坏面： 在主应力空间内以空间主对角线（即在主应力空间内以空间主对角线（即 1 12 23 3 的线）为中心轴的正六角柱面的线）为中心轴的正六角柱面。 特点：特点：破坏与体积应力无关。破坏与体积应力无关。 适应性：适应性：适应于适应于饱和粘土不排水饱和粘土不排水 条件下的强度特征条件下的强度特征 13 u 2 c 13 2 f k 假定最大剪应力达到某一数值时破坏，即假定最大剪应力达到某一数值时破坏，即 三向应力条件下，由下式表示：三向应力条件下，由下式表示： 3/22 广义屈雷斯卡广义屈雷斯卡(Tresca)准则准则 破坏面：破坏面： 在主应力空间内为在主应力空间内为正六角锥面正六角锥面。 考虑考虑体积应力对强度影响时体积应力对强度影响时 13 1 2 f Ik 第一应力第一应力 不变量不变量 破坏常数与破坏常数与c、j j有关有关。 4/22 1.2 1.2 常用破坏准则常用破坏准则 （2）米塞斯米塞斯(Mises)准则准则 破坏面：破坏面： 在主应力空间在主应力空间为圆柱面为圆柱面。 特点：特点：破坏与体积应力无关。破坏与体积应力无关。 假定偏应力假定偏应力q达到达到一定值时破坏一定值时破坏 ，即，即 222 122331 1 ()()() 2 f qk 5/22 广义米塞斯广义米塞斯(Mises)准则准则 破坏面：破坏面： 在主应力空间内为圆在主应力空间内为圆锥面锥面。 同样，考虑同样，考虑体积应力对强度影响时体积应力对强度影响时 将将Kf用用I1的函数代替的函数代替 其他表示形式：其他表示形式： qMp ( r qM pp） 剑桥模型中破坏准则剑桥模型中破坏准则 邓肯等人将其推广到有粘聚力的情况邓肯等人将其推广到有粘聚力的情况 6/22 1.2 1.2 常用破坏准则常用破坏准则 （3）莫尔一库仑（）莫尔一库仑（Mohr - Coulomb）准则）准则 破坏面：破坏面： 主应力空间破坏面是与主应力空间破坏面是与 2轴平行的面，且投轴平行的面，且投 影到影到 1轴与轴与 3轴构成的平面内，是一直线。轴构成的平面内，是一直线。 特点：特点：破坏与破坏与 2无关，三轴压缩和无关，三轴压缩和 伸长具有相同强度。伸长具有相同强度。 某一面上的抗剪强度转换为达到破坏时单元体主应力之间的关系某一面上的抗剪强度转换为达到破坏时单元体主应力之间的关系 ，即，即 1313 sincos 22 c jj 2 13 tan (45)2c tan(45) 22 oo jj 试验表明，试验表明， 3相同情况下，伸长试验所相同情况下，伸长试验所 得的强度常高于压缩试验测得的强度。得的强度常高于压缩试验测得的强度。 或或 若各主应力的大小不确定，则为若各主应力的大小不确定，则为6个面个面,它们它们 在主应力空间构成不等角的六角锥面。在主应力空间构成不等角的六角锥面。 7/22 1.2 1.2 常用破坏准则常用破坏准则 （4）拉德一邓肯（）拉德一邓肯（Lade - Duncan）准则）准则 破坏面：破坏面： 曲边三角形为底边的锥面。曲边三角形为底边的锥面。 根据砂土真三轴试验提出根据砂土真三轴试验提出 3 1 3 f I k I 3123 I 8/22 2.2.屈服准则屈服准则 （1）屈服函数）屈服函数 判定是否发生塑性变形的准则判定是否发生塑性变形的准则 () ij fk 与坐标方向无关的与坐标方向无关的 应力不变量的函数应力不变量的函数 与应力历史有关的与应力历史有关的 常数常数 9/22 1）对某个）对某个k值，屈服函数在应力空间对应一确定值，屈服函数在应力空间对应一确定 的曲面，称为屈服面的曲面，称为屈服面 当当k值变化时，值变化时，对应一系的屈服面对应一系的屈服面 2）理想弹塑性体）理想弹塑性体 k为不变的常数，屈服面为不变的常数，屈服面 为固定的曲面即破坏面为固定的曲面即破坏面 土体土体 按加荷按加荷屈服屈服发展发展破坏的模式破坏的模式 进行，进行，屈服和破坏是不同的阶段。屈服和破坏是不同的阶段。 k值变化值变化, 屈服面无数屈服面无数, 破坏面一个破坏面一个 3）k值与应力历史有关，加载、卸载将使值与应力历史有关，加载、卸载将使k值改变。值改变。 这种改变即是土体的硬化或软化这种改变即是土体的硬化或软化 由硬化规律描述由硬化规律描述 屈服形成规律：屈服形成规律： 10/22 2.2.屈服准则屈服准则 （2）屈服状态及其发展）屈服状态及其发展 1）df0，加载，应力增量的方向指向屈服面外部，加载，应力增量的方向指向屈服面外部，k值值 增大，产生新的塑性变形。增大，产生新的塑性变形。 3）df=0，中性变载，应力增量的方向与屈服面相切，中性变载，应力增量的方向与屈服面相切， 处于同一屈服面，不产生新的塑性变形。处于同一屈服面，不产生新的塑性变形。 11/22 2.2.屈服准则屈服准则 （3）屈服轨迹）屈服轨迹 金属材料金属材料： 屈服仅与塑性剪应变有关屈服仅与塑性剪应变有关 屈服面与破坏面相似，破坏面是屈服面与破坏面相似，破坏面是 最外层屈服面最外层屈服面 “开口型”锥面，开口型”锥面，p-q平面为向上平面为向上 斜线，除原点外不与斜线，除原点外不与p轴相交轴相交 土体材料土体材料： 屈服与屈服与p、q均有关均有关 屈服面与屈服面与p轴相交，形成轴相交，形成“帽盖型”帽盖型” “开口型”屈服面主要反映塑性剪切变开口型”屈服面主要反映塑性剪切变 形，形， “帽盖型帽盖型” 屈服面主要反映塑性体积屈服面主要反映塑性体积 变形，两者结合可形成双屈服面模型。变形，两者结合可形成双屈服面模型。 12/22 3.3.硬化规律硬化规律 当材料达到屈服后，屈服的标准将发生改变，即当材料达到屈服后，屈服的标准将发生改变，即k值发生变化。值发生变化。 k值随何种因素而变，如何变化，即为硬化规律。值随何种因素而变，如何变化，即为硬化规律。 ()kF H H为硬化参数，包括为硬化参数，包括 塑性变形或塑性功塑性变形或塑性功 屈服准则：屈服准则： ()() ij fkF H (,)0 ij fH或：或： 硬化型硬化型 软化型软化型 理想塑性理想塑性 13/22 硬化规律有如下两种假定：硬化规律有如下两种假定： （1）假定屈服面的中心不变，形状不变，其大小随硬化参数而变化。对）假定屈服面的中心不变，形状不变，其大小随硬化参数而变化。对 于硬化材料，屈服面不断扩大；而软化材料，屈服面可缩小。称为等向硬于硬化材料，屈服面不断扩大；而软化材料，屈服面可缩小。称为等向硬 化，相当于作了塑性变形各向同性的假定。化，相当于作了塑性变形各向同性的假定。 （2）假定屈服面）假定屈服面大小和形状都不变，硬化只是改变其位置，称为运动硬大小和形状都不变，硬化只是改变其位置，称为运动硬 化，或叫随动硬化。这种硬化是材料在反复的周期荷载作用下出现的硬化化，或叫随动硬化。这种硬化是材料在反复的周期荷载作用下出现的硬化 现象，在动力问题中需采用这种假定。现象，在动力问题中需采用这种假定。 主要硬化参数：主要硬化参数： (1) 塑性功塑性功Wp pp ijij Wde 在在p-q坐标系可表示为坐标系可表示为 vs ppp Wpdqdee (2) 塑性体积应变塑性体积应变 p v e以塑性体积应变为硬化参数相应的屈服面总是“帽以塑性体积应变为硬化参数相应的屈服面总是“帽 子”形的，能较好地反映土体的体积变形特征。子”形的，能较好地反映土体的体积变形特征。 14/22 (3) 塑性偏应变塑性偏应变 p s e 3 p ijpp ijijij d ded e e 2 3 pppp ssijij dde deee 1 0 ij ij ij (4) 塑性全应变塑性全应变 p e pppp ijij dddeeee (5) 、 的组合的组合 p v e p s e 15/22 4.4.流动法则流动法则 屈服函数和硬化规律屈服函数和硬化规律 判别屈服的标准以及屈服后这个标准如何发展判别屈服的标准以及屈服后这个标准如何发展 流动规则：流动规则：达到屈服以后应变增量各分量之间按什么比例变化达到屈服以后应变增量各分量之间按什么比例变化 用于确定塑性应变增量方向的假定。用于确定塑性应变增量方向的假定。 塑性势：塑性势：塑性变形即塑性流动，与其他性质的流动一样，可以看成是由于某种塑性变形即塑性流动，与其他性质的流动一样，可以看成是由于某种 势的不平衡所引起的，这种势称为塑性势。势的不平衡所引起的，这种势称为塑性势。 p ij ij g dde 米塞斯米塞斯(Mises)类比弹性应变增量可以用弹性位势函数对应力微分来表示的概类比弹性应变增量可以用弹性位势函数对应力微分来表示的概 念，提出了塑性势理论：念，提出了塑性势理论： 塑性势面：塑性势面：在应力空间内把塑性势相等的点连接起来，形成许多等势面，称为在应力空间内把塑性势相等的点连接起来，形成许多等势面，称为 塑性势面塑性势面 v p p s g dd p g dd q e e 在在p-q平面内可表示出塑性势线平面内可表示出塑性势线 ： 几个概念几个概念 16/22 二种流动规则假定：二种流动规则假定： 1. 相关联的流动规则相关联的流动规则 假定塑性势函数假定塑性势函数g与屈服函数与屈服函数f一致，一致， 屈服面就是塑性势面。屈服面就是塑性势面。 ijij gf ijij fg 。 2. 不相关联的流动法则（不相关联的流动法则（nonassociated flow rule） 德洛克公设不适用，荷载增量做了负功。德洛克公设不适用，荷载增量做了负功。 “软化型”不符合德洛克公设。应力达到
