2020版人教A版数学选修4-4同步配套练习：第二讲 参数方程 2.4 Word版含解析

四渐开线与摆线课时过关·能力提升基础巩固1若基圆的直径为5,则其渐开线的参数方程为()A.x=5(cos-sin),y=5(sin-cos)(为参数)B.x=5(t-tcos),y=5(1-sin)(t为参数)C.x=52(cos+sin),y=52(sin-cos)(为参数)D.x=52(sin-cos),y=52(cos-sin)(为参数)解析因为基圆的直径为5,所以它的半径为52.代入圆的渐开线的参数方程,知选项C正确.答案C2给出下列说法:圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程;圆的渐开线的参数方程也可以转化为普通方程,但是转化后的普通方程比较麻烦,且不容易看出坐标之间的关系,所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题;在求圆的摆线和渐开线方程时,如果建立的坐标系的原点和坐标轴不同,可能会得到不同的参数方程;圆的渐开线和x轴一定有交点而且是唯一的交点.其中正确的说法有()A.B.C.D.解析对于一个圆,只要半径确定,渐开线和摆线的形状就是确定的,但是随着坐标系选择的不同,其在坐标系中的位置也会不同,相应的参数方程也会有所区别,至于渐开线和坐标轴的交点要看选取的坐标系的位置.答案C3下列各点中,在圆的摆线x=-sin,y=1-cos(为参数)上的是()A.(,0)B.(,1)C.(2,2)D.(2,0)答案D4当=2时,圆的渐开线x=11(cos+sin),y=11(sin-cos)(为参数)上的点是()A.(11,0)B.(11,11)C.(11,-22)D.(-,22)解析当=2时,代入圆的渐开线方程,得x=11(cos 2+2·sin 2)=11,y=11(sin 2-2·cos 2)=-22.故所求点为(11,-22).答案C5已知圆的渐开线的参数方程是x=cos+sin,y=sin-cos(为参数),则此渐开线对应的基圆的直径是,当参数=4时对应的曲线上的点的坐标为. 解析由圆的渐开线的参数方程不难看出基圆的半径为1,故直径为2.把=4代入渐开线的参数方程,得x=22+28,y=22-28,由此可得对应点的坐标为22+28,22-28.答案222+28,22-286已知渐开线x=6(cos +sin),y=6(sin-cos)(为参数)的基圆的圆心为原点,把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),得到的曲线的焦点坐标为. 解析根据圆的渐开线方程可知基圆的半径r=6,其方程为x2+y2=36,把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),得到的曲线的方程为12x2+y2=36,整理可得x2144+y236=1,这是一个焦点在x轴上的椭圆.c=a2-b2=144-36=63,故焦点坐标为(63,0)和(-63,0).答案(63,0)和(-63,0)7当=2时,圆的摆线x=4-4sin,y=4-4cos(为参数)上对应的点的坐标是. 解析把=2代入参数方程求解即可.答案(2-4,4)8求摆线x=2(t-sint),y=2(1-cost)(t为参数,0t2)与直线y=2的交点的直角坐标.解当y=2时,2=2(1-cos t),cos t=0.0t2,t=2或32.x1=22-sin2=-2,x2=232-sin32=3+2.故交点坐标为(-2,2),(3+2,2).能力提升1已知圆的摆线的参数方程为x=2(-sin),y=2(1-cos)(为参数),则它的一个拱的宽度和高度分别为()A.4,2B.2,4C.2,2D.4,4解析由摆线的参数方程可知,产生摆线的圆的半径r=2,又由摆线的产生过程可知,摆线一个拱的宽度等于圆的周长,即为2r=4,摆线的拱高等于圆的直径4.答案D2已知一个圆的参数方程为x=3cos,y=3sin(为参数),则在圆的摆线的参数方程中与参数=2对应的点A与点B32,2之间的距离为()A.2-1B.2C.10D.32-1解析根据圆的参数方程可知,圆的半径为3,则它的摆线的参数方程为x=3(-sin),y=3(1-cos)(为参数).把=2代入参数方程,得x=32-1,y=3,即A32-3,3,所以|AB|=32-3-322+(3-2)2=10.答案C3如图,四边形ABCD是边长为1的正方形,曲线AEFGH叫做“正方形的渐开线”,其中AE,EF,FG,GH的圆心依次按B,C,D,A循环,它们依次相连接,则曲线段AEFGH的长是()A.3B.4C.5D.6解析根据渐开线的定义可知,AE是半径为1的14圆周长,长度为2,继续旋转可得EF是半径为2的14圆周长,长度为;FG是半径为3的14圆周长,长度为32;GH是半径为4的14圆周长,长度为2.所以曲线段AEFGH的长是5.答案C4已知一个圆的摆线方程是x=4-4sin,y=4-4cos(为参数),则该圆的面积为,对应圆的渐开线的参数方程为. 答案16x=4cos+4sin,y=4sin-4cos(为参数)5已知圆C的参数方程是x=1+6cos,y=-2+6sin(为参数),直线l的普通方程是x-y-62=0.(1)如果把圆心平移到原点O,请问平移后圆和直线有什么位置关系?(2)写出平移后圆的渐开线的参数方程.解(1)圆C平移后圆心为O(0,0),它到直线x-y-62=0的距离为d=622=6,等于圆的半径,所以直线和圆相切.(2)由圆的半径是6,得渐开线的参数方程是x=6cos+6sin,y=6sin-6cos(为参数).6已知圆的渐开线x=r(cos+sin),y=r(sin-cos)(为参数,02)上有一点的坐标为(3,0),求渐开线对应的基圆的面积.解把已知点(3,0)代入参数方程得3=r(cos+sin),0=r(sin-cos),解得=0,r=3.所以基圆的面积S=r2=×32=9.7已知渐开线x=7(cos+sin),y=7(sin-cos)(为参数),当为2和32时,对应的点为A,B,求出A,B的坐标及A,B两点间的距离.解把=2,32代入渐开线x=7(cos+sin),y=7(sin-cos),得A,B两点的坐标分别为72,7和-212,-7.根据两点间的距离公式可得|AB|=72+2122+(7+7)2=141+2.8已知半径为8的圆沿x轴正向滚动,开始时圆与x轴相切于原点O,记圆上动点为M,它随圆的滚动而改变位置,写出圆滚动一周时点M的轨迹方程,画出相应的曲线,求此曲线上点的纵坐标y的最大值,说明该曲线的对称轴.解点M的轨迹的参数方程为x=8(t-sint),y=8(1-cost)(t为参数,0t2).点M的轨迹曲线如图所示.由图可知,当t=,即x=8时,y有最大值16.曲线的对称轴为x=8.