2018-2019第10届希望杯全国数学邀请赛试题 初中二年级 第2试含答案

初中二年级 第试 一、 选择题 下列五个多项式： ； ； （）（） ； （）（ ） ； （） 其中在有理数范围内可以进行因式分解的有 （ ） （），（ ）， （），（）， 关于，的方程 的正整数解 有（ ） （） 组 （ ）组 （） 组 （） 组 已知实数满足条件槡 ， 那么 （ ）槡 （ ）槡 的值等于（ ） （） （ ） （）（） 已知，为正数， 且 ， 若 ， 槡 槡 槡 ， 则 与的大 小关系是（ ） 图 （） （ ） （） （）随， ，的取值而变化 如图， 凸五边形 中， °， ， 则 图 等于（ ） （） ° （） ° （） ° （） ° 如图， 四边形 中， ， 则 四边形 中， 最大的内角 的度数是（ ） （） ° （ ） ° （） ° （） ° 图 如图， 四边形 中， ，分别是 ， 的中点， ， 的 延长线 分别 与 的延长线交于，则 （ ） （） （ ） （） （）与 的大小关系不确定 等腰三角形的一条腰上的高等于该三角 形某一 条 边 的 长 度 的 一 半，则 其 顶 角 等 于 （ ） （） ° （ ） °或 ° （） °或 ° （） °或 °或 ° 图 如图， 正方形 中， ， 是 的中点， 设 ， 在 上取一 点 ， 使 ， 则 的 长度等于（ ） （） （ ） （） （）槡 三个整数，的和是的倍数， 那么 它们的立方和被除， 得到的余数是（ ） （） （ ） （） （）不确定的 二、 填空题 分解因式： （ ） （ ） （） 已知， ， 且 ， 那 么 如果 槡 槡 ， 那么 槡 · · 槡 若 ， 那么 图 如图 ，直角三角形 中， °， °，是 的 中 点， 交 于， 连接 ， 则 图 如图，在线段 上， 在 的同侧作等边三角 形 和 ，连 接 ， ， 若 ° ， 则 某个质数， 当它分别加上， ， 之 后还是质数， 那么这个质数是 有个整数， 它们都不是的倍数， 那 么它们的次方的和被 除， 得到的余数是 数 能被 与 之间的若干整 数整 除，请 找 出 三 个 这 样 的 整 数，它 们 是 有若干个相同的球， 已知总数大于 ， 在桌子上恰能摆成一个正方形方阵， 从这些球 中去掉 个球后， 可以摆成一个等腰梯形阵， 在这个等腰梯形阵中， 每一行的球数都比下一 行的球数少， 而每腰上的球数比正方形每边 的球数少， 梯形较大的底上的球数是每腰上 球数的倍， 那么球的总数是 三、 解答题 要求： 写出简要步骤 求自然数对（ ，） ， 同时满足条件： （ ） 槡 ； （ ） （ 槡） 图 如图， 等腰梯形 中， ， 对角线 、 相 交于， ° ， 点 ， 分别是 ， ， 的中点， （ ）求证 是等边三角 形； （ ）若 ， ， 求 的面 积； （ ）若 的面积与 的面积的 比是， 求梯形上、 下两底的比 答·提示 一、 选择题 题号 答案 提示： 式（ ） 式（）（） （） （） （） 式（） （） （） （） 所以，、 、式合乎要求 选（） 因为 × × ×， 又 所以 × × ×， 且， 为正整数 所以 ， ， ， ， 共四组正整数解 选（） 由 槡 ， 所以（槡） 所以 槡 （槡） ， 所以 ， ， 所以原式（）（） 选（） 由题意有 槡 槡 槡 槡 （） 槡 （） 槡 （） · · 槡 槡 （） 槡 槡 （） 槡 槡 （） 又因为， 所以 槡 槡 （） ， 槡 槡 （） ， 槡 槡 （） ， 所以 ， 选（） 图 如图， 作等边 ， 连 接 、 所以 又 ° ° °， ° 所以 和 均为等边三角形 所以、三点共线， 所以 是等边三角形 ° 选（） 四边形 中， 所以 ° ° ° ° 在 中， ， 所以 在 中， ， 所以 所以 ° ， 所以 °， 所以 ° 即最大内角是 ° 图 选（） 如图， 连接 ， 取 的 中点， 连接 、 在 中，分别是 ， 的中点 所以 瓛 ， 同理， 中， 是中位线， 所以 瓛 因为 ， 所以 ， 所以 ， 因为 ， 所以 ， 因为 ， 所以 ， 所以 选（） 如图 （） ， 等腰 中， 是腰 上的高， 若 ， 则 ° 如图 （） ， 等腰 中， 是腰 上的高， 若 ， 则 °， °× ° ° 如图 （） ， 等腰 中， 是腰 上的高， 若 ， 则 °， ° 所以顶角等于 °或 °或 ° 选（） 图 图 如图 ， 取 中点， 自作 ，为垂足， 连 接 ， 因为，分别为 ， 的中 点， 所以 所以 ， · · 又 ， 所以 在 与 中， ， ， 所以 所以 ， 在 与 中， ， ， 所以 ， 所以 ， 所以 ， 分别是 和 的平分线， 所以 ， ° 所以 所以 所以 所以 选（） （） （） （） （） （） （） （） （ ） 所以 （） （ ） 又，为整数且是的倍数， 所以， ，中至少有一个为偶数， 否则为奇 数 所以 能被整除 所以 能被整除 选（） 二、 填空题 题号 答案（ ） （ ） 题号 答案