2020高考数学（文）大一轮精讲练精练：第三章 三角函数、解三角形 课下层级训练23含解析

课下层级训练(二十三)应用举例 A级基础强化训练1.如图，两座灯塔A和B与河岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的()A北偏东10°B北偏西10°C南偏东80° D南偏西80°D由条件及题图可知，AB40°，又BCD60°，所以CBD30°，所以DBA10°，因此灯塔A在灯塔B南偏西80°.2(2019·湖北十堰调研)已知A，B两地间的距离为10 km，B，C两地间的距离为20 km，现测得ABC120°，则A，C两地间的距离为()A10 km B10 kmC10 km D10 kmD如图所示，由余弦定理可得，AC21004002×10×20×cos 120°700，AC10.3.(2019·河南郑州月考)如图所示，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得BCD15°，BDC30°，CD30，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB等于() A5 B15C5 D15D在BCD中，CBD180°15°30°135°. 由正弦定理得，所以BC15. 在RtABC中，ABBCtanACB15×15.4一艘海轮从A处出发，以每小时40 n mile的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是()A10 n mile B10 n mileC20 n mile D20 n mileA画出示意图如图所示，易知，在ABC中，AB20 n mile，CAB30°，ACB45°，根据正弦定理得，解得BC10 n mile.5.如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m,50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为()A30°B45°C60°D75°B依题意可得AD20，AC30，又CD50，所以在ACD中，由余弦定理得cosCAD，又0°<CAD<180°，所以CAD45°，所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.6轮船A和轮船B在中午12时同时离开海港C，两船航行方向的夹角为120°，两船的航行速度分别为25 n mile/h,15 n mile/h，则下午2时两船之间的距离是_n mile.70设两船之间的距离为d，则d25023022×50×30×cos 120°4 900，d70，即两船相距70 n mile.7一船以每小时15 km的速度向正东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60°方向，行驶4 h后，船到B处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为_km.30如图所示，依题意有：AB15×460，MAB30°，AMB45°，在AMB中，由正弦定理得，解得BM30(km)8(2018·福建福州质检)如图，小明同学在山顶A处观测到，一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°，45°，且BAC135°.若山高AD100 m，汽车从B点到C点历时14 s，则这辆汽车的速度为_ m/s(精确到0.1)参考数据：1.414，2.236.226由题意可得AB200，AC100，在ABC中，由余弦定理可得BC2AB2AC22AB·AC·cosBAC105，则BC100141.4×2.236，又历时14 s，所以速度为22.6 m/s.9(2019·山西监测)如图，点A，B，C在同一水平面上，AC4，CB6. 现要在点C处搭建一个观测站CD，点D在顶端(1)原计划CD为铅垂线方向，45°，求CD的长；(2)搭建完成后，发现CD与铅垂线方向有偏差，并测得30°，53°，求CD2.(结果精确到1)(本题参考数据：sin 97°1，cos 53°0.6)解(1)CD为铅垂线方向，点D在顶端，CDAB 又45°，CDAC4.(2)在ABD中，53°30°83°，ABACCB4610，ADB180°83°97°，由得AD5.在ACD中，CD2AD2AC22AD·ACcos 52422×5×4×cos 53°17.10.已知在东西方向上有M，N两座小山，山顶各有一个发射塔A，B，塔顶A，B的海拔高度分别为AM100 m和BN200 m，一测量车在小山M的正南方向的点P处测得发射塔顶A的仰角为30°，该测量车向北偏西60°方向行驶了100 m后到达点Q，在点Q处测得发射塔顶B处的仰角为，且BQA，经测量tan 2，求两发射塔顶A，B之间的距离解在RtAMP中，APM30°，AM100，PM100，在PQM中，QPM60°，又PQ100，PQM为等边三角形，QM100.在RtAMQ中，由AQ2AM2QM2，得AQ200.在RtBNQ中，tan 2，BN200，BQ100，cos .在BQA中，BA2BQ2AQ22BQ·AQcos (100)2，BA100.即两发射塔顶A，B之间的距离是100 m.B级能力提升训练11(2019·广东广州调研)如图所示长为3.5 m的木棒AB斜靠在石堤旁，木棒的一端A在离堤足C处1.4 m的地面上，另一端B在离堤足C处2.8 m的石堤上，石堤的倾斜角为，则坡度值tan 等于()ABCDA由题意，可得在ABC中，AB3.5 m，AC1.4 m，BC2.8 m，且ACB.由余弦定理，可得AB2AC2BC22×AC×BC×cosACB，即3.521.422.822×1.4×2.8×cos()，解得cos ，所以sin ，所以tan .12.(2019·湖北武昌调研)如图，据气象部门预报，在距离某码头南偏东45°方向600 km处的热带风暴中心正以20 km/h的速度向正北方向移动，距风暴中心450 km以内的地区都将受到影响，则该码头将受到热带风暴影响的时间为()A14 h B15 h C16 h D17 hB记现在热带风暴中心的位置为点A，t小时后热带风暴中心到达B点位置，在OAB中，OA600，AB20t，OAB45°，根据余弦定理得OB26002400t22×20t×600×，令OB24502，即4t2120t1 5750，解得t，所以该码头将受到热带风暴影响的时间为15(h)13.(2018·福建泉州模拟)如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD已知某人从O沿OD走到D用了2分钟，从D沿DC走到C用了3分钟若此人步行的速度为每分钟50 m，则该扇形的半径为_ m.50如图，连接OC，在OCD中，OD100，CD150，CDO60°.由余弦定理得OC2100215022×100×150×cos 60°17 500，解得OC50.14如图，航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的飞行高度为10 000 m，速度为50 m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15°，经过420 s后看山顶的俯角为45°，则山顶的海拔高度为_m.(取1.4，1.7)2 650如图，作CD垂直于AB的延长线于点D，由题意知A15°，DBC45°，ACB30°，AB50×42021 000(m)又在ABC中，BC×sin 15°10 500()CDAD，CDBC·sinDBC10 500()×10 500(1)7 350.故山顶的海拔高度h10 0007 3502 650(m)15.如图所示，在一条海防警戒线上的点A，B，C处各有一个水声监测点，B，C两点到点A的距离分别为20 km和50 km.某时刻，B收到发自静止目标P的一个声波信号，8 s后A，C同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是1.5 km/s.(1)设A到P的距离为x km，用x表示B，C到P的距离，并求x的值；(2)求静止目标P到海防警戒线AC的距离解(1)依题意，有PAPCx，PBx1.5×8x12.在PAB中，AB20，cosPAB.同理，在PAC中，AC50，cosPAC.因为cosPABcosPAC，所以，解得x31.(2)作PDAC于点D，在ADP中，由cosPAD，得sinPAD，所以PDPAsinPAD31×4(km)故静止目标P到海防警戒线AC的距离为4 km.16某高速公路旁边B处有一栋楼房，某人在距地面100 m的32楼阳台A处，用望远镜观测路上的车辆，上午11时测得一客车位于楼房北偏东15°方向上，且俯角为30°的C处，10 s后测得该客车位于楼房北偏西75°方向上，且俯角为45°的D处(假设客车匀速行驶)(1)如果此高速路段限速80 km/h，试问该客车是否超速？(2)又经过一段时间后，客车到达楼房的正西方向E处，问此时客车距离楼房多远？解(1)在RtABC中，BAC60°，AB100 m，则BC100 m.在RtABD中，BAD45°，AB100 m，则BD100 m.在BCD中，DBC75°15°90°，则DC200 m，所以客车的速度v20 m/s72 km/h，所以该客车没有超速(2)在RtBCD中，BCD30°，又因为DBE15°，所以CBE105°，所以CEB45°.在BCE中，由正弦定理可知，所以EB50 m，即此时客车距楼房50 m.