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2020高考数学(文)大一轮精讲练精练:第三章 三角函数、解三角形 课下层级训练23含解析

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    • 1、课下层级训练(二十三)应用举例 A级基础强化训练1.如图,两座灯塔A和B与河岸观察站C的距离相等,灯塔A在观察站南偏西40,灯塔B在观察站南偏东60,则灯塔A在灯塔B的()A北偏东10B北偏西10C南偏东80 D南偏西80D由条件及题图可知,AB40,又BCD60,所以CBD30,所以DBA10,因此灯塔A在灯塔B南偏西80.2(2019湖北十堰调研)已知A,B两地间的距离为10 km,B,C两地间的距离为20 km,现测得ABC120,则A,C两地间的距离为()A10 km B10 kmC10 km D10 kmD如图所示,由余弦定理可得,AC210040021020cos 120700,AC10.3.(2019河南郑州月考)如图所示,测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D,测得BCD15,BDC30,CD30,并在点C测得塔顶A的仰角为60,则塔高AB等于() A5 B15C5 D15D在BCD中,CBD1801530135. 由正弦定理得,所以BC15. 在RtABC中,ABBCtanACB1515.4一艘海轮从A处出发,以每小时40 n mile的速

      2、度沿南偏东40的方向直线航行,30分钟后到达B处,在C处有一座灯塔,海轮在A处观察灯塔,其方向是南偏东70,在B处观察灯塔,其方向是北偏东65,那么B,C两点间的距离是()A10 n mile B10 n mileC20 n mile D20 n mileA画出示意图如图所示,易知,在ABC中,AB20 n mile,CAB30,ACB45,根据正弦定理得,解得BC10 n mile.5.如图,两座相距60 m的建筑物AB,CD的高度分别为20 m,50 m,BD为水平面,则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为()A30B45C60D75B依题意可得AD20,AC30,又CD50,所以在ACD中,由余弦定理得cosCAD,又0CAD180,所以CAD45,所以从顶端A看建筑物CD的张角为45.6轮船A和轮船B在中午12时同时离开海港C,两船航行方向的夹角为120,两船的航行速度分别为25 n mile/h,15 n mile/h,则下午2时两船之间的距离是_n mile.70设两船之间的距离为d,则d250230225030cos 1204 900,d70,即两船相距70 n mi

      3、le.7一船以每小时15 km的速度向正东航行,船在A处看到一个灯塔M在北偏东60方向,行驶4 h后,船到B处,看到这个灯塔在北偏东15方向,这时船与灯塔的距离为_km.30如图所示,依题意有:AB15460,MAB30,AMB45,在AMB中,由正弦定理得,解得BM30(km)8(2018福建福州质检)如图,小明同学在山顶A处观测到,一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶,小明在A处测得公路上B,C两点的俯角分别为30,45,且BAC135.若山高AD100 m,汽车从B点到C点历时14 s,则这辆汽车的速度为_ m/s(精确到0.1)参考数据:1.414,2.236.226由题意可得AB200,AC100,在ABC中,由余弦定理可得BC2AB2AC22ABACcosBAC105,则BC100141.42.236,又历时14 s,所以速度为22.6 m/s.9(2019山西监测)如图,点A,B,C在同一水平面上,AC4,CB6. 现要在点C处搭建一个观测站CD,点D在顶端(1)原计划CD为铅垂线方向,45,求CD的长;(2)搭建完成后,发现CD与铅垂线方向有偏差,并测得30,53,

      4、求CD2.(结果精确到1)(本题参考数据:sin 971,cos 530.6)解(1)CD为铅垂线方向,点D在顶端,CDAB 又45,CDAC4.(2)在ABD中,533083,ABACCB4610,ADB1808397,由得AD5.在ACD中,CD2AD2AC22ADACcos 5242254cos 5317.10.已知在东西方向上有M,N两座小山,山顶各有一个发射塔A,B,塔顶A,B的海拔高度分别为AM100 m和BN200 m,一测量车在小山M的正南方向的点P处测得发射塔顶A的仰角为30,该测量车向北偏西60方向行驶了100 m后到达点Q,在点Q处测得发射塔顶B处的仰角为,且BQA,经测量tan 2,求两发射塔顶A,B之间的距离解在RtAMP中,APM30,AM100,PM100,在PQM中,QPM60,又PQ100,PQM为等边三角形,QM100.在RtAMQ中,由AQ2AM2QM2,得AQ200.在RtBNQ中,tan 2,BN200,BQ100,cos .在BQA中,BA2BQ2AQ22BQAQcos (100)2,BA100.即两发射塔顶A,B之间的距离是100 m.B级

      5、能力提升训练11(2019广东广州调研)如图所示长为3.5 m的木棒AB斜靠在石堤旁,木棒的一端A在离堤足C处1.4 m的地面上,另一端B在离堤足C处2.8 m的石堤上,石堤的倾斜角为,则坡度值tan 等于()ABCDA由题意,可得在ABC中,AB3.5 m,AC1.4 m,BC2.8 m,且ACB.由余弦定理,可得AB2AC2BC22ACBCcosACB,即3.521.422.8221.42.8cos(),解得cos ,所以sin ,所以tan .12.(2019湖北武昌调研)如图,据气象部门预报,在距离某码头南偏东45方向600 km处的热带风暴中心正以20 km/h的速度向正北方向移动,距风暴中心450 km以内的地区都将受到影响,则该码头将受到热带风暴影响的时间为()A14 h B15 h C16 h D17 hB记现在热带风暴中心的位置为点A,t小时后热带风暴中心到达B点位置,在OAB中,OA600,AB20t,OAB45,根据余弦定理得OB26002400t2220t600,令OB24502,即4t2120t1 5750,解得t,所以该码头将受到热带风暴影响的时间为15(h

      6、)13.(2018福建泉州模拟)如图,某住宅小区的平面图呈圆心角为120的扇形AOB,C是该小区的一个出入口,且小区里有一条平行于AO的小路CD已知某人从O沿OD走到D用了2分钟,从D沿DC走到C用了3分钟若此人步行的速度为每分钟50 m,则该扇形的半径为_ m.50如图,连接OC,在OCD中,OD100,CD150,CDO60.由余弦定理得OC2100215022100150cos 6017 500,解得OC50.14如图,航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内,已知飞机的飞行高度为10 000 m,速度为50 m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15,经过420 s后看山顶的俯角为45,则山顶的海拔高度为_m.(取1.4,1.7)2 650如图,作CD垂直于AB的延长线于点D,由题意知A15,DBC45,ACB30,AB5042021 000(m)又在ABC中,BCsin 1510 500()CDAD,CDBCsinDBC10 500()10 500(1)7 350.故山顶的海拔高度h10 0007 3502 650(m)15.如图所示,在一条海防警戒线上的点A,B,C处各有一个

      7、水声监测点,B,C两点到点A的距离分别为20 km和50 km.某时刻,B收到发自静止目标P的一个声波信号,8 s后A,C同时接收到该声波信号,已知声波在水中的传播速度是1.5 km/s.(1)设A到P的距离为x km,用x表示B,C到P的距离,并求x的值;(2)求静止目标P到海防警戒线AC的距离解(1)依题意,有PAPCx,PBx1.58x12.在PAB中,AB20,cosPAB.同理,在PAC中,AC50,cosPAC.因为cosPABcosPAC,所以,解得x31.(2)作PDAC于点D,在ADP中,由cosPAD,得sinPAD,所以PDPAsinPAD314(km)故静止目标P到海防警戒线AC的距离为4 km.16某高速公路旁边B处有一栋楼房,某人在距地面100 m的32楼阳台A处,用望远镜观测路上的车辆,上午11时测得一客车位于楼房北偏东15方向上,且俯角为30的C处,10 s后测得该客车位于楼房北偏西75方向上,且俯角为45的D处(假设客车匀速行驶)(1)如果此高速路段限速80 km/h,试问该客车是否超速?(2)又经过一段时间后,客车到达楼房的正西方向E处,问此时客车距离楼房多远?解(1)在RtABC中,BAC60,AB100 m,则BC100 m.在RtABD中,BAD45,AB100 m,则BD100 m.在BCD中,DBC751590,则DC200 m,所以客车的速度v20 m/s72 km/h,所以该客车没有超速(2)在RtBCD中,BCD30,又因为DBE15,所以CBE105,所以CEB45.在BCE中,由正弦定理可知,所以EB50 m,即此时客车距楼房50 m.

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