2019年高考数学艺术生百日冲刺专题12椭圆测试题 含答案解析

专题12椭圆测试题【高频考点】本知识涉及椭圆的定义，标准方程以及简单的几何性质的应用，直线与椭圆的位置关系。【考情分析】本阶段是高考考查重点内容之一，涉及客观题和解答题，客观题主要考查椭圆方程的求解，椭圆的几何性质等，难度中等，在解答题中多以椭圆为载体，考查直线与椭圆的位置关系 ，定值定点，以及最值问题，常常以探索性问题形式出现，难度较大。【重点推荐】基础卷第11题，数学文化题，第22题考察与不等式的交汇，考察综合解决问题的能力。一 选择题1. 方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围为（）A（1，+）B（，1C（0，1）D（1，0）【答案】C【解析】：方程表示焦点在x轴上的椭圆，可得m（0，1）故选：C2. 设P是椭圆=1上的动点，则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为（）A2B2C2D4【答案】：C【解析】椭圆=1的焦点坐标在x轴，a=，P是椭圆=1上的动点，由椭圆的定义可知：则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为2a=2 故选：C3. 设F1、F2是椭圆的两个焦点，点P为椭圆上的点，且|F1F2|=8，|PF1|+|PF2|=10，则椭圆的短轴长为（）A6B8C9D10【答案】：A【解析】设F1、F2是椭圆的两个焦点，点P为椭圆上的点，且|F1F2|=8，可得c=4，|PF1|+|PF2|=10，可得a=5，则椭圆的短轴长为：2b=2=6故选：A4. （2018大连二模）设椭圆的左焦点为F，直线l：y=kx（k0）与椭圆C交于A，B两点，则|AF|+|BF|的值是（）A2BC4D【答案】：C【解析】如图，设F2是椭圆的右焦点，O点为AB的中点，丨OF丨=丨OF2丨，则四边形AFBF2是平行四边形，AF=BF2|AF|+|BF|=丨BF丨+丨BF2丨=2a=4，故选：C5若点F1，F2为椭圆的焦点，P为椭圆上的点，满足F1PF2=90°，则F1PF2的面积为（）A1B2CD4【答案】：A6. （2018齐齐哈尔二模）已知椭圆+=1（ab0）的离心率为，短轴长大于2，则该椭圆的长轴长的取值范围是（） A（2，+）B（4，+）C（2，4）D（4，8）【答案】：B【解析】根据题意，椭圆+=1（ab0）的离心率为，即e=，则c=a，又由椭圆短轴长大于2，即2b2，则b1，则有a2c2=b21，即1，解可得a2，则该椭圆的长轴长2a4，即该椭圆的长轴长的范围为（4，+）；故选：B7. （2018大连二模）设椭圆的左焦点为F，直线l：y=kx（k0）与椭圆C交于A，B两点，则AFB周长的取值范围是（）A（2，4）BC（6，8）D（8，12）【答案】：C【解析】椭圆的左焦点为F（，0），右焦点F2（，0），直线l：y=kx（k0）与椭圆C交于A，B两点，连结BF2，则AF=BF2，AB=2OB，由一的定义可知：BF+BF2=2a=4，OB（1，2），则AFB周长的取值范围是（6，8）故选：C 15. 设圆（x+1）2+y2=25的圆心为C，A（1，0）是圆内一定点，Q为圆周上任一点，线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为【答案】：【解析】由圆的方程可知，圆心C（1，0），半径等于5，设点M的坐标为（x，y ），AQ的垂直平分线交CQ于M，|MA|=|MQ| 又|MQ|+|MC|=半径5，|MC|+|MA|=5|AC|依据椭圆的定义可得，点M的轨迹是以 A、C 为焦点的椭圆，且2a=5，c=1，b=，故椭圆方程为 +=1，即 +=1故答案为：16（2018西宁二模）已知椭圆C：=1，F1，F2是该椭圆的左右焦点，点A（4，1），P是椭圆上的一个动点，当APF1的周长取最大值时，APF1的面积为【答案】：【解析】：如图所示，由椭圆C=1可得a=5，右焦点F2（4，0）|F1F2|=8|PF1|+|PF2|=2a=10，|PF1|+|PA|=10|PF2|+|PA|10+|AF2|APF1的周长取最大值时，三点P、A、F2共线，且点P在第四象限，此时F1F2AP，|PF2|=，APF1的面积S=|F1F2|×|PA|=故答案为：三.解答题17. 已知椭圆的离心率为，其中左焦点F(-2,0).（1） 求椭圆C的方程；（2） 若直线y=x+m与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点M在圆x2+y2=1上，求m的值. 【解析】：（1） 由题意，得解得椭圆C的方程为.5分（2） 设点A、B的坐标分别为（x1,y1),(x2,y2)，线段AB的中点为M(x0,y0)，由消y得，3x2+4mx+2m2-8=0,=96-8m20,-2m2.8分.点M(x0,y0)在圆x2+y2=1上，.10分18. （2018广陵区校级四模）已知椭圆C：（ab0）的左焦点为F，上顶点为A，直线AF与直线x+y3垂直，垂足为B，且点A是线段BF的中点（1）求椭圆C的方程；（2）若M，N分别为椭圆C的左，右顶点，P是椭圆C上位于第一象限的一点，直线MP与直线x=4交于点Q，且=9，求点P的坐标【分析】（1）由直线AF与直线x+y3垂直，可得：=1，则直线AF的方程为：y=x+c与椭圆方程联立可得B（，），于是c=0，解得c，即可得出椭圆方程（2）设P（x0，y0），则直线MP的方程为y=（x+2），可得Q.9=2（x0+2）+，由点P在椭圆上可得：=2，代入解出即可得出（2）设P（x0，y0），则直线MP的方程为y=（x+2），Q9=2（x0+2）+，7分由点P在椭圆上可得：=2，代入可得：9=2（x0+2）+，化为：+x02=0，解得x0=1或2（舍），P12分19. （2018江苏一模）已知椭圆C：（ab0）经过点，点A是椭圆的下顶点（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点A且互相垂直的两直线l1，l2与直线y=x分别相交于E，F两点，已知OE=OF，求直线l1的斜率【分析】（1）根据题意，将两点的坐标代入椭圆的方程有，解可得、的值，即可得椭圆的方程；（2）设直线l1：y=k1x1，与直线y=x联立方程有，可得E的坐标，设直线l2：，同理可得F的坐标，又由OE=OF，所以，解可得k的值，即可得答案【解析】：（1）根据题意，椭圆C：（ab0）经过点，则有，解得，3分 所以椭圆C的标准方程为；5分（2）由题意知A（0，1），直线l1，l2的斜率存在且不为零，设直线l1：y=k1x1，与直线y=x联立方程有，得，设直线l2：，同理，7分 因为OE=OF，所以，无实数解；，解得，综上可得，直线l1的斜率为12分20 （2018辽宁模拟）已知M（）是椭圆C：（ab0）上的一点，F1F2是该椭圆的左右焦点，且|F1F2|=2（1）求椭圆C的方程；（2）设点A，B是椭圆C上与坐标原点O不共线的两点，直线OA，OB，AB的斜率分别为k1，k2，k3，且k1k2=k2试探究|OA|2+|OB|2是否为定值，若是，求出定值，若不是，说明理由【分析】（1）根据椭圆的定义及椭圆的性质，即可求得a和b的值，即可求得椭圆方程；（2）设直线AB的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及直线的斜率公式，求得k2=，即可求得|OA|2+|OB|2=5为定值【解析】：（1）由题意，F1（，0），F2（，0），根据椭圆定义|PF1|+|PF2|=2a，所以2a=+=4，所以a2=4，b2=a2c2=1椭圆C的方程；5分（2）设直线AB：y=kx+m，（km0），A（x1，y1），B（x2，y2），由，消去y得（1+4k2）x2+8kmx+4m24=0，=（8km）24（1+4k2）（4m24）0，x1+x2=，x1x2=，因为k1k2=k2，所以=k2，即km（x1+x2）+m2=0（m0），解得k2=，8分|OA|2+|OB|2=x12+x22+y12+y22=（x1+x2）22x1x2+2=5， 所以|OA|2+|OB|2=5为定值12分21. （2018南充模拟）已知椭圆C：+=1（ab0）的离心率为，点M（2，1）在椭圆C上（1）求椭圆C的方程；（2）直线l平行于OM，且与椭圆C交于A，B两个不同的点，若AOB为钝角，求直线l在y轴上的截距m的取值范围【分析】（1）由椭圆C：+=1（ab0）的离心率为，点M（2，1）在椭圆C上，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C的方程（2）设l的方程为y=x+m，再与椭圆方程联立，将AOB为钝角，转化为0，且m0，利用韦达定理，即可求出直线l在y轴上的截距m的取值范围【解析】：（1）椭圆C：+=1（ab0）的离心率为，点M（2，1）在椭圆C上，解得a=2，b=，c=，3分椭圆C的方程为=15分 （2）由直线l平行于OM，得直线l的斜率k=kOM=，又l在y轴上的截距为m，l的方程为y=由，得x2+2mx+2m24=08分又直线l与椭圆交于A、B两个不同点，=（2m）24（2m24）0，于是2m2AOB为钝角等价于0，且m0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则=x1x2+y1y2=，由韦达定理x1+x2=2m，x1x2=2m24，代入上式，化简整理得m22，即，故所求范围是（）（0，）12分22. （2018聊城一模）已知圆x2+y2=4经过椭圆C：的两个焦点和两个顶点，点A（0，4），M，N是椭圆C上的两点，它们在y轴两侧，且MAN的平分线在y轴上，|AM|AN|（）求椭圆C的方程；（）证明：直线MN过定点【分析】（）根据题意，由圆的方程分析可得椭圆的焦点和顶点坐标，即可得c、b的值，由椭圆的几何性质计算可得a的值，即可得椭圆的标准方程；（）设直线MN的方程为y=kx+m，与椭圆的方程联立，消去y得（2k2+1）x2+4kmx+2m28=0设M（x1，y1），N（x2，y2），由根与系数的关系分析直线AM、AN的斜率，进而分析可得k1+k2=0，解可得m的值，由直线的斜截式方程即可得答案（）证明：设直线MN的方程为y=kx+m由，消去y得（2k2+1）x2+4kmx+2m28=0设M（x1，y1），N（x2，y2），则，直线AM的斜率=；直线AN的斜率=k1+k2=8分由MAN的平分线在y轴上，得k1+k2=0即=0，又因为|AM|AN|，所以k0，所以m=1 因此，直线MN过定点（0，1）12分